Formulario Analisi 1 PDF
| Title | Formulario Analisi 1 |
|---|---|
| Course | Analisi Matematica 1 |
| Institution | Università degli Studi di Padova |
| Pages | 2 |
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Summary
Periodo : MONOTONA: ) sup inf PERIODICA: INVERTIBILE: se strettamente se La parentesi quadra (tonda) indica che cos tan archi complementari e sin cos cos cos( sin sin cos di sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan tan di 2 sin cos sin cos sin cos2 sin2 sin2 (cos (sin 2(cos 1 1 2 (sin tan tan (tan di...
Description
2 Altri limiti Passo 4. Trovati eventuali punti di estremo locale li si confrontano con f(a) INSEIMEI: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ; Periodo : = 1 1 1 e f(b). sin = . lim lim sin → . ; lim √ = √ = 1 lim FUZIONE MONOTONA: > 2 (1 ) ≥ (2 ) →0 →0 →0 →∞ Teorema di Lagrange : [, ] → ( ) =() : (, ) : sup () lim inf () = +lim 1 → →− , , ( , ), lim arctan → , lim →0 FUNZIONE PERIODICA: : → ℝ ( + ) = () ∀ ∈ ′ 0 1 () lim ′ () = ∈ allora esiste = . Quando il limite della + + lim = ∞ = 0 ; log(−∞) = ∞ (ℎ ? ); = 0 → + FUNZIONE INVERTIBILE: se strettamente monotona; se bigettiva. ±∞ →−∞ derivata non esiste, il teorema non è applicabile, occorre calcolare il limite Disequazioni irrazionali () 1 del rapporto incrementale nel p. (( ) − ( )) = ∞ − ∞ = ln(lim ) log = − log () > 0 () Metodo delle derivate successive Se la prima derivata diversa da zero in �() < () ↔ � () ≥ 0 Confronto infiniti: < √ < < < ! < → ∞ x0 è di ordine pari ed è positiva avremo un mino, se è negativa un () < [()]2 DERIVATE (f(x) = f’(x)) massimo; se la prima derivata diversa da zero è di ordine dispari ed è () ≥ 0 () < 0 Geometricamente la derivata della funzione f nel punto x è il valore del 0 && � positiva avremo un flesso ascendente, se è negativa un flesso �() > () ↔ � () > [()]2 () ≥ 0 coefficiente angolare (m) della retta tangente alla curva nel punto discendente. Flesso -> punto dove la curva cambia concavità. INTERVALLI La parentesi quadra (tonda) indica che l’estremo è incluso (y = mx + q) Punti flesso obliquo Se nei punti in cui si annulla la derivata seconda la || (escluso) nell’intervallo. ES:[, ) → ≤ < derivata terza è diversa da zero avrai punti di flesso. Successivamente si ∗ = ; || → () = = FUNZIONI TRIGONOMETRICHE || può determinare con lo studio della derivata seconda la convessità 1 cos 1 sin = −1 ; ln() = log(−) → (y’’>0), concavità(y’’ 0, → ℝ log = →± ∞ 4 2 2 log () cos 2 = (cos )2 − (sin )2 = 2(cos )2 − 1 = 1 − 2 (sin )2 1 1 () − = = ( ≠ 0); lim lim ; log () = →∞ →∞ ∗ ′ () ∗ 1 1 2 tan ln() () cos2 () = cos(2) + ; tan 2 = SERIE 2 2 1 − (tan ) 2 = ∗ log(); = ; = (1 + ln()) Serie telescopica ∑=1(+1 − )= (1 − + ) == 1 + 2 + ⋯ Formule di bisezione {( )} = ∗ {( )}−1 ∗ ′() � + � = �( + ) 1 1 ′ (); ′ () 1 cos 1 cos = ∗ �() �() = ∗ sin = ± � − cos = ± � + Se le due serie a termini positivi sono convergenti anche la somma delle 2�() ∗ �()−1 2 2 2 2 2 2 due serie sarà convergente. Se una diverge no. = sin 1 − cos ∗ ′ () �{()} tan = = ∗ �()− � ∗ � = � ; = ( 0 + −11 + ⋯ + 0 sin 1 + cos 2 sin�()� = cos�()� ∗ ′ () ; cos�()� = − sin�()� ∗ ′ () Se le due serie a termini positivi sono convergenti allora il prodotto è Formule di prostaferesi 1 1 1 1 convergente e la sua somma vale il prodotto delle somme delle serie ∗ ′( ) ∗ ′ (); (()) = − tan(( )) = sin ± sin = 2 sin( ± ) cos ( ∓ ) sin () cos2 () 2 2 date. Questo risultato si estende a serie di termini qualunque nell'ipotesi 1 1 1 che almeno una delle serie sia assolutamente convergente. cos + cos = 2 cos ( + ) cos ( − ) arcsin () = ∗ ′ () 2 2 {()}2 �1 − 1 1 �( ∗ ) ≠ � ∗ � 1 cos − cos = −2 sin ( + ) sin ( − ) 2 2 arccos () = − ∗ ′ () Studiare il carattere della serie 2 {()} �1 − Formule parametriche Posto t=tg(x/2): lim � = ; +1 lim = converge se l1 1 2 2 1 − 2 2 →∞ →∞ arctan�()� = ∗ ′() � sin = cos = � = tan = Condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché una serie converga è 1 + {()}2 1 + 2 1 + 2 1 − 2 1 + 2 che il termine generale an tenda a zero. 1 1 Equazioni trigonometriche log () = ∗ log ∗ ′ () ; ln�()� = ∗ ′( ) Serie a termini non negativi: sn+1 = sn+an+1 >= sn : monotona crescente -> () sin = → = arcsin + 2, = − arcsin + 2 () convergente o divergente a + ∞. cos = → = ± arccos + 2 () = () ∗ ln() ∗ ′ () ; () = () ∗ ′() Criterio del confronto ( ≤ definitivamente) arctan = → arctan + () {( )}() ∗ { ′ () ln(() + ∗ ′()} sin2 + sin cos + cos2 = 0 → . cos2 () � => � ′ Teo degli zeri: f:[a,b] ->R continua e f(a)f(b) < 0 allora esiste un punto () [|()|] = ′ () ∗ �()�; ln|()| = (a,b) tale che f(x0) = 0. Si usa metodo della bisezione (con p medio). � => � () NUMERI COMPLESSI REGOLE DI DERIVAZIONE Serie importanti 1 2 2 ′ � + = −; + = √ + � 1 > 1 → [ ∗ () + ℎ ∗ ()] = ∗ () + ℎ ∗ ′() � 2+ 2 �2+2 = �) ( . [() ∗ ()] = ′ () ∗ ( ) + ( ) ∗ ′() ≤ 1 → = + = (cos + sin ) = ; (, ∈ ℝ) ′ () ∗ () − () ∗ ′() () 1 − = − = = (cos − + sin −) = � ⎧ ( − 1 < < 1 �= [()]2 1 − () = (cos + sin ) = ( ) = ′ + ∞ ≥ 1 ⎨ = + (, ∈ ℝ) → () = && () = ; ��()�� = �()� ∗ ′() ≤ −1 ⎩ D f(g(h(x))) = f’(g(h(x)))g’(h(x))h’(x) Dove: cos =� 2 2 e sin = 2 2 � + + ′ Convergenza assoluta () () () () ′ () 2 2 2 2 [()] � = [()] � ln () + = || = � + = � + ; ≥ Se la serie converge assolutamente converge, converge, ma non () viceversa -> se diverge assolutamente non si sa se converge. 1 1 arctan � � > 0 ; (0 ) = 0 → ′ (0 ) = ; [ −1 ()] = �()� Criterio di Leibnitz ′( ) −1 0 arg() = = � = () Formule utili derivate � + < 0 arctan �− �(−1) ≥ 0 Se una funzione è derivabile allora è anche continua, ma se è continua |) Se la { } è decrescente (+1 ≤ ) e → 0: converge! : arg() = 0 , arg(−) = ; arg(±) 2=; arg(| ± =0 ∞ non è detto che sia derivabile. Se una funzione è discontinua in x0, non Formula per calcolare radici n-esime nel campo complesso del numero può essere derivabile in x0. � = (cos ) + sin ): ( + ℎ) − () =0 1 ′ () = lim + 2 + 2 ℎ→0 ℎ Campo complesso: log( ) = ln + ( + 2); = log() (cos � = � � + sin � : ( , ) → 0 ( , ) ′ è : Proprietà interessanti = 0,1,2,3 … − 1 (0 + ℎ) − (0 ) ′ ! = ( − 1)! > 1; ( + 1)! = ! ( + 1) lim = (0 ) |1 ∗ 2 | = |1 | ∗ |2 | arg(1 ∗ 2 ) = arg(1 ) + arg(2 ) ℎ→0 ℎ ≔ → ∞ ∶ log ! = log − Esempio Se z=(1+i) trovare |z| e arg(z) e lo stesso per 10: (0 , (0 )) ∶ = ′(0 )( − 0 ) + (0 ) log(√!) = 0.5 log() − 1 ′ : () = (0 ) + (0 )( − 0 ) + ( − 0 ) || = √2 e arg = arctan= 1 4 SVILUPPO DI MC LAURIN DELLE PRINC. FUNZIONI (con a=0) PUNTI DI NON DERIVABILITA’ ′ | 10 | = ||10 = √210 = 25 = 32; (3) ′′ () () ′ ()nei punti in cui sospetta non ci Si va a calcolare lim + ′ () e lim ( − )2 + ⋯ ( − )2 + ( − ) + () = () + 5 →0− → 0 3! 2! 1! arg( 10) = 10 ∗ arg = 10 ∗ = = 2 + �→ arg( 10 ) = � 2 3 sia derivabilità: 2 2 4 2 +1 +⋯ = � = 1 + + + + ⋯ + + 1) I due limiti esistono, sono finiti e sono uguali -> f(x) è derivabile ed il ���1��� ; �� ( +��� �2= ) = ||2 = 2 + 2 ; || = ||; −1 = � 1+ � 2 ! ! ( + 1)! 2! 3! ||2 =0 valore comune dei due limite coincide con f’(x0). 2+1 3 5 − − LIMITI NOTEVOLI 2) I limiti esistono ma sono diversi -> f(x) non è derivabile in x0 dove + ⋯ ; ℎ = ℎ = + + + ⋯ + : ∀ > 0 ∃ > 0 ℎ ∀ ∈ ℝ, 0 < + 1 < → () > presenta un punto angoloso (dato|f(x)| cercare in punti f(x) = 0). (2 + 1)! 2 3! 5! 0 − + − 2 2 4 ∗ (±1) ∗ ∞, > 3) I limiti sono entrambi uguali a ±∞ -> f(x) non è derivabile in x0 dove + ⋯ ; ℎ = Ch = 1 + + + ⋯ + 0 +1 −1 + ⋯ + 3 (2 )! 2 2! 4! ==� 0 lim presenta un flesso (a tangente) verticale (es () = √) →±∞ + −1 + ⋯ + 0 , = (−1) 2+1 0 1 3 5 1 1 4) Un limite è uguali a +∞ e l’altro a −∞ -> f(x) è derivabile in x0 dove sin = − + −⋯+ + ⋯ sin = − − 0, < 3 3! 5! (2 + 1)! 2 2 | presenta una cuspide (es ( ) = �|). (1 + ) − 1 6 8 4 2 2 = , ∈ Nota: Sia (x0,y 0) punto di flesso per f(x), se la tangente nel punto è → 1: ( − 1 ) ≈ 2( − 1); lim − +⋯ sin2 = 2 − + →0 45 315 3 sin( ) sin () orizzontale (f’(x) = 0) si parla di flesso orizzontale, altrimenti obliquo. = 1→0 ; lim = ;(1 − cosn ( )) ≈ 2 ∙ ( 2 ) ∙ 2 (−1) 2 − lim 2 4 →0 TEOREMA DEL VALOR MEDIO E CONSEGUENZE + ⋯ cos = cos = 1 − + − ⋯ + + (2)! tan() arcsin ( ) 1 − cos () 1 2 2! 4! 2 Definizione Si dice che M è massimo di f in [a,b] e x [a,b] è punto di 0 = 1 ; lim =1 = ; lim lim 4 2 6 →0 →0 2 2 →0 2 2 massimo se (0 ) = ≥ (), ∀ ∈ [, ] cos = 1 − + − + ⋯ arctan() 1 1 3 45 T. di Fermat Si : [, ] → , derivabile in x (a,b). Se x è punto di = 1 ; lim = lim log ; √1 + − 1 ≈ ()2 3 (−1)−1 →0 →0log (1 + ) 2 log estremo locale allora ′ () = 0. log(1 + ) = − +⋯ + −⋯+ 1 ; log lim = +∞ 2 3 lim log = +∞ >→∞ I punti in cui f’ si annulla, si dicono punti stazionari per f. →0+ 5 3 2 17 7 7 T. Val medio. Test di monotonia. + ( ) Tan = + + + �1 + � = lim = 0 0 = 1 ; lim : (, ) → ′ = 0 (, ) ↔ () è (, ) →0 →0 1 = 1 − + 2 − 3 + ⋯ + (−1) + ⋯ ( = −1) STIME ASINTOTICHE (esempi per x -> 0) Ricerca dei punti di max e min di f:[a,b]->R 1+ 3 +1 log +log Passo 1. Si calcolano f(a) e f(b) (−1) (2 − 3)‼ − 1 ≈ ; − 1 ≈ log ; lim = 0 ; lim 2 =1 1 −. . + →0 log →0 log √1 + = 1 + − + � = � Passo 2. Si calcola f’(x) e si risolve f’(x) = 0 (-> punti stazionari) 16 (2)‼ 2 8 2 log 1 = 0 Se () ≈ () → log() ≈ log () ; lim 2 →∞ 3 Passo 3. Se non vi sono punti stazionari f(a) e f(b) sono punti di estremo 3 5 1 (−1) (2 − 1)‼ 1 = 1− + � = − � +⋯+ ()() = g(x)log () ; − globale. Se x = x0 punto stazionario si studia segno di f’(x).(-> max, min o (2 )‼ 2 8 16 2 √1 + −Log[]2 ≠ Log[1⁄ ]2; Log[1]*Log[n] -> 0 (n ->inf) flesso)
2 ( − 1)( − 2) … ( − ( − 1))( . ) −1� � = � � = ‼ = ( − 2)( ! − 4) … 2 ( ) � √ + − 1 Proprietà =+ √ � + ∫ ( 2 2√ (2 + ) “o piccolo” f*o(g) = o(f*g) ; o(f)*o(g) = o(f*g) � ± ) 2( −1) 2 � ( 2± 2) −1 + (2 − 3) ∫ 2 2 −1 ( ± ) ( ) − ( ) = ( ); (−3 2 ) = ( 2 ); ∗ ( ) = ( 2 ) − 1 −1 √2 − 2 (+1) √2 − 2 � () +1 + � ( ) = − 0 −2 : − 2(1 1) 2 −− 2) (2 − ( + 1)! � ��2 − 2 � � ��2 √2 − 2 � = 2 INTEGRALI e PRIMITIVE +1 ��2 − � + Integrali contente � ±+1 ( > ) (Se √ − ∶ > > . ) = − � () � () 2 � � 2 ± 2 = � 2 ± 2 ± log | + � 2 ± 2 | + 1 = () 2 2 Teorema della media: − ∫ () � ≤ ∫ |()| � = log | + � 2 ± 2 | + Positività e monotonia dell’integrale �∫ () � 2 ± 2 = () − () Teo fondamentale de calcolo integrale ∫ () 2 + 2 + √ 2 + 2 √ � � = � 2 + 2 − log � || [−, ], �= () 0 − √ 2 − 2 −1 2 2 = � − − sec + � � = 2 � () [−, ], () 0 − 4 � 2 � 2 ± 2 = (2 2 ± 2 )� 2 ± 2 −log � + � 2 ± 2 � Lavoro di una forza: = ∫ () 8 8 2 2 Lunghezza del grafico: lim = ∫ �1 + ′ () 2 →∞ � = � 2 ± 2 ∓ log � + � 2 ± 2 � + 2 2 � 2 ± 2 �1 + ′ ()2 Superficie (area) solido di rotazione = 2 ∫ () 2 � 2 ± 2 � 2 ± 2 Volume soldo di rotazione = ∫ () ( ) ; = 2 = − � + log � + � 2 ± 2 � + ∫ 2 (PP) ∫ () ′ () = ()( ) − ∫ ′ () ( ) +1 � 2 ± 2 ± = =∓ + � + ; � → 3 ≠ −1 2 2 � 2 ± 2 2 � 2 ± 2 ( + 1) ( 2 ± 2 )2 3 1 4 2 → log|| ; → 3 �( 2 ± 2 ) = (2 2 ± 5 2 )� 2 ± 2 + log � + � 2 ± 2 � 8 8 → > 0, ≠ 1 Integrali contenenti √ − ( > , || < ) (SOSTITUIRE PRIMA!) log 2 sin → − cos ; cos → sin + � � 2 − 2 = � 2 − 2 + sin−1 2 2 tan → − log | cos | ; → − log | sin | 2 2 2 − 2 √ − + √ ℎ → ℎ ; ℎ → ℎ � = � 2 − 2 − log � � + ℎ → log ℎ ; ℎ → log|ℎ | 1 2 1 2 → − → tan ; −1 � = − � 2 − 2 + sin + (sin )2 (cos )2 2 2 √ 2 − 2 1 1 1 4 −1 → arctan ; 2 → arctan 2� 2 2 2 2 )� 2 2 2 2 � − = (2 − + sin + − 1 + + 8 8 + 1 1 ) → arctan( 2 + ( + )2 1 1 + 1 || < 1 → log 1 − 1 − 2 2 1 1 +1 log || > 1 → − 1 1 − 2 2 1 1 ; → log | + �1 + 2 → arcsin √1 + 2 √1 − 2 1 2 → log | + � − 1 || > 1 √ 2 − 1 ′ +1 ′ → ≠ −1; → log|| +1 ′ ′ → arctan ; → arcsin 2 1 + �1 − 2
� (log )−1 (log ) − +1 +1 +1 log − ; � log = log − � log = ( + 1)2 +1 � (log ) →
+1
+1
√ 2 − 2 + = − 2 2 √ 2 − 2 √ 2 − 2 √ 2 − 2 = − − sin−1 + � 2 2 2 + √ − 1 � + � = − log � √ 2 − 2 � + = 3 2 √ 2 − 2 ( 2 − 2 )2 �
3
∞
1 = ( > 0) � − = ! ( ≥ 0); � − 0 0 ∞ ∞ 1 1 2 2 = , >0 � − = � , > 0, � − 2 2 0 0 ∞ ∞ − 1 2 −1 − 2 , ≥ 2 � − = � 2 0
0
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … ( − 1)
() = cos(), () = sin() ; cos() + sin() () cos(), () sin()
() = 1 ( ) ;
(∗) se non è1radice di () = () ∗ ; altrimenti () = (1 ) = à ( 1 ≠ 2 → = 2) se non è radice di (∗) o se non c ′ è qualcosa altro ( ) () = cos + sin altrimenti () = ( cos + sin )
è (∗) () = ( ) sin 1() cos + 1 altrimenti () cos() () + () sin() = ( 1 ( ) cos + 1 ( ) sin ) (ℎ cos() [ cos() + sin()] + sin()) se + soluzione di (∗) [ cos() + sin( )] () = () + () ( 0 1 0 0 ±∞ 1 √5 − 1 (18°) � � 5 − 2√5 10 + 2√5 5 + 2√5 10 � 4 4 5 1 √3 √3 1 √3 (30°) � � 6 2 2 3 √3 √5 + 1 1 (36°) �10 − 2√5 �5 − 2√5 �5 + 2√5 5 4 4 5 1 1 √2 √2 (45°) 4 2 2 3 1 √5 + 1 (54°) �10 − 2√5 �5 − 2√5 �5 + 2√5 10 4 4 5 1 √3 √3 √3 (60°) 3 2 2 3 2 √5 − 1 1 (72°) �10 + 2√5 �5 + 2√5 5 − 2√5 � 5 4 4 5 01 0 ±∞ ± (90°) 2
3 4 (5 2 − 2 2 )� 2 − 2 + sin−1 + 8 8
� (, � 2 − 2 ) → = asin ; � (, � 2 − 2 ) → = aCh
CASI
� (, � 2 + 2 ) → = aSh ;
� = − � −1 ; � = ( − 1) + ∞
�( 2 − 2 )2 =
() = ()
() = ()
ℎ(ℎ) = � 2 + 1; ℎ(ℎ) = � 2 − 1
� 2+1 �� 2 ± 2 � → � 2 ± 2 = → = ; 2+1 = ( 2 ∓ 2 )
� (, , 1, … ) → = ( = (, 1))
1
∶ = +
Complete the square: 2 + + = � +� − −4 4 2 2 INTEGRALI GENERALIZZATI 2
2
−
+=� lim : [, ) lim () = ±∞ → � () () →0 →− ≥ 2 2 ∗ 4 ∗ 6… 2 � sin = � cos = � 2 ∗ 4 ∗ 6 ∗ … ( − 1) 0 =� lim +lim 0 () = ±∞ → � () () PROPRIETÀ VARIE e FORMULE UTILI ≥ 3 : (, ] → →0+ + 3 ∗ 5 ∗ 7 ∗. . 1 1 1 + ∞ ≥log 1 2 = 4 → log = 2 log = −2 → = 2 2 = 2 2 � sin = − sin(2) + ; � cos = + sin(2) + 2 2 2 =� ( − )1− � =� 2 4 2 4 Teorema di Carnot (triangolo): = + − 2 ∗ cos 2 < 1 = ( − ) ( − ) cos 1 − Retta : + + = ; . ; = − − � tan2 = tan − + ; �(cot ()) = − − + sin 0 ≤ () ≤ () Condizione di parallelismo tra due rette: 1 − 1 = 0; = ′ integratebile → integrabile sin(( − )) sin�( + )� −1 ′ − � sin() sin() = + ; 2 ≠ 2 ; = −1 Condizione di perpendicolarità : − = 0; = 1 ...
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