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15.1.2020

Formelsammlung Stochastik – Wikipedia

Formelsammlung Stochastik Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet Stochastik einschließlich Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik, Zufallsvariablen und Verteilungen sowie Statistik.

Inhaltsverzeichnis Notation Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen Kombinatorik Zufallsvariablen Diskrete Zufallsgrößen Stetige Zufallsgrößen Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation Spezielle Verteilungen Binomialverteilung σ-Regeln Standardisieren einer Verteilung Poisson-Näherung Poisson-Verteilung Näherungsformeln von Moivre und Laplace Standardnormalverteilung Hypergeometrische Verteilung Geometrische Verteilung Weitere Approximationen von Verteilungen Kritische Werte Statistik Beschreibende Statistik Lagemaße Streuungsmaße Zusammenhangsmaße Mittelwerte Schließende Statistik Parameter Schätzfunktionen Punktschätzer und Konfidenzintervalle Einzelnachweise Weblinks

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Notation In der Stochastik gibt es neben der üblichen mathematischen Notation und den mathematischen Symbolen folgende häufig verwendete Konventionen: Zufallsvariablen werden in Großbuchstaben geschrieben: , etc. Realisierungen einer Zufallsvariablen werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben geschrieben, z. B. für die Beobachtungen in einer Stichprobe: . Für die Bezeichnung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten werden Kleinbuchstaben benutzt, z. B. . Für die Bezeichnung von Verteilungsfunktionen werden Großbuchstaben benutzt, z. B.

.

Speziell die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung wird die Bezeichnung und für die Verteilungsfunktion benutzt. Griechische Buchstaben (z. B. ) werden benutzt, um unbekannte Parameter (Parameter der Grundgesamtheit) zu bezeichnen. Eine Schätzfunktion wird häufig mit einem Zirkumflex über dem entsprechenden Symbol bezeichnet, z. B. (gesprochen: Theta Dach). Das arithmetische Mittel wird mit bezeichnet (gesprochen: quer).

Wahrscheinlichkeitsrechnung Im Folgenden sei stets ein Wahrscheinlichkeitsraum gegeben. Darin ist der Ergebnisraum eine beliebige nichtleere Menge, eine σ-Algebra von Teilmengen von , die enthält, und ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf

Grundlagen Axiome: Jedem Ereignis

wird eine Wahrscheinlichkeit

zugeordnet, so dass gilt:

, , für paarweise disjunkte Ereignisse

gilt

Rechenregeln: Aus den Axiomen ergibt sich:

Für

gilt

, insbesondere

Für das Gegenereignis

gilt

Laplace-Experimente

ü ö Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Satz von Bayes:

Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse

sind unabhängig

Kombinatorik Fakultät: Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen aller Zurücklegen):

Kugeln aus einer Urne (ohne

wobei ohne Wiederholung

mit Wiederholung

(von n Elementen)

(von r + s + … + t = n Elementen, von denen jeweils r, s … t nicht unterscheidbar sind)

Permutation

Binomialkoeffizient „n über k“

Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von

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Kugeln aus einer Urne mit

Kugeln:

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ohne Wiederholung

mit Wiederholung

(ohne Zurücklegen)

(mit Zurücklegen)

(siehe Hypergeometrische Verteilung)

(siehe Binomialverteilung)

Variation

Kombination

Zufallsvariablen Diskrete Zufallsgrößen Eine Funktion heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Eigenschaften erfüllt sind: 1. Für alle

, wenn folgende

gilt

2. Für die zugehörige Zufallsvariable gilt dann:

Eine Zufallsgröße und deren Verteilung heißen diskret, falls die Funktion die Eigenschaft (2) hat. Man nennt die Wahrscheinlichkeitsfunktion von .

Stetige Zufallsgrößen Eine Funktion heißt Dichte(Funktion) einer stetigen Zufallsgröße Eigenschaften erfüllt sind: 1. Für alle

, wenn folgende

gilt

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2. Für eine stetige Zufallsgröße gilt dann:

Eine Zufallsgröße und deren Verteilung heißen stetig, falls es eine geeignete Dichtefunktion mit dieser Eigenschaft gibt. Die Funktion heißt Dichte(Funktion) von . Für die Wahrscheinlichkeit gilt für alle

Erwartungswert und Varianz sind gegeben durch

Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation Für den Erwartungswert gelten:

, die Varianz

, die Kovarianz

und die Korrelation

, allgemein

Für unabhängige Zufallsvariablen

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gilt:

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Für unabhängige Zufallsvariablen

gilt:

Tschebyschow-Ungleichung:

Spezielle Verteilungen Binomialverteilung Gegeben ist ein -stufiger Bernoulli-Versuch (d. h. mal dasselbe Experiment, unabhängig voneinander, mit nur zwei möglichen Ausgängen und konstanten Wahrscheinlichkeiten) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit und der Misserfolgswahrscheinlichkeit . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße : Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für

Erfolge berechnet sich nach der Formel:

Erwartungswert:

Varianz:

Standardabweichung:

σ-Regeln https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Stochastik

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(Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes bei Binomialverteilungen) Zwischen dem Radius einer Umgebung um den Erwartungswert und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit der Umgebung gelten folgende Zuordnungen (falls ): Radius der Umgebung

Wahrscheinlichkeit der Umgebung

1σ

0,68

2σ

0,955

3σ

0,997

Wahrscheinlichkeit der Umgebung

Radius der Umgebung

0,90

1,64σ

0,95

1,96σ

0,99

2,58σ

Standardisieren einer Verteilung Hat die Zufallsvariable eine Verteilung mit Erwartungswert Standardabweichung , dann wird die standardisierte Variable definiert durch

Die standardisierte Variable

und

hat den Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1.

Poisson-Näherung Gegeben sei eine Binomialverteilung mit großem Stichprobenumfang ≥ 100 und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit . Mithilfe von kann man dann näherungsweise die Wahrscheinlichkeit für Erfolge berechnen:

Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu:

Poisson-Verteilung Gilt für die Verteilung einer Zufallsgröße

Näherungsformeln von Moivre und Laplace

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Sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeit für genau und höchstens durch:

(brauchbare Näherung besser ). Die Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen

Standardnormalverteilung Die Dichte(Funktion) definiert durch:

(auch als Glockenkurve bekannt) der Standardnormalverteilung ist

und die Verteilungsfunktion

durch:

Näherungsformeln für eine diskrete Verteilung unter Anwendung der Kontinuitätkorrektur:

Hypergeometrische Verteilung In einer Grundgesamtheit vom Umfang seien zwei Merkmalsausprägungen vom Umfang bzw. vertreten. Eine Stichprobe vom Umfang werde genommen. Dann nennt man die Verteilung der Zufallsgröße : Anzahl der Exemplare der 1. Merkmalsausprägung in der Stichprobe einer hypergeometrischen Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe vom Umfang Merkmalsausprägung sind, ist:

= Anzahl der Elemente, Anzahl der Erfolge.

= Anzahl der positiven Elemente,

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genau

Exemplare der 1.

= Anzahl der Ziehungen,

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Sei

der Anteil, mit dem die 1. Merkmalsausprägung in der Gesamtheit vorkommt, dann

gilt:

Geometrische Verteilung Gegeben ist ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit . Die Verteilung der Zufallsgröße : Anzahl der Stufen bis zum ersten Erfolg heißt geometrische Verteilung. Es gilt: (Erfolg genau beim -ten Versuch) ( Misserfolge hintereinander bzw. der erste Erfolg kommt erst nach dem -ten Versuch) (Erfolg spätestens beim -ten Versuch bzw. bis zum -ten Versuch tritt mindestens ein Erfolg ein) Der Erwartungswert ist

Weitere Die unzähligen weiteren speziellen Verteilungen können hier nicht alle aufgeführt werden, es sei auf die Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwiesen.

Approximationen von Verteilungen Unter gewissen Approximationsbedingungen können Verteilungen auch durcheinander approximiert werden um Berechnungen zu vereinfachen. Je nach Lehrbuch können die Approximationsbedingungen etwas unterschiedlich sein.

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Nach Von Diskrete Verteilungen Binomialverteilung

,

,

--

,

Hypergeometrische Verteilung

,

Poisson-Verteilung

,

--

Stetige Verteilungen Chi-Quadrat-Verteilung

Studentsche t-Verteilung Normalverteilung

--

Bei dem Übergang von einer diskreten Verteilung zu einer stetigen Verteilung kommt auch noch eine Stetigkeitskorrektur (wenn oder ) in Betracht und insbesondere .[1]

Kritische Werte Das -Level ist der Wert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für den gilt: Standardnotation für einige häufig verwendete Verteilungen: oder

. Es gibt eine

für die Standardnormalverteilung

oder

für die t-Verteilung mit

oder

Freiheitsgraden

für die Chi-Quadrat-Verteilung mit

oder

für die F-Verteilung mit

Freiheitsgraden

und

Freiheitsgraden

Statistik Beschreibende Statistik Lagemaße Arithmetisches Mittel: Median https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Stochastik

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Modus Streuungsmaße empirische Varianz:

empirische Standardabweichung:

Zusammenhangsmaße Empirische Kovarianz:

Empirischer Korrelationskoeffizient:

Gleichung der Regressionsgeraden:

mit

, wobei

und

die arithmetischen Mittel bedeuten.

Mittelwerte

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Mittelwert

Zwei Zahlen

Modus

Allgemein Ausprägung mit höchster Häufigkeit Sofern

sortiert sind:

Median (Zentralwert)

Arithmetisches Mittel

Geometrisches Mittel

Harmonisches Mittel

Quadratisches Mittel

Schließende Statistik Parameter Im Allgemeinen werden in der Statistik unbekannte Parameter der Grundgesamtheit oder eines Modells mit griechischen Buchstaben (z. B. ) bezeichnet. Das arithmetische Mittel in der Grundgesamtheit: . Die Varianz in der Grundgesamtheit: . Den Anteilswert einer dichotomen Variablen in der Grundgesamtheit: . Der Achsenabschnitt und die Steigung im einfachen linearen Regressionsmodell . Schätzfunktionen Eine Schätzfunktion für einen unbekannten Parameter wird häufig durch einen Großbuchstaben der Parameterbezeichnung aus der beschreibenden Statistik bezeichnet. Die Schätzfunktion ergibt sich aus den Stichprobenvariablen .

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Parameter

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Bedingung

Schätzfunktion

Verteilung 1.

2. Wenn der zentrale Grenzwertsatz gilt, dann gilt

bekannt

unbekannt 1. Ziehen mit Zurücklegen:

2.

Ziehen

ohne

mit und Grundgesamtheit.

Wenn

,

Zurücklegen: der Umfang der

, dann folgt

Punktschätzer und Konfidenzintervalle Parameter

Punktschätzer

Konfidenzintervall 1. Wenn

bekannt:

2. Wenn

unbekannt:

1. Ziehen mit Zurücklegen: Wenn

, dann gilt

approximativ:

2. Ziehen ohne Zurücklegen: Wenn

,

dann gilt approximativ:

Bei der Berechnung eines Schätzintervalls mittels einer Stichprobe in 1. und 2. wird durch ersetzt.

Einzelnachweise https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Stochastik

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1. Yates, F. (1934). Contingency table involving small numbers and the χ2 test. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1(2): 217-235. JSTOR Archive for the journal (http:// www.jstor.org/pss/2983604)

Weblinks Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics (http://jeff560.tripod.com/stat.html) Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Formelsammlung_Stochastik&oldid=188970908“

Diese Seite wurde zuletzt am 26. Mai 2019 um 15:49 Uhr bearbeitet. Der Text ist unter der Lizenz „Creative Commons Attribution/Share Alike“ verfügbar; Informationen zu den Urhebern und zum Lizenzstatus eingebundener Mediendateien (etwa Bilder oder Videos) können im Regelfall durch Anklicken dieser abgerufen werden. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen. Durch die Nutzung dieser Website erklären Sie sich mit den Nutzungsbedingungen und der Datenschutzrichtlinie einverstanden. Wikipedia® ist eine eingetragene Marke der Wikimedia Foundation Inc.

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