Generalidades de la ley de viscosidad de Newton PDF

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te da a conocer en donde se aplica, las formulas para aplicarla ...

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Generalización de la ley de viscosidad de newton

Esta generalización no es sencilla; de hecho, a los matemáticos les llevó casi un siglo y medio lograrla. No es apropiado presentar aquí todos los detalles de este desarrollo, ya que es posible consultarlos en muchos libros sobre dinámica de fluidos. En vez de ello explicaremos brevemente las ideas primordiales que condujeron al descubrimiento de la generalización requerida de la ley de viscosidad de Newton. Para hacerlo consideraremos un patrón de flujo muy general, donde la velocidad del fluido puede ser en varias direcciones en diversos sitios y puede depender del tiempo t. Así, las componentes de la velocidad están dadas por:

vx = vx (x,y,z,t);

vx=vy(x,y,z,t);

VZ= vz(x,y,z,t)

En esta situación, hay nueve componentes del esfuerzo ꚍij (donde i y j pueden asumir las designaciones x, y, y y z).En consecuencia, debemos comenzar por la definición de estas componentes del esfuerzo. En la figura 1.2-1 se muestra un pequeño elemento de volumen en forma de cubo dentro del campo de flujo, donde el área de cada cara es unitaria. El centro del elemento de volumen está en la posición x, y, z. En cualquier instante es posible rebanar el elemento de volumen de manera que se elimine la mitad del fluido de su interior. Como se observa en la figura, cada vez es posible cortar el volumen en forma perpendicular a cada una de las tres direcciones de coordenadas. Luego es posible preguntar por la fuerza que debe aplicarse en la superficie libre (sombreada) para sustituir la fuerza que ejercía sobre esta superficie el fluido que se ha eliminado. Habrá dos contribuciones a esta fuerza: la asociada con la presión y la asociada con las fuerzas viscosas. La fuerza de presión siempre será perpendicular a la superficie expuesta. Por lo tanto, en ( a) la fuerza por área unitaria en la superficie sombreada será un vector pẟx; es decir, la presión (un escalar) multiplicada por el vector unitario ẟx, en la dirección x. En forma semejante, la fuerza sobre la superficie sombreada en ( b) será pẟy y en ( c) la fuerza será pẟz Las fuerzas de presión serán ejercidas cuando el fluido sea estacionario, así como cuando esté en movimiento. Las fuerzas viscosas entran en acción sólo cuando dentro del fluido hay gradientes de velocidad. En general, no son perpendiculares al elemento superficial ni paralelas a éste, sino que forman algún ángulo respecto a la superficie (véase la figura 1.2-1). En (a) se observa una fuerza por área unitaria

ꚍx, ejercida sobre el área sombreada, y en (b) y en (c) se observan las fuerzas por área unitaria ꚍy y ꚍz. Cada una de estas fuerzas (que son vectores) tiene componentes (escalares); por ejemplo, ꚍx, tiene las componentes ꚍxx, ꚍxy y ꚍxz. Por lo tanto, ahora es posible resumir en la tabla 1.2-1 las fuerzas que actúan sobre las tres áreas sombreadas de la figura 1.2-1. Esta tabulación es un

resumen de las fuerzas por área unitaria (esfuerzos) ejercidas dentro de un fluido, tanto por la presión termodinámica como por los esfuerzos viscosos.

Algunas veces será conveniente contar con un símbolo que incluya ambos tipos de esfuerzo, de modo que los esfuerzos moleculares se definen como sigue:

Aquí ẟij es la delta de Kronecker, que es 1 si i = j y cero si i ≠ j. Al igual que en la sección precedente, ꚍij (y también πij) puede interpretarse en dos formas: πij = pẟij + ꚍij = fuerza en la dirección j sobre un área unitaria perpendicular a la dirección i, donde se entiende que el fluido en la región de menor Xi ejerce la fuerza sobre el fluido de mayor Xi.

πij = pẟij + ꚍij = densidad de flujo de la cantidad de movimiento j en la dirección i positiva; es decir, de la región de menor Xi a la de mayor Xi.

Los esfuerzos πxx= p + ꚍxx, πyy = p + ꚍyy, πzz = p + ꚍyy se denominan esfuerzos normales, mientras que las cantidades restantes, πxy= ꚍxy, πyz = ꚍyz…. se denominan esfuerzos cortantes. Estas cantidades, que tienen dos subíndices asociados con las direcciones de coordenadas, se denominan "tensores", así como las cantidades (como la velocidad) que tienen un subíndice asociado con las direcciones de coordenadas se denominan "vectores". En consecuencia, nos referiremos a ꚍ como el tensor de esfuerzo viscoso (con componentes ꚍij) y a π como el tensor de esfuerzo molecular (con componentes πij ). Cuando no hay posibilidad de confusión, los modificadores "viscoso'' y "molecular" pueden omitirse. En el apéndice A puede consultarse un análisis sobre vectores y tensores.

La cuestión ahora es, ¿cómo están relacionados estos esfuerzos ꚍij con los gradientes de velocidad en el fluido? Al generalizar la ecuación 1.1-2 se impusieron varias restricciones sobre los esfuerzos, como sigue:



Los esfuerzos viscosos pueden ser combinaciones lineales de todos los gradientes de velocidad:

Aquí las 81 cantidades son πijkl "coeficientes de viscosidad". Las cantidades x1, x2, y x3, en las derivadas denotan las coordenadas cartesianas x, y, z, y v1, v2 y v3 son las mismas que vx, vy y vz 

Planteamos que las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto al tiempo no deben aparecer en las expresiones.



No esperamos que esté presente ninguna fuerza viscosa, si el fluido se encuentra en un estado de rotación pura. Este requerimiento conduce a la necesidad de que ꚍij sea una combinación simétrica de los gradientes de velocidad. Por esto se entiende que si se intercambian i y j, la combinación de los gradientes de velocidad

permanece sin cambio. Puede demostrarse que las únicas combinaciones lineales simétricas de los gradientes de velocidad son:



Si el fluido es isotrópico, es decir, si no tiene una dirección preferida, entonces los coeficientes enfrente de las dos expresiones en la ecuación 1.2-4 deben ser escalares, de modo que:

Así; hemos reducido el número de "coeficientes de viscosidad" de 81 a 2! 



Por supuesto, queremos simplificar la ecuación 1.2-5 a la ecuación 1.1-2 para la situación de flujo que se muestra en la figura 1.1-1. Para ese flujo elemental, la ecuación 1.2-5 se simplifica a ꚍyx = A dvx,/dy, y por lo tanto, la constante escalar A debe ser la misma que el negativo de la viscosidad µ. Finalmente, por un acuerdo común asumido entre la mayoría de los especialistas en dinámica de fluidos, la constante escalar B se iguala a 2/3 µ - K , donde k se denomina viscosidad dilatacional. La razón para escribir B de esta manera es que por la teoría cinética se sabe que K es idénticamente cero para gases monoatómicos a baja densidad. Así, la generalización requerida de la ley de viscosidad de Newton en la ecuación 1.1-2 es entonces el conjunto de nueve relaciones (de las cuales seis son independientes):

Aquí ꚍij = ꚍji, e i y j pueden asumir los valores 1, 2 y 3. Estas relaciones para los '1 I' esfuerzos en un fluido newtoniano están asociadas con los nombres de Navier, Poisson y Stokes. Si se desea, este conjunto de relaciones puede escribirse de manera más concisa en la notación vector-tensor del apéndice A como:

Donde ẟ es el tensor unitario con componentes ẟij es el tensor del gradiente de velocidad con componentes (d/dxi) vj, (dv) es la "transpuesta" del tensor del gradiente de velocidad con componentes (d/dxj) vi, y ( d .v) es la divergencia del vector de velocidad. La conclusión importante es que se tiene una generalización de la ecuación 1.1-2, y esta generalización implica no uno sino dos coeficientes3 que caracterizan al fluido: la

viscosidad µ y la viscosidad dilatacional K. Por lo general, al resolver problemas de dinámica de fluidos no es necesario conocer K. Si el fluido es un gas, a menudo se supone que actúa como un gas ideal monoatómico, para el que K es idénticamente cero. Si el fluido es un líquido, a menudo se supone que es incompresible, La viscosidad dilatacional es importante para describir la absorción del sonido en gases poliatómicos y para describir la dinámica de fluidos de líquidos que contienen burbujas gaseosas. La ecuación 1.2-7 (o Ia 1.2-6) es importante y se usará a menudo. Por ejemplo, ꚍrz, en coordenadas cilíndricas, que se encontrará en el capítulo 2, puede interpretarse como: a)) la fuerza viscosa en la dirección z sobre un área unitaria perpendicular a la dirección r b) la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento en la dirección z en la dirección r positiva.

Los esfuerzos cortantes suelen ser fáciles de visualizar, pero los esfuerzos normales pueden provocar problemas conceptuales. Por ejemplo, ꚍzz es una fuerza por área unitaria en la dirección z sobre un plano perpendicular a la dirección z....