Zusammenfassung Stochastik 1 PDF

Preview

Summary

ew...

Description

Zusammenfassung Stochastik I BY: Tim Baumann, http://timbaumann.info/uni-spicker  CC

Der abstrakte Maß- und Wkts-Begriff Def. Eine Ereignisalgebra oder Boolesche Algebra ist eine Menge A mit zweistelligen Verkn¨upfungen ∧ ( und“) und ∨ ” ( oder“), einer einstelligen Verkn¨upfung · (Komplement) und ” ausgezeichneten Elementen U ∈ A (unm¨ogliches Ereignis) und S ∈ A (sicheres Ereignis), sodass f¨ur alle A, B, C ∈ A gilt:

• • • • •

A∧A = A A∧U = U A∨A = A A∨U = A A ∧ (B ∨ C) =

• A∧B = B∧A • A∧A = U • A∨B = B∨A • A∨A = S (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

• • • •

A∧S = A A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C A∨S = S A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C

Def. Sei A eine Ereignisalgebra und A, B Ereignisse. • Durch A ≤ B : ⇐⇒ A ∧ B = B (gesprochen A impliziert B) ist auf A eine Partialordnung definiert. • A und B heißen ¨aquivalent, falls A ≤ B und B ≤ A. • A und B heißen unvereinbar, falls A ∧ B = U .

• A∧B = A∨B

(De Morgansche Regeln)

Kor. Durch Induktion folgt aus den De Morganschen Regeln:    n  n n n V W W V Ai = Ai = Ai und Ai f¨ur A1 , ..., An ∈ A. i=1

i=1

i=1

i=1

Def. Eine Algebra (Mengenalgebra) ¨uber Ω ist ein System von Teilmengen A ⊂ P (Ω) mit Ω ∈ A, das unter endl. Vereinigungen und Komplementen stabil ist, d. h. f¨ur alle A, B ∈ A gilt: • Ω∈A • A∪B ∈ A • Ac := Ω \ A ∈ A Bem. Aus den De Morganschen Regeln folgt, dass Mengenalgebren auch unter endlichen Schnitten stabil sind. Satz (Isomorphiesatz von Stone). Zu jeder Ereignisalgebra A gibt es eine Menge Ω, sodass A isomorph zu einer Mengenalgebra ¨uber Ω ist. Notation. A △ B := (A \ B) ∪ (B \ A) heißt symm. Differenz. Def. Eine σ-Algebra ¨uber Ω ist eine Algebra A ⊂ P(Ω) ¨uber Ω, die auch unter abz¨ahlbaren Vereinigungen stabil ist, d. h. ∞ S

n=0

An ∈ A

f¨ur alle Folgen (An )n∈N in A.

Def. Sei (An )n∈N eine Folge in einer σ-Algebra A. Setze lim sup An := n→∞

∞ S

n=1 m=n

An ∈ A,

lim inf An := n→∞

∞ S

∞ T

n=1 m=n

Def. Eine Folge (An )n∈N in einer σ-Algebra A konvergiert gegen A ∈ A, notiert lim An = A, falls A = lim inf An = lim sup An .

• Maß, wenn µ Pr¨amaß und R in Wahrheit sogar eine σ-Algebra ist. Dann ist die letzte Vorraussetzung in Punkt 2 immer erf¨ullt.

n→∞

n→∞

n→∞

Satz. F¨ur isotone / antitone Folgen (An )n∈N in A gilt: lim An =

n→∞

∞ S

An

n=1



lim An =

n→∞

∞ T

An

n=1

Def. Ein Ring (Mengenring) ¨uber Ω ist ein System von Teilmengen R ⊂ P(Ω) mit ∅ ∈ R, das unter endlichen Vereinigungen und Differenzen stabil ist, d. h. f¨ur alle A, B ∈ R gilt: • ∅∈R • A∪B ∈ R • A\B ∈ R Bem. Ein Ring ist auch unter Schnitten stabil, da

Def. Ein σ-Ring ¨uber Ω ist ein Ring R ⊂ P(Ω) ¨uber Ω, der auch unter abz¨ahlbaren Vereinigungen stabil ist, d. h. ∞ S

n=0

An ∈ A

f¨ur alle Folgen (An )n∈N in A.

Bem. Jeder σ-Ring ist auch unter abz¨ahlb. Schnitten stabil. Satz. A ist (σ-) Algebra ⇐⇒ A ist (σ-) Ring mit Ω ∈ A. Satz. Sei (Ai )i∈I Familie T von (σ-) Ringen / (σ -) Algebren ¨uber Ω. Dann ist der Schnitt Ai ein (σ-) Ring / eine (σ -) Algebra ¨uber Ω. i∈I

Def. Sei E ⊂ P(Ω). Setze R(E) := {R ⊂ P(Ω) | E ⊂ R, R σ-Ring} und

A(E) := {A ⊂ P(Ω) | E ⊂ A, A σ-Algebra}. T T R, σ(E) := Dann heißen ρ(E) := A R∈R(E)

A∈A(E)

von E erzeugter Ring bzw. von E erzeugte σ-Algebra . Def. Die Borel-Mengen in R1 sind B(R1 ) := σ(E), wobei wir E aus folgenden ¨aquivalenten Optionen w¨ahlen d¨urfen: • {(a, b] | a ≤ b} • {(a, b) | a ≤ b} • {G ⊂ R1 | G abgeschl.} • {[a, b] | a ≤ b} • {[a, b) | a ≤ b} • {F ⊂ R1 | F offen} Notation. R1 := R ∪ {−∞, +∞} = [−∞, ∞]

Bem. Jede σ-Algebra ist auch unter abz¨ahlb. Schnitten stabil.

∞ T

a maß auf R, wenn µ ein Inhalt ist und f¨ur alle Folgen • Pr¨ ∞ S (An )n∈N in R mit Ai ∩ Aj = ∅ f¨ur i 6= j und An ∈ R gilt:

A ∩ B = (A ∪ B) \ (A △ B).

Kor. In einer Ereignisalgebra A gilt mit A, B ∈ A: • A ≤ B ⇐⇒ B ≤ A (Kontraposition) • A=A • A∨B = A∧B

Bem. In einer σ-Algebra, in der die Mengen m¨ogliche Ereignisse beschreiben, ist der Limes Superior das Ereignis, das eintritt, wenn unendlich viele Ereignisse der Folge An eintreten. Der Limes Infinum tritt genau dann ein, wenn alle bis auf endlich viele Ereignisse der Folge An eintreten.

Def. Funktionen mit Wertebereich R1 heißen numerisch. Def. Sei R ein Ring ¨ uber Ω. Eine Fkt. µ : R → [0, ∞] heißt

An ∈ A.

• Inhalt auf R, falls µ(∅) = 0 und µ(A ∪ B ) = µ(A) + µ(B ) f¨ur alle A, B ∈ R mit A ∩ B = ∅ gilt.

µ



∞ S

n=1

An



n=1

=

∞ P

µ(An )

(σ-Additivit¨at)

n=1

Def. Ein Inhalt/Maß µ auf einem Ring / einer σ-Algebra A • heißt endlich, falls µ(Ω) < ∞, • heißt σ-endlich, falls eine Folge An in A existiert, sodass S Ω= An und ∀ i ∈ N : µ(Ai ) < ∞. n∈N

Notation. Sei Ω eine Menge. Die Indikatorfktn von A ⊂ Ω ist ( 1, falls ω ∈ A χ1 = A : Ω → R, ω 7→ |{⋆ | ω ∈ A}| = 0, falls ω 6∈ A.

Bsp. Sei R ein Ring u ¨ber Ω und ω ∈ Ω. Die Abbildung δω : R → [0, ∞] ,

A 7→

A (ω)

ist dann ein Pr¨amaß auf R, genannt Dirac-(Pr¨a)-Maß. Lem. Sei µ ein Inhalt auf einem Ring R. Seien A, B ∈ R und (An )n∈N Folge in R mit µ(A) < ∞ und ∀ n ∈ N : µ(An ) < ∞. Dann:

• µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B) • A ⊂ B =⇒ µ(A) ≤ µ(B) • A ⊂ B =⇒ µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) n n P S Ai ) ≤ µ(Ai ) • µ(

(Isotonie) (Subadditivit¨at)

i=1

i=1

Satz. Sei R ein Ring und µ ein Inhalt. Es gelten f¨ur n ∈ N und A1 , ..., An ∈ R die Ein- und Ausschlussformeln n P P (−1)k−1 µ(A1 ∪ ... ∪ An ) = µ(Ai1 ∩ ... ∩ Aik ), k=1

µ(A1 ∩ ... ∩ An ) =

n P

1≤i1 0: P λn Fλ (x) = exp(−λ) n!

Poi(λ)

0≤n≤x

• Gleichverteilung auf (a, b]: F (x) = min(1, max(0,

x−a )) b−a

• Normalverteilung (Gaußverteilung) mit EW µ und Varianz σ 2 :  2  Rx exp −(t−2µ) Fµσ2 (x) = √ 1 2 dt N(µ, σ 2 ) 2σ 2πσ

−∞

  −(x−µ)2 und die = √ 1 2 exp besitzt die Dichte 2σ 2 2πσ Symmetrie Fµσ2 (µ−x) = 1 − Fµσ 2 (µ+x). F ′µσ2 (x)

• d-dimensionale Normalverteilung mit Erwartungswertvektor m ∈ Rd positiv definiter Kovarianzenmatrix C ∈ Rd×d : R 1 F (x) = √ exp(− 1 (y − m)T C −1 (y − m)) dy 2 d (2π) det C

(−∞,x]

• 2-dimensionale Exponentialverteilung mit λ, µ > 0, ν ≥ 0: ( 0, falls x < 0 oder y < 0, ansonsten: F (x, y) = 1 − e−(λ+ν )x − e−(µ+ν )y + e−(λx+µy+ν max(x,y ))

Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Def. Ein Ereignis A ∈ A trete bei n Versuchen genau hn (A) ∈ N mal auf. Dann heißt • hn (A) absolute H¨aufigkeit von A,

• Hn (A) :=

hn (A) n

a ufigkeit von A. relative H¨

Bem. Unmittelbar klar: • Hn (A) ∈ [0, 1] • Hn (A) ≤ Hn (B) f¨ur A ⊂ B • Hn (A ⊔ B) = Hn (A) + Hn (B) f¨ur A ∩ B = ∅ Bem. Bei wachsendem n stabilisiert sich normalerweise der Wert Hn (A). Dieser Grenzwert ist die Wahrscheinlichkeit von A. Def. Seien A, B ∈ A Ereignisse, n ∈ N die Anzahl der Versuche. Dann heißt h (A∩B) n (A∩B) Hn (A | B) := HH = nh (B) (B) Bem. Offenbar gilt: • Hn (A1 | B) ≤ Hn (A2 | B) f¨ur A1 ⊂ A2

• Hn (A1 ⊔ A2 | B) = Hn (A1 | B) + Hn (A2 | B) f¨ur A1 ∩ A2 = ∅ Def. Sei Ω ∈ L(Rd ) mit λd (Ω) > 0. Dann heißt das W-Maß P : L(Ω) → [0, 1] ,

A 7→

λd (A) λd (Ω)

Gleichverteilung.

Def. Sei Ω eine endliche Menge. Dann definiert P : P(Ω) → [0, 1] ,

A 7→

k

1

Modell. Eine Urne enthalte N Kugeln, darunter M ≤ N schwarze. Dann ist ist die Wkt f¨ur das Ereignis Anm , dass sich unter n gezogenen Kugeln genau m ≤ min(n, M ) schwarze Kugeln befinden, n P(Am )=



M m



N−M n−m N n

 

|A| |Ω|

=

# g¨ unstige F¨ a lle # m¨ ogliche F¨ a lle

ein W-Maß auf (Ω, P(Ω)), genannt Laplace’sche Wkt.



.

(hypergeometrische Verteilung)

Bem. F¨ur Maximum-Likelihood-Sch¨ atzungen: N −M  N  ⌋. / n wird maximal bei N := ⌊ n−M m n−m M   −M  • Der Ausdruck m · Nn−m wird maximal bei M := ⌊ m(Nn−1) ⌋. • Der Ausdruck

Modell. Eine Urne enthalte N Kugeln in k ≤ N verschiedenen Farben, darunter N 1 in der ersten Farbe, ..., N k in der k-ten Farbe, ur das Ereignis Ann1 ,...,nk , N 1 + ... + N k = N . Dann ist ist die Wkt f¨ dass sich unter n gezogenen Kugeln genau n1 ≤ N 1 Kugeln der ersten Farbe, ..., und nk ≤ N k Kugeln der k-ten Farbe befinden, n1 + ... + nk = n, gleich P(Ann1 ,...,nk ) =



N1 n1



···



 

Nk nk



N n

.

Diese W-Verteilung heißt polyhypergeometrische Verteilung. Def. Sei (Ω, A, P) ein W-Raum und A, B ∈ A. Dann heißt ( P(A∩B) , falls P(B) > 0 P(B) P(A | B) := 0, falls P(B) = 0 Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B . Bem. Falls P(B) > 0 gilt, so ist P(− | B) ein W-Maß ¨uber B auf der Spur-σ-Algebra A|B . Lem. Seien A1 , ..., Ak ∈ A, dann gilt die Pfadregel: P(A1 ∩ ... ∩ Ak ) = P(A1 ) ·

k Q

i=2

P(Ai | A1 ∩ ... ∩ Ai−1 ).

Satz. Sei (Ω, A, P) ein W-Raum und A1 , ... ∈ A ein vollst¨andiges Ereignissystem, d. h. paarweise disjunkt mit

Bem. Damit sind Berechnungen von Wkten mit kombinatorischen ¨ Uberlegungen m¨oglich.

Ω=

∞ F

Ai .

i=1

Lem (Fundamentalprinzip des Z¨ahlens). Seien A1 , ..., An endliche Mengen. Dann gilt |A1 × ... × An | = |A1 | · · · |An |. Lem. Sei A eine endliche Menge, r ≤ n := |A| < ∞. Dann ist die Anzahl der r-Tupel mit Elementen aus A gleich

Mit Ordnung Ohne Ordnung

Mit Wdh. nr (n+r−1)! r!

Ohne Wdh. n! (n−r)! n  n! := r!(n−r)! r

Dann gilt f¨ur jedes B ∈ A mit P(B) > 0 P(B) =

∞ P

i=1

• P(Ai ) A-priori-Wahrscheinlichkeit, • P(Ai | B) A-posteriori-Wahrscheinlichkeit. a ngig, falls Def. Zwei Ereignisse A, B ∈ A heißen (P-)unabh¨ P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

k

1

n

n

die relative Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B .

• Hn (A | B) ∈ [0, 1]

Lem. Sei A eine endliche Menge, n := |A| < ∞. Dann ist die Anzahl der m¨oglichen Zerlegungen von A in disjunkte Mengen B1 , ..., Bk mit |Bi | = ni und n1 + ... + nk = n gleich   n n! := n !··· . (Multinomialkoeffizient) n ,...,n n !

P(B | Ai ) · P(Ai )

P(B | An ) · P(An ) P(An | B) = ∞ P P(B | Ai ) · P(Ai )

(Formel der totalen Wkt)

Bem. • A ∈ A mit P(A) = 0 ist unabh¨angig zu jedem B ∈ A. angig, dann sind auch unabh¨angig: • Wenn A, B ∈ A unabh¨ (Ac , B ),

(A, B c ),

(Ac , B c )

Satz. A, B ∈ A unabh¨angig ⇐⇒ PB | A = P(B). Def. Sei (Ai )i∈I (I bel.) eine Familie von Ereignissen in A. a ndig unabhh¨ a ngig, falls • vollst¨ P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Ain ) = P(Ai1 ) · P(Ai2 ) · ... · P(Ain )

f¨ur alle i1 , ..., in ∈ I mit 2 ≤ n < ∞ und a ngig, falls • paarweise unabh¨ P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai ) · P(Aj )

f¨ur alle i, j ∈ I , i 6= j.

Achtung. Aus paarweiser Unabh¨angigkeit folgt nicht vollst¨andige Unabh¨ angigkeit (Gegenbeispiel: Bernsteins Tetraeder). Def. Sei (Ω, A, P) ein W-Raum und A1 , A2 ⊂ A Ereignissysteme. Dann heißen A1 und A2 unabh¨ a ngig, falls P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) · P(A2 )

f¨ ur alle A1 ∈ A1 , A2 ∈ A2 .

angige Ereignissysteme, die Algebren Satz. Seien A1 , A2 ⊂ A unabh¨ sind. Dann sind auch die σ-Algebren σ(A1 ) und σ(A2 ) unabh¨angig. Satz. Sei (Ω, A, P) ein W-Raum, (Ai )i∈N Folge von unabh¨angigen Ereignissen mit gleicher Erfolgswkt P(Ai ) = p f¨ur alle i ∈ N. F¨ ur k ≤ n, k, n ∈ N ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau k St¨uck der Ereignisse A1 , ..., An eintreten, genau   B(k, n, p) := nk pk (1 − p)n−k P Die zugeh¨ B(k, n, p) heißt Binomialverteilung. orige VF x 7→ 0≤k≤x

Lem. Voraussetzung wie im vorherigen Satz. Sei r, k ∈ N, 1 ≤ r, (r) dann ist die Wkt f¨ur das Ereignis Ak , dass beim Versuch Ak+r der r-te Erfolg eintritt, gleich  r  (r) p (1 − p)k . P(A k ) = k+r−1 r−1 (1) Im Spezialfall r = 1 ist P(A k ) = p (1 − p)k .

ur Satz. Sei (Ω, A, P) ein W-Raum, A1 , ..., Ar ∈ A mit pi := P(Ai ) f¨ i = 1, ..., k und p1 + ... + pr = 1. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n ∈ N Versuchen A1 genau n1 -mal, A2 genau n2 -mal, ..., Ar genau nr -mal auftritt (n1 + ... + nr = n), genau  n  n B(n1 , ..., nr , n, p1 , ..., pr ) := n ,...,n p1 1 · · · prnr . 1

r

Diese W-Verteilung heißt Multinomialverteilung.

(Bayessche Formel)

i=1

Sprechweise. In der Bayesischen Statistik heißt

Satz. F¨ ur 0 ≤ m ≤ n, p ∈ [0, 1] gilt 



M m

N−M n−m

  N n



M,N→∞

−−−−−−→ M/N →p

 n m

pm (1 − p)n−m .

Satz (GWS von Poisson). F¨ur m ∈ N, λ ∈ R>0 gilt n  m

n→∞

pnm (1 − pn )n−m −−−−−→ npn →λ

λm exp(−λ). m!

Def. Sei (Ω, A) ein messbarer Raum mit zwei W-Maßen P1 und P2 . Dann heißt d∞ (P1 , P2 ) := sup |P1 (A) − P2 (A)|

Lem. Die Verkettung messbarer Abbildungen ist messbar, d. h. f¨ur f : (Ω1 , A1 ) → (Ω2 , A2 ) und g : (Ω2 , A2 ) → (Ω3 , A3 ) gilt g ◦ f : (Ω1 , A1 ) → (Ω3 , A3 ). Lem. Sei f : Ω → Ω′ eine Abb. und E ′ ⊂ P(Ω), dann ist A(f −1 (E ′ )) = f −1 (A(E ′ )).

Totalvariation des signierten Maßes P1 − P2 .

Lem. Sei (Ω, A) ein messbarer Raum und f : Ω → Ω′ eine Abbildung, sowie E ⊂ P(Ω′ ). Dann gilt

Satz. Seien P1 und P2 zwei W-Maße auf (N, P(N)), P1 ({i}) = pi , P2 ({i}) = qi f¨ ur alle i ∈ N. Dann gilt

Notation. Seien f, g : Ω → R1 zwei numerische Funktionen. Setze

A∈A

d∞ (P1 , P2 ) =

1 2

∞ P

i=0

|pi − qi |.

Lem. F¨ ur n, k ∈ N, p ∈ [0, 1] und P1 und P2 wie eben definiert   (np)k durch pi := nk pk (1 − p)n−k , qi := k! exp(−np) gilt d∞ (P1 , P2 ) ≤ 2np2 .

Lem (Borel-Cantelli). Sei (An )n∈N eine Folge von Ereignissen ¨uber (Ω, A, P). Dann gilt f¨ ur A = lim sup An n→∞

∞ P

n=1

P(An ) < ∞

=⇒

n=1

P(An ) = ∞

=⇒

P(A) = 1,

ur alle E ∈ E. f −1 (E) ∈ A f¨

und definiere analog {f < g}, {f ≥ g}, {f > g}, {f = g}, {f 6= g}. Satz. F¨ur eine Funktion f : (Ω, A) → (R1 , B) sind ¨aquivalent: • f ist messbar • ∀ a ∈ R : {f ≥ a} = f −1 ([a, ∞]) ∈ A • ∀ a ∈ R : {f > a} ∈ A • ∀ a ∈ R : {f ≤ a} ∈ A • ∀ a ∈ R : {f < a} ∈ A

Def. • Sei (Ω, A) ein messbarer Raum, f : Ω′ → Ω eine Abbildung, dann heißt σ(f ) := f

−1

(A) := {f

−1

die von f erzeugte σ-Algebra. ′ • Sei (Ωi , Ai )i∈I eine Familie von messbaren R¨aumen, fi : Ω → Ωi f¨ ur alle i ∈ I eine Abbildung. Dann heißt S S −1 fi (Ai )) σ((fi )i∈I ) := σ( σ (fi )) = σ ( i∈I

die von der Familie (fi )i∈I erzeugte σ-Algebra.

Def. Sei (An )n∈N Folge von σ-Algebren ¨uber Ω. Dann ist  ∞  ∞ S T Tn mit Tn := σ T∞ = Ak n=1

Def. Sei (Ω′ , A′ , µ′ ) ein Maßraum, (Ω, A) ein messbarer Raum, f : (Ω′ , A) → (Ω, A). Dann ist durch µ′f := µ′ ◦ f −1 : A → [0, ∞] ,

k=n

die terminale σ-Algebra von (An )n∈N .

A 7→ µ′ (f −1 (A))

ein Maß auf (Ω, A), das sog. Bildmaß von µ′ unter f , definiert.

Satz (Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow). Sei (An )n∈N eine Folge von unabh¨angigen Unter-σ-Algebren in einem W-Raum (Ω, A, P). Dann gilt P(A) ∈ {0, 1} f¨ur alle Ereignisse A ∈ T∞ der terminalen σ-Algebra.

Integrationstheorie Def. Seien (Ω1 , A1 ) und (Ω2 , A2 ) messbare R¨aume. Dann heißt f : Ω1 → Ω2 (A1 , A2 )-messbar, falls ur alle A2 ∈ A2 . f¨

Satz. F¨ur zwei numerische Funktionen f, g : (Ω, A) → (R1 , B) gilt: • {f < g} ∈ A • {f > g} ∈ A • {f = g} ∈ A • {f ≤ g} ∈ A • {f ≥ g} ∈ A • {f 6= g} ∈ A Satz. Seien f, g : (Ω, A) → (R1 , B) messbare numerische Funktionen und λ, µ ∈ R. Dann auch messbar (‡: falls 0 6∈ Bild(f )): • g (‡) • λ·f • f +µ·g • f ·g • 1f (‡) f Satz. Seien fn : (Ω, A) → (R1 , B), n ∈ N messbare numerische Funktionen, dann auch messbar: • sup fn • inf fn • lim inf fn • lim sup fn n∈N

n∈N

n∈N

n∈N

Notation. F¨ ur solches f schreiben wir f : (Ω1 , A1 ) → (Ω2 , A2 ).

Dabei werden Infimum, Supremum, usw. punktweise gebildet.

Beob. Sei (Ω, A) messbarer Raum, A ⊂ Ω, dann gilt

Def. F¨ ur f : Ω → R1 heißen die Funktionen

A

(A, L(R1 ))-messbar

⇐⇒

A ∈ A.

• |f | := max(f, −f ) : Ω → [0, ∞] Betrag von f

Satz. Falls f : (Ω, A) → (R1 , B) messbar, dann auch |f |, f + u. f − . Satz. • Sei (Ω, O) ein topologischer Raum und f : Ω → Rn stetig. Dann ist f (σ(O), B(Rn ))-messbar. • σ(O) ist die kleinste σ-Algebra, bez¨uglich der alle stetigen Funktionen f : Ω → Rn Borel-messbar sind. Satz (von Lusin). Sei M ∈ L(Rn ) mit λn (M ) < ∞ und f : M → R beschr¨ ankt. Dann ist f genau dann Borel-messbar, wenn gilt: ∀ ǫ > 0 : ∃ Kǫ ⊂ M kompakt : λn (M \ Kǫ ) < ǫ und f |Kǫ stetig. a dl` a g-Funktion (continue a` Def. Eine Funktion f : R → R heißt C` droite, limite ` a gauche), falls f¨ur alle x ∈ R gilt: lim f (y) existiert

y↑x

und

lim f (y) = f (x). y↓x

Beob. Jede kumulierte VF ist eine C` adl` ag-Funktion. Def. Die Variation von g : [a, b] → R bzgl. einer Zerlegung Z = {a = x0 < ... < xn = b} von [a, b] ist die nicht-negative Zahl V (g, Z) :=

n P

j=1

(A) | A ∈ A}

i∈I

also zusammengefasst P(A) ∈ {0, 1}.

f −1 (A2 ) ∈ A1

⇐⇒

{f ≤ g} := {ω ∈ Ω | f (ω) ≤ g(ω)} ⊂ Ω

P(A) = 0.

Falls die Ereignisse (An )n∈N unabh¨angig sind, so gilt ∞ P

f ist (A, σ(E))-messbar

• f + := max(f, 0) : Ω → [0, ∞] Positivteil von f • f − := − min(f, 0) : Ω → [0, ∞] Negativteil von f

|g(xj ) − g(xj−1 )|.

Die Totalvariation von g : [a, b] → R ist

V ab (g) := sup {V (g, Z) : Z Zerlegung von [a, b]} ∈ R≥0 ∪ {∞}.

Falls Vab(g) < ∞, so heißt g von beschr¨ankter Variation. Satz. Es sind messbar: • Monotone Fktn, • C` adl` ag-Fktn, • Fktn von beschr¨ankter Variation Def. Eine A-messbare numerische Funktion X ¨uber einem W-Raum oße (ZG) oder Zufallsvariable. (Ω, A, P) heißt Zufallsgr¨ Bem. H¨ aufig fordert man zus¨ atzlich P({X = ±∞}) = 0. ur eine ZG X und eine Fkt. g : R1 → R1 schreiben wir Notation. F¨ f (X) := f ◦ X : Ω → R1 . Def. Das durch die ZG X induzierte Bildmaß PX : L(R1 ) → [0, 1] ,

B 7→ P({X ∈ B}) = P(X −1 (B))

heißt Verteilungsgesetz der ZG X und FX : R → R,

x 7→ PX ((−∞, x]) = P({X ≤ x})

heißt Verteilungsfunktion (VF) der ZG X . Satz. Sei F eine VF auf R1 . Dann existiert ein W-Raum (Ω, A, P) und eine ZG X auf Ω derart, dass FX = F . Beweis. 1. M¨ oglichkeit: W¨ ahle Ω := R1 , A := L(R1 ) und P := µF als das von von F erzeugte Maß und setze X := id. 2. M¨ oglichkeit: W¨ahle Ω := [0, 1], A := L([0, 1]), P := λ1 . Setze X(w) := F − (w) := inf{F ≥ w} f¨ur w > 0,

...