Formulario Statistica Economica PDF

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M. Garetto - Statistica

B-1

Appendice B.

Formulario

Valor medio campionario n

x=

1 xi n i =1

∑

Varianza campionaria 2 ⎡n n n ⎞ ⎤ ⎛ n 2 2⎤ 1 1 ⎢ 1 ⎡ 2 1⎜ 2 ⎟ s = xi − x = xi − xi ⎥ = ⎢ xi − n x ⎥ n − 1 i=1 n − 1 ⎢i =1 n ⎜⎝ i = 1 ⎟⎠ ⎥ n − 1 ⎢⎣ i =1 ⎥⎦ ⎦⎥ ⎣⎢

∑(

2

)

∑

∑

∑

Scarto quadratico medio campionario (deviazione standard) n 2 1 xi − x n −1 i =1

∑(

s=

)

Dati raggruppati n = n° dati k = n° classi Valor medio campionario

x=

mi = valori centrali

fi = frequenze assolute

1 k ∑ mi f i n i =1

Varianza campionaria 2 ⎡k k k ⎞ ⎤ ⎛ k 2⎤ 2 1 1 ⎢ 1 ⎡ 2 1⎜ 2 ⎟ s = mi − x f i = fi mi − f i mi ⎥ = f i mi − n x ⎥ ⎢ ⎟ ⎥ n −1 ⎢ n − 1 i=1 n −1 ⎢ i =1 n ⎜ i =1 ⎥⎦ ⎣ i =1 ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎣⎢

∑(

2

)

∑

∑

∑

Covarianza - Coefficiente correlazione lineare

S xy =

n n ⎞ 1 ⎛⎜ 1 xi − x yi − y = xi yi − n x y ⎟ ⎟ n − 1 i=1 n − 1 ⎜⎝ i = 1 ⎠

∑(

)(

)

∑

r =

Retta di regressione n

E = ∑ ( Ax i + B − y i)2

y = Ax + B

i =1

n n ⎧ n 2 ⎪A ∑ xi + B ∑x i = ∑ xi yi ⎪ i=1 i =1 i =1 ⎨ n n ⎪ ⎪A ∑xi + nB = ∑ yi ⎩ i =1 i =1

oppure

⎧ ⎪A = ⎨ ⎪ ⎩B =

Parabola dei minimi quadrati n

y = Ax 2 + Bx + C

E=

∑ ( Axi2 + Bxi + C − yi ) 2

i =1

⎧ ⎪A x i4 + B x i3 + C xi2 = x 2i y i ⎪ i =1 i =1 i =1 i =1 ⎪ n n n n ⎪ 3 2 A x B x C x xi yi + + = ⎨ i i i ⎪ i =1 i =1 i =1 i =1 ⎪ n n n ⎪ 2 + + = A x B x nC yi i i ⎪ i =1 i =1 ⎩ i =1 n

n

n

n

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

S xy sx2 y − Ax

S xy s x2 ⋅ s y2

Regressione n

Covarianza: Codevianza:

Cov ( X ,Y ) =

S xy n

=

n

 (x i − x )(y i − y )  x i y i − nx y =

i =1

n

n

n

n

i =1

i =1

Cov (X ,Y ) = S xy =  (xi − x )( yi − y ) =  x i y i − nx y ; n

Coefficiente di regressione:

i =1

b=

Cod ( X ,Y ) ; Dev (X )

b=

n

n

n  xi yi −  xi  yi i =1

i=1

i=1

  n  x i2 −   x i  i =1  i =1  n

n

n

n

n

2

n

 y  x − x  x y 2

i

Intercetta:

a = y − bx :

a=

i =1

i

i

i=1

i =1

i

 n  n x −  x i  i= 1  i= 1  n

i

i =1

2

2 i

Cod ( X , Y ) ; r = bXY  bYX Dev (X )Dev (Y )

Indice di correlazione:

r=

Valori teorici:

ˆy i = a + bxi

Devianza di regressione:

Dev (reg ) =  ( yˆ i − y )2

n

i= 1 n

Devianza residua:

Dev(res ) =  ( yˆ i − yi )2 i= 1

Devianza Totale: Indice di determinazione:

Dev (tot ) = Dev (Y ) ; Dev( tot) = Dev( reg) + Dev( res) Dev (reg ) 2 Dev(res ) 2 2 2 ; R =1− ; R = rr = r R = Dev (tot) Dev( tot)

Indice dei prezzi di Laspeyres pht qh0 p p h0 q h0 PL0,t = h =  ht ;  ph0 qh0 h p h0  h p h0q h0

Indice delle quantità di Laspeyres  p h0q ht q ph0 qh0 Q L0,t = h =  ht ;  p h0q h0 h qh0  h ph0 qh0

Indice dei prezzi di Paasche h pht qht p p h0q ht P =  ht ; P 0,t =  ph0 qht h ph0  h p h0q ht

Indice delle quantità di Paasche h pht q ht q p ht q h0 P =  ht ; Q 0,t =  pht q h0 h qh0  h p ht q h0

h

h

Indice dei prezzi di Fisher PF 0,t = (PL0,t PP 0,t) 1/2

h

h

Indice delle quantità di Fisher Q F 0,t = (Q L0,t Q P 0,t) 1/2

B-2

Appendice B - Formulario

Linearizzazione Funzione

Forma linearizzata

y = f (x )

y = C ⋅ xA

Cambiamenti di variabili e costanti

Y = AX + B ln y = A ln x + ln C

X = ln x

ln y = A ⋅ x + ln C

C=e X =x

Y = ln y

B

y = C ⋅e

Ax

C=e X = ln x

Y = ln y

B

y = A ln x + B

y = A ln x + B

A +B x 1 y= Ax + B y=

y=

x A + Bx

y=

D x+C

y=

y=A

1 +B x

y=−

Y= y

X=x

1 y 1 Y = y Y=y

1 x

X = X = xy

1 (xy ) + D C C

⎛L ⎞ ln⎜⎜ − 1 ⎟⎟ = Ax + ln C ⎝ y ⎠

L 1 + Ce Ax

1 x

X =

1 = Ax + B y 1 1 =A +B x y

Y=y

C=−

B A ⎛L ⎞ Y = ln ⎜⎜ −1 ⎟⎟ ⎝y ⎠

1 A

X =x

Y=

D=−

C = eB

y=

1 B + Ae

L = costante assegnata 1 X = e− x Y= y

1 = Ae− x + B y

−x

Disposizioni con ripetizione

Disposizioni semplici

Dn(r,k)

Dn ,k =

=n

k

n! ( n − k) !

Permutazioni

Pn = n!

n! Pn,n ,n ,...,n = n1!n 2 !.....n k ! k 1 2

Combinazioni

D ⎛ n⎞ n! ⎜⎜ ⎟⎟ = C n ,k = n ,k = k! k !( n − k ) ! ⎝ k⎠ Regola additiva della probabilità

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B) Probabilità condizionata

P(A ∩ B) P(A) P (A ∩ B) P (A B) = P (B) P ( B A) =

P(A) ≠ 0 P(B) ≠ 0

Eventi indipendenti - Regola di moltiplicazione

P (B | A) = P (B) P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B)

P (A | B) = P (A)

Probabilità totale n

P(A ) = P(A | B 1 ) ⋅ P(B 1 ) + P(A | B 2 ) ⋅ P(B 2 ) + ... + P(A | B n ) ⋅ P (B n ) = ∑ P(A | B i ) ⋅ P(B i ) i =1

Università di Torino

Indice dei prezzi di Laspeyres  pht qh0 p p h0 q h0 PL0,t = h =  ht ;  ph0 qh0 h p h0  h p h0q h0

Indice delle quantità di Laspeyres  p h0q ht q ph0 qh0 Q L0,t = h =  ht ;  p h0q h0 h qh0  h ph0 qh0

Indice dei prezzi di Paasche h pht qht p p h0q ht P =  ht ; P 0,t =  ph0 qht h ph0  h p h0q ht

Indice delle quantità di Paasche h pht q ht q p ht q h0 P =  ht ; Q 0,t =  pht q h0 h qh0  h p ht q h0

h

h

Indice dei prezzi di Fisher PF 0,t = (PL0,t PP 0,t) 1/2

h

h

Indice delle quantità di Fisher Q F 0,t = (Q L0,t Q P 0,t) 1/2

HOTEL PASS Per te una Carta 2per1 Hotel per fruire illimitatamente di soggiorni di 2 notti in formula 2x1* in tantissimi Hotel aderenti all'iniziativa su tutto il territorio italiano. *Pernottamento di 2 notti al prezzo di una, per due persone, in camera doppia con prima colazione inclusa, usufruito nei giorni indicati.

COME UTILIZZARE LA CARTA: 1. Ogni volta che intendi usufruire dell’offerta, consulta la lista delle strutture aderenti all’iniziativa nell’apposita pagina dedicata all’Hotel Pass su liveFAST.it; 2. Individua quella che preferisci; 3. Contattala telefonicamente spiegando che sei in possesso di una carta 2per1 Hotel TLC offerta da Fastweb. 4. Ti ricordiamo che la prenotazione è obbligatoria.

Per ulteriori informazioni sulla Carta e sul suo utilizzo contatta l’Assistenza Clienti (lun-ven: 9:30-13:00, 14:00-17:30); Tel: 02/82951630 - E-mail: [email protected]. Si precisa che la presente Carta è valida per una sola persona e va utilizzata nel periodo di validità sotto riportato. Ogni codice corrisponde a ripetute prenotazioni e una volta superata la data di scadenza verrà reso inattivo. Offerta soggetta a disponibilità promozionale e termini e condizioni.

NOME

COGNOME CODICE VOUCHER VALIDO DAL

TERMINI E CONDIZIONI. • La presente offerta dà diritto al titolare della Carta a 2 notti di pernottamento al prezzo di una, per due persone, in camera doppia con prima colazione inclusa, presso uno degli hotel aderenti all’iniziativa, secondo il listino prezzi degli stessi vigente nelle date di soggiorno. • Per usufruire dell’offerta è necessario che almeno una delle due notti prenotate sia in settimana (lunedì, martedì, mercoledì, giovedì o venerdì). • Gli hotel aderenti sono di categoria minima 4 stelle. Le eventuali spese aggiuntive (pasti, telefonate, minibar, ed altri servizi aggiuntivi) non rientranti nella presente offerta, saranno pertanto a carico dell’avente diritto al premio e degli accompagnatori e dovranno essere saldate al momento della partenza. • La prenotazione è soggetta a disponibilità promozionale e sono esclusi ponti, festività ed alta stagione. Si consiglia di contattare la struttura individuata per conoscere i periodi di esclusione. • La struttura partner potrà richiedere una caparra o carta di credito a garanzia in fase di prenotazione. • I termini della policy di cancellazione variano da struttura a struttura, si consiglia di richiederli al momento della prenotazione. • Al momento del check-in verrà richiesto un documento d’identità per poter utilizzare l’offerta e usufruire del soggiorno. Gli orari di check-in e check-out variano a seconda di ogni singola struttura e verranno comunicati al momento della conferma della prenotazione. • L’offerta è valida solo previa prenotazione. La prenotazione presso gli hotel aderenti è soggetta a disponibilità promozionale delle camere presso le strutture stesse nelle date prescelte. TLC Italia S.r.l. e il Promotore, non possono garantire la disponibilità nelle date e/o destinazioni prescelte dal

AL

titolare del premio. • La Carta 2per1 Hotel non ha valore monetario, non può essere convertita in denaro, non è cedibile a terzi e non può essere associata ad altre offerte promozionali. • TLC Italia S.r.l. e Fastweb Spa, declinano ogni responsabilità, finanziaria o di altra natura, per l’uso improprio della carta e per eventuali perdite, danni o incidenti personali subiti presso gli hotel; non possono altresì essere ritenuti responsabili per eventuali problematiche riguardanti la disponibilità degli hotel che aderiscono all’iniziativa. • Chiunque usufruisca dell’offerta ne accetta incondizionatamente tutti i termini e condizioni. • TLC Italia S.r.l., Fastweb Spa e gli hotel aderenti non potranno accettare, né sostituire, carte 2per1 Hotel scadute, smarrite o contraffatte e si riservano il diritto di rifiutare eventuali richieste di soggiorno non conformi ai presenti termini e condizioni. • TLC Italia S.r.l. e Fastweb Spa non si ritengono responsabili di nessuna erronea rappresentazione (scritta o verbale) sulle garanzie della presente promozione non provenienti direttamente dai medesimi. • La Carta 2per1 Hotel è valida e utilizzabile ripetute volte dal momento in cui viene scaricata dal sito liveFAST fino alla data di scadenza riportata sulla stessa. Per ulteriori informazioni è possibile contattare il Servizio Consumatori liveFAST al numero 0282951630*, attivo dal lunedì al venerdì, dalle 9.30 alle 13.00 e dalle 14.00 alle 17.30, oppure scrivere a: [email protected] * telefonata a carico della persona chiamante, costo in base alla tariffa applicata dal proprio gestore telefonico.

M. Garetto - Statistica

B-3

Teorema di Bayes

P(Bk | A) =

P (A | B k ) ⋅P (B k )

per ogni k

n

∑ P(A | Bi ) ⋅ P(Bi )

i =1

Parametri di una distribuzione – Valor medio e varianza n n ⎧ ⎪ μ = E( X ) = xi P ( X = x i ) = xi f ( xi ) ⎪⎪ i=1 i= 1 Caso discreto ⎨ n n ⎪ 2 2 2 var( ) E ( ) ( ) X X x f x xi2 f ( xi ) − μ 2 ( ) σ = = − μ = − μ = ⎪ i i ⎪⎩ i=1 i=1 ∞ ⎧ ⎪μ = E( X ) = x f ( x) dx ⎪ ⎪ −∞ Caso continuo ⎨ ∞ ∞ ⎪ 2 2 2 ⎪σ = var(X ) = E ( X − μ ) = ( x − μ ) f (x ) dx = x2 f ( x ) dx − μ 2 ⎪ −∞ −∞ ⎩ Proprietà di valor medio e varianza (a,b ∈ R) E ( aX + b) = aE ( X ) + b

∑

∑

[

] ∑

∑

[

] ∫

∫

∫

var(aX + b) = a 2 var( X ) E( aX + bY ) = aE( X ) + bE(Y) var ( aX + bY) = a 2 var ( X ) + b 2 var ( Y ) Variabile standardizzata

Z=

X −μ σ

σ 2 = var ( Z ) = 1

μ = E( Z) = 0

Disuguaglianza di Chebishev

P ( X − μ ≥ ε )≤

σ2

P ( X − μ ≤ ε) ≥ 1 −

ε2

σ2 ε2

Distribuzione binomiale o di Bernoulli

⎛n ⎞ f (x ) = P( X = x ) = b (x; n, p ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p) n − x ⎝ x⎠ x

F ( x ) = P( X ≤ x ) = B ( x; n, p ) =

⎛n⎞

∑⎜⎜⎝ k ⎟⎟⎠ p k (1− p )n − k

k =0 2

μ=n p

σ = np (1 − p)

Proprietà distribuzione binomiale

P( X < P( X > P( X ≥ P( X =

x ) = P ( X ≤ x −1) x) = 1 − P( X ≤ x) x ) = 1 − P( X ≤ x − 1) x ) = P ( X ≤ x ) − P ( X ≤ x −1)

Relazione di ricorrenza

P( X = x + 1) =

n− x p ⋅ ⋅ P( X = x) x +1 1 − p

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

x = 0 ,1, 2 ,..., n

⎛ n⎞ n! ⎜⎜ ⎟⎟ = x ⎝ ⎠ x ! (n − x ) !

B-4

Appendice B - Formulario

Distribuzione di Poisson

f (x; λ ) = P (X = x ) =

e −λ λ x x!

F( x;λ ) = P( X ≤ x) =

∑ f ( k ;λ ) = ∑

x = 0, 1, 2, …. e−λ λk k! =0

x

x

k=0

k

2

μ=λ

σ =λ

Proprietà distribuzione di Poisson

f ( x;λ) = F( x; λ) − F( x− 1 ;λ)

Relazione di ricorrenza

P( X = x + 1) =

λ P( X = x) x +1

Distribuzione normale o di Gauss

f ( x) =

1 σ 2π

1 ⎛ x −μ ⎞ − ⎜ ⎟ 2 e ⎝ σ ⎠

2

−∞ 1.96

Test di ipotesi sulla media (varianza incognita)

Statistica test

T=

X − μ0 S

grado di libertà

ν = n −1

n Test una coda

Ipot. nulla H0 μ ≤ μ0

Ipot. altern. H1 μ > μ0

Liv. signif. α 0.01

Valori critici

Reg. rifiuto

tα = t 0.01 tα = t0.05

T > t 0.01 T > t 0.05

0.05

t α = −t 0.01 t α = −t 0.05

T < − t0.01 T < − t 0.05

0.01

t α = t 0. 005

T > t 0.005 T < −t 0.005

0.05 una coda due code

μ ≥ μ0

μ < μ0

μ = μ0

μ ≠ μ0

0.01

2

t α = −t 0.005 2

0.05

t α = t 0. 025 2

t α = −t 0.025

T > t 0.025 T < −t 0.025

2

Test di ipotesi sulla proporzione

Statistica test

Z=

X − np0

np 0 (1 − p 0 )

Test una coda

Ipotesi nulla H0 p ≤ p0

Ipot. altern. H1 p > p0

una coda

p ≥ p0

p < p0

due code

p = p0

p ≠ p0

Liv. signif. α 0.01 0.05 0.01 0.05 0.01 0.05

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

Valori critici 2.326 1.645 −2.326 −1.645 −2.576 e 2.576 −1.96

e

1.96

Reg. rifiuto Z > 2.326 Z > 1.645 Z < −2.326 Z < −1.645 Z < −2.576 Z > 2.576 Z < −1.96 Z > 1.96

B-8

Appendice B - Formulario

Test di ipotesi sulla differenza fra due medie (varianze note)

Statistica test

Z=

( X 1 − X 2 )− d σ21 σ 22 + n1 n2

Test una coda

Ipotesi nulla H0 μ1 − μ2 ≤ d

Ipot. altern. H1 μ1 − μ2 > d

una coda

μ1 − μ2 ≥ d

μ1 − μ2 < d

due code

μ1 − μ2 = d

μ1 − μ2 ≠ d

Liv. signif. α 0.01 0.05 0.01 0.05 0.01 0.05

Valori critici 2.326 1.645 −2.326 −1.645 −2.576 e 2.576 −1.96

e

1.96

Reg. rifiuto Z > 2.326 Z > 1.645 Z < −2.326 Z < −1.645 Z < −2.576 Z > 2.576 Z < −1.96 Z > 1.96

Test di ipotesi sulla differenza fra due medie (varianze incognite)

Statistica test

Test una coda una coda

due code

T=

(X 1

Ipotesi nulla H0 μ1 − μ2 ≤ d μ1 − μ2 ≥ d μ1 − μ2 = d

−X

2

) −d

2 ⎛⎜

1 1 ⎞ ⎟⎟ S ⎜ + n n 2 ⎠ ⎝ 1 Ipot. altern. H1 μ1 − μ2 > d μ1 − μ2 < d μ1 − μ2 ≠ d

ν = n1 + n 2 − 2

grado di libertà

Liv. signif. α 0.01

Valori critici

Reg. rifiuto

tα = t0.01

T > t 0.01

0.05

tα = t0.05

T > t 0.05

0.01

t α = −t0.01

0.05

t α = −t0.05

T < − t0.01 T < − t0.05

0.01

t α = t0 .005

T > t 0.005 T < −t 0.005

2

t α = −t 0.005 2

0.05

T > t 0.025 T < −t 0.025

t α = t0 .025 2

t α = −t 0.025 2

Test di ipotesi sulla differenza fra due proporzioni

Statistica test

Z=

ˆ − Pˆ P 1 2 ⎛1 1 ⎞ p (1 − p )⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ n1 n2 ⎠

Test una coda

Ipotesi nulla H0 p1 ≤ p2

Ipot. altern. H1 p1 > p2

una coda

p1 ≥ p2

p1 < p2

due code

p1 = p2

p1 ≠ p2

Liv. signif. α 0.01 0.05 0.01 0.05 0.01 0.05

Valori critici 2.326 1.645 −2.326 −1.645 −2.576 e 2.576 −1.96

e

1.96

Reg. rifiuto Z > 2.326 Z > 1.645 Z < −2.326 Z < −1.645 Z < −2.576 Z > 2.576 Z < −1.96 Z > 1.96

Università di Torino

M. Garetto - Statistica

B-9

Test di ipotesi sulla varianza

χ2 =

Statistica test

Test una coda

una coda

due code

Ipotesi nulla H0

σ

2

(n − 1)S 2

Ipot. altern. H1 2

≤ σ 02

σ >

2

σ2 ≥ σ0

σ 20

σ 2 < σ 02

2

σ2 ≠ σ 20

σ2 = σ0

ν=n−1

grado di libertà

2

σ0

Liv. signif. α 0.01

Valori critici

Reg. rifiuto

2 = χ 0.01

χ 2 > χ 02.01

0.05

χ2α = χ0 .05

2

χ2 > χ 02.05

0.01

χ 21−α = χ 20 .99

χ < χ20. 99

0.05

χ 21−α = χ 02 .95

χ2 < χ20. 95

0.01

χ 2 α = χ 20. 995

χ 2 < χ 02.995

χ2α

1−

0.05

2

χ 2α 2

=

2 α 1− 2

= χ 20. 975

χ 2α 2

χ02.025

χ

=

χ02.005

2

χ 2 > χ 02.005 χ 2 < χ 02.975 χ 2 > χ 02.02...