Formelsammlung Stahlbau EC3 PDF

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Formelsammlung Stahlbau 1

Literaturverzeichnis

[1] R. Kindmann, Stahlbau Teil 2: Stabilität und Theorie 2.Ordnung, Berlin: Ernst & Sohn, 2008. [2] Stuttgart, Hochschule für Technik, Skript Stahlbau 2, Stuttgart, 2013. [3] C. Petersen, Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2.Auflage, Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn, 1982. [4] Deutsches Institut für Normung, DIN EN 1993-1-5, Berlin: Beuth Verlag, Dezember 2010. [5] Typisierte Verbindungen im Stahlhochbau, Stahlbau-Verlags-GmbH, 1978. [6] Deutsches Institut für Normung, DIN EN 1993-1-8, Berlin : Beuth Verlag, Dezember 2010. [7] Deutsches Institut für Normung; DIN EN 1993-1-3, Ergänzende Regeln für kaltgeformte Bauteile und Bleche, Berlin: Beuth Verlag, Dezember 2010. [8] Deutsches Institut für Normung, DIN EN 1993-1-1, Berlin : Beuth Verlag, Dezember 2010. [9] K.-J. Schneider und A. Goris, Bautabellen für Ingenieure - 20.Auflage, Werner Verlag, 2012. [10] P.-I. G. Wagenknecht, Stahlbau Praxis nach Eurocode 3 Band 2, Beuth Verlag, 2011. [11] C. Petersen, Stahlbau, Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013. [12] Deutsches Institut für Normung, DIN EN 1992-1-1, Berlin: Beuth Verlag, Januar 2011. [13] KIT Stahl und Leichtbau Versuchsanstalt für Stahl, Holz und Steine, Vorlesung Masterstudiengang, Karlsruhe, 2013.

2

Einwirkungskombinationen (vereinfacht)

2.1

Grundkombination:

Ed = γG • Gk + γQ • Qk,1 + ∑ γQ • Ψ 0,i •Qk,i 2.1.1

γG: [ ] = 1,35 γQ: [ ] = 1,5 Ψ 0,i : [ ]  siehe Tabelle

Tabelle mit Kombinationsbeiwerten – DIN EN 1990/NA

Einwirkung:

Ψ0

Ψ1

Ψ2

Nutzlast Kategorie A,B: (Wohn-, Aufenthalts-,Büroräume) Kategorie C,D: (Versammlungsräume, Verkaufsräume) Kategorie E: (Lagerräume)

0,7 0,7 1,0

0,5 0,7 0,9

0,3 0,6 0,8

0,7 0,7 0

0,7 0,5 0

Windlasten

0,6

0,2

0

Schneelasten Orte bis zu NN +1000: Orte über NN +1000:

0,5 0,7

0,2 0,5

0 0,2

Sonstige veränderliche Einwirkungen

0,8

0,7

0,5

Verkehrslast Kategorie F: (Fahrzeuggewicht F ≤ 30 KN) Kategorie G: (Fahrzeuggewicht 30 KN ≤ F ≤ 160 KN) Kategorie H: (Dächer)

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0,6 0,3 0

Seite 1

3

Gebrauchstauglichkeitsnachweis

3.1

Durchbiegungsnachweis

3.1.1

Vorhandene Durchbiegung

Durchbiegungsformeln siehe z.B. Schneider 4.25 ff. Bei ≥ 2 Veränderlichen → Durchbiegung einzeln ausrechnen → Kombinationen bilden → 1,0 • f g,k + 1,0 • fq,1k + 1,0 • Ψ0,i • f q,ik 3.1.2

Zulässige Durchbiegung

Deckenträger und Unterzüge mit l > 5,0m: zul f ≤ l/300 Deckenträger und Unterzüge mit l < 5,0m: kein Nachweis erforderlich. Kragträger zul f ≤ lk/200 Pfetten, Wandriegel und Giebelwandstützen: zul f = l/200 – l250

4

Ermittlung der Querschnittsklasse

4.1

Hinweise:

Die Querschnitte von Stahlprofilen werden in 4 Querschnittsklassen eingeteilt. Rein auf Zug beanspruchte Querschnitte oder Querschnittsteile, werden zu keiner Querschnittsklasse zugeordnet. Mit der Querschnittsklasse für reine Druckbeanspruchung liegt man auf der sicheren Seite. Querschnittsklassen, die die Anforderungen der Klasse 3 nicht erfüllen, sollen in die Querschnittsklasse 4 eingestuft werden. Ein Querschnitt wird durch die höchste Klasse seiner druckbeanspruchten Querschnittsteile klassifiziert. 4.2

Walzprofile

Walzprofile, reine Biegung oder reiner Druck  siehe Kap. 8.161 ff. (Schneider Bautabellen) 4.3

Allgemein

Vorgehen:

1. Materialparameter: ε = 

235 fy

f y: [KN/cm²] Streckgrenze S235: f y = 23,5 S355: fy = 35,5 S275: f y = 27,5 S450: fy = 44,0 (Werte für t ≤ 40mm)

2. Einstufung der Querschnittsteile (Z.B. Steg, Flansch)  siehe Anhang

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Seite 2

5

Zugkraftbeanspruchung

5.1

allgemeine Querschnitte:

N t,Rd = min

Npl,Rd = N u,Rd =

5.2

A • fy γM0

[KN]

0,9 • Anet • fu γM2

Winkel mit einschenkligem Anschluss:

1 Schraube: N u,Rd =

2,0 • e2 - 0,5 • d0 • t • fu γM2

2 Schrauben: N u,Rd =

β2 • Anet • fu [KN] γM2

≥ 3 Schrauben: N u,Rd =

[KN]

A: [cm²] Bruttoquerschnittsfläche fy : [KN/cm²] Streckgrenze S235: fy = 23,5 S355: f y = 35,5 S275: fy = 27,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t ≤ 40mm) γ M0: Teilsicherheitsbeiwert = 1,0 Anet: [cm²] Nettoquerschnittsfläche

β3 • Anet • fu γM2

[KN]

e 2: [cm] Randabstand = a – w1 d 0: [cm] Lochdurchmesser = d + d d: [cm] Nennlochspiel, siehe 0 t: [cm] Blechdicke fu: [KN/cm²] Zugfestigkeit S355: fu = 49 S460: fu = 54 S235: fu = 36 S420: fu = 52 (Werte für t ≤ 40mm) S275: fu = 43 γ M2: Teilsicherheitsbeiwert = 1,25 Anet: [cm²] Nettoquerschnittsfläche des Winkelprofils = A – d0 • t Bei ungleichschenkligem Winkel mit Anschluss des kleineren Schenkels, ist A net die Nettofläche eines entsprechenden gleichschenkligen Winkelprofils mit einer Schenkellänge gleich der kleineren Schenkellänge. β 2: [ ] p 1 ≤ 2,5 • d0: β2 = 0,4 0,3 2,5 • d0 < p 1 < 5,0 • d 0: β 2 = 0,4 + • (p 1 – 2,5 • d0) 2,5 • d 0

[KN]

β 3: [ ]

p1 ≥ 5,0 • d0: β2 = 0,7 p 1 ≤ 2,5 • d0: β3 = 0,5 0,2 2,5 • d0 < p 1 < 5,0 • d 0: β 3 = 0,5 + 2,5 • d • (p 1 – 2,5 • d0)

p1 ≥ 5,0 • d0: β3 = 0,7 p 1: [cm] Lochabstand in Kraftrichtung

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0

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6

Druck-, Querkraft- und Biegebeanspruchung (ohne Knickgefahr) – nach DIN EN 1993-1-1

6.1

Elastische Bemessung – (für Querschnitte der Klasse 3 bzw. 1 und 2)

6.1.1

Querschnittsnachweis mit Spannungen:

6.1.1.1 fy

σR,d =

τR,d =

Grenzspannungen

√3 • γM0 fy

6.1.1.2 σx,Ed=

f y: [KN/cm²] Streckgrenze S235: fy = 23,5 S355: fy = 35,5 S275: fy = 27,5 S450: fy = 44,0 (Werte für t ≤ 40mm) γM0: Teilsicherheitsbeiwert = 1,0

[KN/cm²]

γM0

[KN/cm²]

Normalspannung:

 +

 [KN/cm²]

N

My,Ed • 100

A

Wel,y

6.1.1.3

Schubspannung:

Sy : [cm³] maximales statisches Flächenmoment = ∑ A i • zi zi:[cm] Abstand zwischen Sges und Si 4 I y: [cm ] Flächenträgheitsmoment des Gesamtquerschnitts t: [cm] Blechdicke am Nachweispunkt

allgemein: τEd

W el,y [cm³] elastisches Widerstandsmoment

Vz,Ed • Sy = [KN/cm²] Iy • t

Vereinfachung für I-förmige Träger: τm,Ed =

Vz,Ed

Aw : [cm²] Fläche des Stegbleches, siehe Anhang

Aw

Hinweis: nur falls Af /Aw ≥ 0,6 6.1.1.4 Wenn

Vergleichsspannung:

σ x,Ed σR,d τEd τR,d

≤ 0,5 oder

≤ 0,5 → keine Vergleichsspannung (σv,Ed)

σx,Ed : [KN/cm²] vorh. Normalspannung σR,d : [KN/cm²] Grenznormalspannung, siehe oben τ Ed: [KN/cm²] vorh. Schubspannung τ R,d : [KN/cm²] Grenzschubspannung, siehe oben σv: [KN/cm²] Vergleichsspannung

sonst für einfache Biegung: σv,Ed = σ2x,Ed + 3 • τ 2Ed

[KN/cm²]

Hinweis: Normalerweise wird der Vergleichsspannungsnachweis an der Stelle 1 (Ende des Steges, Beginn der Ausrundung) geführt, da dort gleichzeitig große Normal- und Schubspannungen auftreten. Auf der sicheren Seite kann aber auch mit den maximalen Spannungen (σx,Ed, τ Ed) gerechnet werden.

6.1.1.5 σd σR,d τd τR,d σv σR,d

Sy1 = Sy – tw • d²/8 σ1 = (My,Ed / I y) • (d/2) τ1 = Vz,Ed • S1 / (I y • tw )

Nachweise:

≤1 ≤1

σd : σR,d : τd: τR,d: σv :

vorh. Normalspannung siehe oben vorh. Schubspannung siehe oben Vergleichsspannung

≤1

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Seite 4

6.2

Plastische Bemessung - QK 1 oder 2 (EC3)

Hinweis: Querschnitte der Klasse 3 und 4 dürfen nicht nach der Plastizitätstheorie bemessen werden

6.2.1

Grenzschnittgrößen:

doppeltsymmetrische I -Profile:  plastische Schnittgrößen siehe Schneider 8.22 ff. geschweißte Profile: N pl,Rd =

A • fy

V pl,z,Rd =

γM0

[KN]

√3 • γM0 Avz • fy

A: [cm²] Querschnittsfläche Avz : [cm²] wirksame Schubfläche, siehe Anhang gewalzte I-Profile: siehe Anhang geschweißte I-Profile: Avz = η • hw • tw (η = 1,0) f y: [KN/cm²] Streckgrenze S235: fy = 23,5 S355: fy = 35,5 S275: fy = 27,5 S450: fy = 44,0 (Werte für t ≤ 40mm) γM0: [ ] 1,0

[KN]

Streckgrenze in allen Querschnittsteilen identisch:  Spannungsnulllinie läuft durch Flächenhalbierende (siehe Beispiel im Anhang) M pl,y,Rd = (Sy,o + S y,u) •

fy γM0

=

Wpl,y • fy γM0

• 0,01 [KNm]

unterschiedliche Streckgrenze in den Querschnittsteilen:  Spannungsnulllinie läuft nicht durch Flächenhalbierende. (siehe Beispiel im Anhang)

Sy,0 : [cm³] statisches Moment = Σ (Ai • zi)

M pl,y,Rd = siehe Beispiel im Anhang Hinweise: Bei reiner Momentenbeanspruchung eines Querschnitts aus einem Material, läuft die Spannungsnulllinie nicht durch den Schwerpunkt, sondern durch die Flächenhalbierende. Generell gilt, dass das plastische Grenzmoment durch die Summenbildung aller Momente um die Spannungsnulllinie ermittelt werden kann. Mit der Bedingung, dass die Druckkräfte gleich den Zugkräften sein müssen kann die genaue Lage der Spannungsnulllinie ermittelt werden. (siehe Beispiel)

6.2.2

Überprüfen ob Interaktion zwischen M und Q erfordelich

Vz,Ed Vpl,z,Rd Vz,Ed Vpl,z,Rd

6.2.3

≤ 0,5  keine Interaktion zwischen Moment und Querkraft erforderlich. Weiter mit 6.2.4 > 0,5  Interaktion zwischen Moment und Querkraft erforderlich. Weiter mit 6.2.3 Interaktion z wischen M und Q

Hinweis: gilt für I-Profile, Hohl- und Kastenquerschnitte ρ: Beiwert kMy: siehe Schneider Bautabelle 8.161 ff. und rechteckige Vollquerschnitte ρ=

2 • Vz,Ed Vpl,z,Rd

- 1

2

0 ≤ ρ ≤ 1,0

N V,Rd = N pl,Rd • (1 – αV,z • ρ) [KN] Walzprofile: M V,y,Rd = (1 – ρ • kMy ) • Mpl,y,Rd [KNm] Doppeltsymmetrische I-Profile: M V,y,Rd = W pl,y -

•

ρ • A2V,z

fy

4 • tw

γM0

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αV,z : = AV,z/A AV,z: [cm²] wirksame Schubfläche in z-Richtung gewalzte Profile: siehe Schneider Bautabelle 8.161 ff. geschweißte Profile: A V,z = A – 2 • b • tf , bzw. AV,z = ∑ d • tw A: [cm²] gesamte Querschnittsfläche t w:[cm] Stegbreite W Pl,y: [cm³] plastisches Widerstandsmoment, = Sy,o + Sy,u f y: [KN/cm²] Streckgrenze S235: f y = 23,5 S355: fy = 35,5 S275: f y = 27,5 S450: fy = 44,0 (Werte für t ≤ 40mm) γM0: [ ] 1,0

[KNm]

Seite 5

6.2.4

Überprüfen ob Interaktion zwischen M und N erforderlich

6.2.4.1

Doppeltsymmetrische I-Profile: 0,25 • Npl,Rd * 1 [KN]

N Ed ≤ min

hw • tw • fy • (1 – ρ) 2 • γM0

*2 [KN]

,

3

 keine Interaktion erf.: MN y,Rd * = Mpl,y,Rd [KNm] 0,25 • Npl,Rd *1 [KN]

N Ed > min

hw • tw • fy • (1 – ρ) 2 • γM0

*2 [KN]

 Interaktion erforderlich, weiter mit 6.2.5 * 1 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen Biegung und Querkraft (Vz,Ed > 0,5 • Vpl,z,Rd) gilt: N pl,Rd = NV,Rd * 2 wenn die Interaktion zwischen Biegung und Querkraft nicht berücksichtigt werden muss (Vz,Ed ≤ 0,5 • V pl,z,Rd) gilt: ρ = 0 * 3 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (Vz,Ed > 0,5 • Vpl,z,Rd ) gilt: MN,y,Rd = MVN,y,Rd * 5 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (Vz,Ed > 0,5 • Vpl,z,Rd ) gilt: Mpl,y,Rd = MN,y,Rd

6.2.4.2

NEd : [KN] einwirkende Normalkraft Npl,Rd : [KN] Normalkraft im vollplastischen Zustand, siehe oben NV,Rd : [KN] abgeminderte Normalkraft im vollplastischen Zustand, siehe oben M pl,y,Rd [KNm] Moment im vollplastischen Zustand, siehe oben A: [cm²] gesamte Querschnittsfläche Ared: [cm²] A – A V,z • ρ AV,z: [cm²] wirksame Schubfläche in z-Richtung Walzprofile: siehe Schneider Bautabelle 8.161 ff. t w:[cm] Stegbreite hw : [cm] Höhe des Stegblechs = d b: [cm] Breite des Querschnitts t f: [cm] Flanschdicke ρ: [ ] siehe oben f y: [KN/cm²] Streckgrenze S235: f y = 23,5 S355: fy = 35,5 S275: f y = 27,5 S450: fy = 44,0 (Werte für t ≤ 40mm) γM0: [ ] 1,0

Hohl- und Kastenquerschnitte:

 Interaktion erforderlich, weiter mit 6.2.5 6.2.4.3

Rechteckige Vollquerschnitte:

 Interaktion erforderlich M N,Rd = Mpl,Rd • 1-  Ed   [KNm] N 2

N

pl,Rd

6.2.5

Interaktion zwischen M und N

1

mit: n =

1-n

2

M N,y,Rd * = M pl,y,Rd* •

1 - 0,5 • a

NEd [] Npl,Rd ∗

a = min

a: [ ] bei Hohl- und Kastenquerschnitten ist a = aw M pl,y,Rd [KNm] Moment im vollplastischen Zustand A: [cm²] gesamte Querschnittsfläche t f: [cm] Flanschdicke

[KNm] A*4 - 2 • b • tf A*4

[]

0,5 [ ]

1

* bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (Vz,Ed > 0,5 • Vpl,z,Rd ) gilt: MN,y,Rd = MVN,y,Rd * 2 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (Vz,Ed > 0,5 • Vpl,z,Rd ) gilt: Mpl,y,Rd = MN,y,Rd * 3 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen Biegung und Querkraft (Vz,Ed > 0,5 • Vpl,z,Rd) gilt: N pl,Rd = NV,Rd * 4 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (Vz,Ed > 0,5 • Vpl,z,Rd ) gilt: A = Ared

6.2.6 Vz,Ed Vpl,z,Rd

Nachweise: ≤ 1,0

NEd Npl,Rd

≤ 1,0

My,Ed My,Rd

4

5 6

≤ 1,0 * * *

* 4 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V gilt: M y,Rd = MV,y,Rd * 5 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und N gilt: M y,Rd = MN,y,Rd * 6 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M, V und N gilt: M y,Rd = MVN,y,Rd

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Seite 6

7

Druckkraftbeanspruchung - Knicken:

7.1

Hinweise Wenn ein Moment rechtwinklig zu dem untersuchten Knickstab wirkt, ist das Biegedrillknicken i.d.R maßgebend! Der Nachweis erfolgt nach dem Ersatzstabverfahren.

7.2

Knicklängen: β: [ ] Knicklängenbeiwert, siehe Anhang

Knicken in z-Richtung: Lcr,y = β • l1 Knicken in y-Richtung: Lcr,z = β • l2 7.3

Trägheitsradius:

gewalzte Stahlprofile: siehe Schneider Bautabellen 8.161 ff. allgemein:

iz = Iz [cm] A

7.4

i y =  y [cm] A I

und

bezogener Schlankheitsgrad:

Lcr,z QK1, QK2 und QK3: λ z = []

QK4:

λz =

iz • λ1

λy =

iy • λ1

QK1, QK2 und QK3: λ y = QK4: 7.5

iz • λ1 Lcr,y Lcr,y iy • λ1

Abminderungsfaktor χ:

λ ≤ 0,2: χ = 1,0 λ > 0,2: χ =

7.6

Lcr,z

1

Φ+ Φ2- λ

2

•

Aeff A

[]

Lcr,y : [m] siehe oben Lcr,z: [m] siehe oben i y: [cm] siehe oben i z: [cm] siehe oben λ1: Materialbeiwert S235: λ 1 = 93,9 S420: λ 1 = 70,2

S275: λ1 = 86,8 S460: λ1 = 67,1

S355: λ1 = 76,4

[]

•

Aeff A

≤ 1,0

[]

Φ: [ ] Faktor 2 Φ = 0,5 • 1+ α • λ - 0,2 + λ  α: [ ] Beiwert Knicklinie a: α = 0,21 Knicklinie a0: α = 0,13 Knicklinie b: α = 0,34 Knicklinie c: α = 0,49 Knicklinie d: α = 0,76 Hinweis: Zuordnung zur Knickspannungslinie siehe Tabelle 6.2 im Anhang

Nachweis:

NEd χ • Npl,Rd

≤ 1,0

NEd : einwirkende Normalkraft Npl,Rd : [KN] plastische Grenznormalkraft A• f QK1 – QK3: Npl,Rd = γ y QK4: Npl,Rd =

Hinweis: für die Profile in den Schneider Bautabellen ist der Faktor γ M1in N pl,Rd nicht berücksichtigt!

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A eff • fy

M1

γ M1

γM1: [ ] Sicherheitsbeiwert = 1,10

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8

Druckkraftbeanspruchung - Drillknicken

8.1

Hinweise:

Nachweis muss nur für Querschnitte mit geringer Steifigkeit gegen verdrehen geführt werden. (z.B. Winkel- Kreuz- und T-Profil) Die Steifigkeit gegen verdrehen ist von der Torsionssteifigkeit GI T und der Wölbsteifigkeit EI abhängig. Bei der Auswahl der Knicklinie ist das Ausweichen senkrecht zur Achse z-z zu wählen

8.2

c=

8.3

Drehradius des Querschnitts: Iω + 0,039 • l2 • IT IZ

I : [cm 6] Wölbflächenmoment 2. Grades  Schneider Bautabelle 8.32 l: [cm] Abstand der Gabellager I T: [cm 4]Torsionsflächenmoment 2. Grades  Schneider Bautabelle 8.32 I Z: [cm 4] Flächenträgheitsmoment 2. Grades  Schneider Bautabelle !! Bei Winkelprofil durch Iη ersetzen!!

[cm]

polarer Trägheitsradius, bezogen auf den Schwerpunkt:

2 2 ip =  iy + iz [cm]

8.4

i y : [cm²] Trägheitsradius bezogen auf Hauptachse Y !! bei Winkelprofil durch iη zu ersetzen!! i z : [cm²] Trägheitsradius bezogen auf Hauptachse Z !! bei Winkelprofil durch iζ zu ersetzen!!

polarer Trägheitsradius, bezogen auf den Schubmittelpunkt:

iM = ip 2 + z M 2 [cm] 8.5

i p : [cm²] polarer Trägheitsradius (siehe oben) zM : [cm] Abstand zwischen Schwerpunkt und

Schlankheitsgrad:

QK1, QK2, QK3: λ T =

β•l iz

•

c2 + i M

2

2 • c2

• 1+ 1-

4 • c² • i p

2

c² + i M  2

2

 •

β: Knicklängenbeiwert (siehe Eulerfälle) l: [cm] Knicklänge i z : [cm²] Trägheitsradius bezogen auf Hauptachse Z !! bei Winkelprofil durch iζ zu ersetzen!! c: [cm] Drehradius des Querschnitts (siehe oben) i M: [cm] polarer Trägheitsradius (siehe oben) i p: [cm] polarer Trägheitsradius, siehe oben λ1: Materialbeiwert S235: λ 1 = 93,9 S275: λ 1 = 86,8 S355: λ1 = 76,4 S460: λ 1 = 67,1 S420: λ 1 = 70,2

1 λ1

QK4: λ T =

Schubmittelpunkt

β•l iz

•

c2 + i M 2 2 • c2

λ ≤ 0,2: χ = 1,0 8.6

4 • c² • i p

2

c² + i M 

2 2

 •

1 λ1

•

A eff A

Abminderungsfaktor χ:

λ > 0,2: χ =

8.7

• 1+ 1-

1

Φ+ Φ2- λ

2

≤ 1,0

Φ: [ ] Faktor 2 Φ = 0,5 • 1+ α • λ - 0,2 + λ  α: [ ] Beiwert Knicklinie a: α = 0,21 Knicklinie a0: α = 0,13 Knicklinie b: α = 0,34 Knicklinie c: α = 0,49 Knicklinie d: α = 0,76 Hinweis: Zuordnung zur Knickspannungslinie siehe Tabelle 6.2 im Anhang

Nachweis:

NEd χ • Npl,Rd

≤ 1,0

Hinweis: für die Profile in den Schneider Bautabellen ist der Faktor γ M1in N pl,Rd nicht berücksichtigt!

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NEd : einwirke...