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EAT- Formelsammlung

Prof. MRHA

SS 00

Seite 01

Gleichstrommaschinen Allgemeine Formeln :

b) Reihenschlußmaschinen ( Reihenschlußverhalten ) : Ersatzschaltung:

r r r F = (B × I ) ⋅l

Kraft :

Spannung:

;

(

RA

1Vs

[B ] = magn.Flußdichte = 1T =

m

)

r r r U = B × v ⋅l

2

I M

U

Induz. Spannung:

U Maschinenkonstante:

= c ⋅Φ ⋅n

q

Moment :

Drehzahl : Verluste :

U

n=

q

A

A

; p = Polpaare ; N = W indungszahl 1 1 = n 2⋅ p

Spannung : U = ( R A + R E ) ⋅ I + U q

Pv = I A2 ⋅ R A

Φ = K ⋅I

U ⋅ 2 ⋅π ⋅c ⋅ K

Drehzahl : n =

Betrieb am Drehstromnetz (α = Steuer∠):

− IA ⋅RA c ⋅Φ

2

Udiα = U di0 ⋅ cos α = S ⋅

π

⋅ U ⋅ sin s

π

RE

Uq

Magn. Flußdichte : T =

⋅IA

2⋅π ⋅ n

U

[ ]= Induktivität = 1H = Vs

;L

c = 4p ⋅N

Zeit T für Umdrehung um Polteilung: M =

[Φ ] = magn. Fluß = 1Wb = 1Vs

∆I = −L ⋅ ∆t

q

U

; c: Maschinenkonstante

K: Steigung der MagnetisierungsKennlinie Im ungesättigten Bereich

R + RE 1 − A M c ⋅K

I I

U R + RE n = − A ⋅I c ⋅Φ c ⋅Φ

⋅ cos α

U

q

U

q

M A M AN

=

N

q

=

qN

n Φ ⋅ n0 Φ N

2

 c⋅ K  U ⋅  Moment : M = 2 ⋅π  c ⋅ K ⋅ n + RA + RE 

1KMittelp. − Schltg.  q = Anzahl der Kommutierungen S=   q = 3...DB6; q = 2...DB2  2 K Brückenschltg. 

M =

a)Nebenschlußverhalten (Nebenschluß- und fremderregte Maschinen ) I I

Ersatzschaltbild : 1) Nebenschlußmaschine

c ⋅Φ ⋅I 2 ⋅π

N

M

2) fremderregte Maschine

IN MN

RA M

Uq

R RE

Uq

n0

M

UA IE

UA IA

Ersatzschaltbild :

IE

IE

Ankerspannung :

I1

U A = U E = U q ± I A ⋅ RA

Leistung : Drehzahl :

n =

U A − c ⋅Φ

(c ⋅ Φ )2

Moment :

I Fe

⋅ M = n0 − ∆ n

N1 =ü N2

c ⋅ Φ ⋅U A c 2 ⋅ Φ2 ⋅n − M = 2 ⋅ π ⋅ R A 2 ⋅π ⋅ R A

M M

=

A

=

N

U U

q

qN

⋅Φ ⋅Φ

I A I AN

I2′ =

1 ⋅I2 ü

U 2′ = ü ⋅ U 2

UR

``Kappsches Dreieck ``

UX

Drehzahl n läßt sich anhand I E beeinflussen durch einen Vorwiderstand Dadurch ändert sich auch Φ

kapazativ : sin ϕ L = -y UK

= f (I E )

U q = c ⋅ Φ ⋅ n = const. , da P = U q ⋅ I A = const. bleibt !!

© 2000 F.G.

X ′2σ = ü 2 ⋅ X 2σ

R1 = ü2 R2

Spannungsänderung in Abhängigkeit von der Belastung :

•

I Φ = f  E ΦN  I EN

I1 1 = I2 ü

N

•

Magnetisierungskennlinie

N2

X H IM

U1 = ü U2

R′2 = ü 2 ⋅ R2

Drehzahlsteuerung durch Feldschwächung :

•

I2

N1

R Fe

; n0 = Leerlaufdrehzahl

Φ = const. wenn I E = const.

•

X ′2σ

( Nebenschluß )

n nN (Anlauf: n = 0)

I`2

R`2 I0

(fremderregt)+: Motor - :Generator

P = Uq ⋅ I A = M A ⋅ ω ; ω = 2 ⋅ π ⋅ n 2 ⋅π ⋅ RA

X 1σ

R1

U1

U A = U E = Uq ± I E ⋅ RA

M M N

M

Einphasen- Transformator

UE

RA

n

 nN  = n 

U`2. sin ϕ

induktiv : sin ϕ L = y

U2 U1 I

N

U`2.cos ϕ

U1′/ 2 = −(U R ⋅cosϕ L − U X ⋅sinϕ L ) ±

( )2

+ U12 − U2R − U2X

U2

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Seite 02

Einphasen- Transformator Leerlauf- Versuch : ( I`2 = 0 ; R2` =

;

Asynchronmotor

R1 und X 1 vernachlässigbar )

Ersatzschaltbild :

X1

I1

ESB I0

cos

U10

IFe

Po U0 I0

0

IM RFe

R1

XH

I Fe

I10 cos

IM

I 10 sin

Leerlaufspannung U10 = U1 N

U 10 I Fe

R Fe

0

0

X

U1

Kappsches Dreick RK

IK

XK

UK

Kurzschlußstrom I1K = I 1N RK cos

R1

PK K

R1

UK

R2

UX

UR

XK

R2

X1

UR

XH

Schlupf s :

s

R

und R

2

nd n nd

IK

U K cos

UX

K

IM

U`q 20

lassen sich zusammenfassen zu

UR 2 IK

Frequenz Polpaare

f p

50 Hz 50 1

mit f

4

5

6

7

8

2910

2880

2850

2820

2790

2760

Für p= 1

n N 1 / min

1455

1440

1425

1410

1395

1380

Für p= 2

U K sin

K

nN

X

X

1

XK 2

2

UX 2 IK

ü

Übersetzung :

nd (1 s ) U 1 : Ständerstrangspannung U 20 : Läuferstillstandspannung ( s=1 ) U 2 = s U 20 = Läuferstrangspannung

U1 U 20

U 20 N

U K 100 % UN

uK %

I 2N

I2 Sonderfälle : 1) Leerlauf (

1 ü

I2

I 12N R

Pv Cu

Pv

R2 ü2

s = 0 ) : R2

U fe

P2 P2 Pv Cu

2 1N

R

;

0

I2

ü2

X2

X2

U 20

U 20 ü U 1

2) Kurzschluß ( s =1 ) : Verhalten wie Drehstromtransformator ( mit R K und X K ) wichtig : Umrechnen auf Strangwerte !!!

Pv fe

U

Normalbetrieb : I 2

Verluste bei Nennbetrieb :

Pv

I 12N R1

R2

I 22 N R2

Verluste :

Schaltung

2)mechanische Leistung : P m

Primärseite

Sekundärseite

YY 0 Stern / Stern

U

I Str

IL

DY 5 Dreieck / Stern

U Str

UL

YD 5 Stern / Dreieck

U Str

U

I Str

IL

I Str

YZ 5 Stern / Zickzack

Übersetzung ü : ü

U

Str

L

Str

U

I Str

IL

U

U

Str

3

I Str

IL

L

3

U Str

UL

3

U

IL

U Str

U

I Str

IL

L

U1 Str U2

U

3

I Str Str

I Str

IL

Phasenverschiebung

L

3

= 0 30° = 0°

L

3

= 5 30° = 150°

3

L

= 5 30° = 150°

IL

Strom I`2 :

I

2 2

Durchgangsleistung:

N2

U1

U1 I1 U 2 I2

U1 U2

I2

I

I1

R1

U1

R2 s

© 2000 F.G.

s R2 s

N1 N2

U2

SB SD

1 ü

Bauleistung :

U2 I2

2

I1

Strom I 1 :

m

I22

s

2

mit sm = Anzahl der Wicklungsstränge m s = 3 ( meist )

R

s

1 2

s

R2 s

P

2v

Pm

P I2 s

2

X

2

R1

R1 X

2

X

X1

I1

U1 I2 jXH R1 jX1 jXH

U 1Str R2 jX s

U1 X

j

2

R1

2

m s I 22 R1 P 1v

R2 s

Str

N1

I

U 21

(s )

P 3 U Str I Str cos

Spartransformator :

I1 U1 U 2

P

5)Gesamtleistung :

2

ms

P1v

3

2 U

jX

ms I 2 R2 2

P

4)Statorverluste :

20

R2 s

s

2

P2 v

1)Stromwärmeverluste

3)Luftspaltleistung :

= 5 30° = 150°

U

2

jX

Drehstromtransformator: Angegebene Größen = Leitergrößen Umrechnen auf Stranggrößen Berechnung der einzelnen Strangwerte ( Kurzschluß;Leerlauf) Ergebnisse umrechnen auf Leiterwerte

SB

R2

Berechenbare Größen : R Fe und X M ( wie Drehstromtransformator )

Verluste :

SB

1 s 3000 min

3

Transformierte Größen :

SN

R2 . s

Nennschlupf SN % n N 1 / min

Läufernenndrehzahl :

Relative Kurzschlußspannung : Scheinleistung :

s

n : Drehzahl des Läufers

nd

Drehfeld- Drehzahl :

1 s s

2

s

1 2

X2

IK

RK 2

R Fe

U q1 Die Widerstände

UK

R

I Fe

Kurzschluß- Versuch : ( RFe und XH können vernachlässigt werden ) ESB :

R2

2

I0

U 10 IM

H

X

I`2

R2 s

2

R1

X2 für R Fe =

X

2

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SS 00

Seite 03

Asynchronmotor Moment :

P

M s

2

d

m 2

M s

R2 s

2 2

ms I

s

2

nd

nd 2

R2

nd

Wirkungsgrad :

m s U 21

MK

2 1

U

Antriebstechnik Umrechnen : linear

s

PN I N cos

3 UN

s

X

2

X

X

R12

X1

Masse in Drehmasse :

J m *r2

Feder in Torsionsfeder :

ct

c * r2

Dämpfer in Torsionsdämpfer :

dt

d * r2

2

R2

sK

2

R2 s

R1

R 12

R1

X2

Beziehungen zwischen Eingangsgröße und Ausgangsgröße am Getriebe :

X2

R

Z

jX L

A

jX C

Z cos

JE JA

E

i

N

Komplexe Rechnung :

Z

Drehung :

R

2

XL

j Z sin

XC

jA jB A jB

2

j

e

XL

X XC arctan L R

j

L

XC

1

j

E A

C

zA zE

v

z*t * 2*

U * 2*

D * 2

P

Typ 1 :

MM

A; Anlaufpunkt; s=1;Kurzschluß M max

M

Leistungslinie

I`2

1 i2

Betriebskennlinien von Motoren und Arbeitsmaschinen :

Betriebspunkt U ( hier : s = 0,19) B

P mech

ct A

mit : t = Zahnteilung ; D = Teilkreisdurchmesser z = Zähnezahl ; t = Zahnteilung

S=1

Stromortskurve :

ct E

i2

Übersetzung bei Zahnrädern :

i

1 A B j A B

1

U;s=

90°

M

0,5

P el

I1

Leerlauf

Y

R1 R2

1 x

1

M

x

Arbeitsmaschine

A Y

R1 =

Drehmomentlinie

I0

AY 1 X

R`2 =

Widerstandsmoment ist unabhängig von der Winkelgeschwindigkeit Die Leistung steigt linear mit der Winkelgeschwindigkeit an Schweranläufer Beispiele : Walzwerkantriebe ; Hebezeuge ; Krananlagen ...

-j S=1

S=0 S=0

Motor :

H ; Hilfspunkt ( beliebig)

Starre oder Synchronkennlinie Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig vom Drehmoment Synchronmaschine Typ 2 :

Strommaßstab :

M( s ) MKM

Kloss`sche Formel :

Leistungsmaßstab :

2 s

s KM s

s KM

P

A mm

mI

Motor

Arbeitsmaschine :

mP

Drehmomentmaßstab :

MM

M

m s * Ustr * m I

mM

mP 2 * * nd

Arbeitsmaschine

Motor

Arbeitsmaschine : Das Widerstandsmoment steigt quadratisch mit der Winkelgeschwindigkeit an , die Leistung mit der 3. Potenz Leichtanläufer !! Beispiele : Überwinden von Luft- und Flüssigkeitsreibung ; Pumpen ; Fahrzeuge ; Rührwerke ; Verdicher

Antriebstechnik Motor :

F

F Fl

W kin c

m * x&&

1 2 * m * &x 2 dF dx

W

P

Ma

F * ds

F * x&

W

Fi

J*

M*d

Kreiszylinder : J

d * x&

&

m * &x&

Md

r 2 * dm

M ML

P M*& Fd

Harte oder Nebenschlußkennlinie Die Winkelgeschwindigkeit sinkt nur um wenige Prozent ab Fremderregte Gleichstrommaschine ; Asynchronmaschine im Nennbetriebsbereich

Rotation

Translation

2*

J

Hohlzylinder : J

*n

Wkin

dt * &

1 * m * (R 2 2

1 * J*& 2

Typ 3 :

1 * m * r2 2

Mi

J *&&

M

r )

2

ct

MM

P

2

dMt

Arbeitsmaschine

Motor

d Arbeitsmaschine :

Parallelschaltung von Federn Und Dämpfern

c res

c1 c 2

dres

d1 d2

© 2000 F.G.

Die Leistung ist konstant , das Drehmoment fällt hyperbolisch ab Beispiele : Winkelantriebe mit konstantem Zug und konstanter Winkelgeschwindigkeit

Reihenschaltung von Federn und Dämpfern 1 c res

1 c1

1 c2

1 d res

1 d1

1 d2

Motor : Weiche oder Reihenschlußkennlinie Die Winkelgeschwindigkeit sinkt bei Belastung stark ab Reihenschlußmotor ; Universalmotor

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Seite 04

Antriebstechnik

Antriebstechnik

Stabilität des Arbeitspunktes :

Stoßartige Belastung :

Bei einem stabilem Arbeitspunkt stellt sich nach dem Abklingen einer Störung der ursprüngliche Arbeitspunkt wieder her . Bei einem stabilem Arbeitspunkt muß die Steigung der Motorkennlinie kleiner sein als die Steigung der Widerstands- Kennlinie !

M

M M M

2

1

t

M

MM

Arbeitspunkt

( t)

(

E) * e

A

MM max

MM ( t )

MM max

A

0

Ändern der Ankerspannung bei einem fremderregten Gleichstrommotor Ändern von Spannungen und Frequenz bei einem Drehstrommotor

t T

e

E

E

MN * 1 sN

0

MN *

1

( bei Nebenschlußcharakteristik )

E

0

0 Ändern der Motorkennlinie :

0

2

t T

N

Dimensionieren eines Antriebsmotors :

Ändern der Widerstandskennlinie : Durch mechanische Drehmoment- Wandler ( Schaltgetriebe )

Maximalmoment : bei Geichstrom durch Kommutierung begrenzt ( bis 4 M N ) Bei Asynchronmotoren durch Kippmoment begrenzt ( bis 3 M N ) Bei Synchronmaschine durch Kippmoment begrenzt ( bis 2,5 M N )

Ändern von Motor- und Widerstandskennlinien : Durch große Parabolantennen ( z.B. bei Kraftfahrzeugen )

Thermische Belastung : kritische Stelle : Installation der Wicklung Ursache : Leerlauf- und Stromwärme- Verluste

Langsame Drehzahländerungen : Mechanische Zeitkonstanten sind gegenüber elektrische groß Keine Rückwirkung des mechanischen Systems auf elektr. Mechanismus Mechanisches und elektrisches System sind entkoppelt

MA

Beschleunigungsmoment :

MM M

T

J*

2

K *m * s

T = Zeitkonstante in s ; P 1 = zugeführte Wärmeleistung

Mit

&&

t

(t)

E

1 e

t T

A

Hochlauf mit konstantem Beschleunigungsmoment :

(t)

MA *t J

M A (t )

t

J* MA

Abkühlen :

(t )

e

A

Dauerbetrieb S 1 :

MA * t 2 2*J

1 Umdrehung =

( )

J* 2 2 * MA

zul

Pv S1

(t) 2*

M A max

( )

T*

a0

MA ( )

* ln

p PN

A0

t...