Informe Ley de enfriamiento de Newton PDF

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en este informe tiene como objetivo encontrar las relaciones que nos permita conocer la constante de tiempo de un termómetro según la ley de enfriamiento de Newton experimentalmente utilizando los conocimientos da calculo diferencial.
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CARRERA: Ingeniería Mecatrónica ASIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales INFORME# TÍTULO: Ley de enfriamiento de Newton DESARROLLO I.

RESUMEN

En este informe presentamos el tema de la Ley de enfriamiento de Newton, a partir del estudio de la experiencia propuesta en la clase de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, donde daremos un recorrido a través de la historia sobre los estudios precedentes sobre dicho tema. Cuando existe una diferencia de temperatura entre un cuerpo y el medio ambiente que le rodea, la evolución espontánea, que se manifiesta, se produce en el sentido de igualar las temperaturas hasta alcanzar el equilibrio térmico, sin embargo, comprobaremos experimentalmente que existen leyes empíricas de singular simplicidad en el estudio del enfriamiento de los cuerpos. Adicionalmente en el video tutorial se muestra la solución general a esta ecuación diferencial que representa la Ley de enfriamiento de Newton mediante el uso de separación variables con un ejemplo práctico y conciso para ilustrar su uso, luego de nuestro análisis mostraremos los resultados que obtuvimos mediante nuestra observación durante el experimento y el registro de datos obtenidos. Palabras Clave: simplicidad, empírica, espontánea. OBJETIVO GENERAL •Como el nombre de la practica nos indica el objetivo de esta es encontrar las relaciones que nos permita conocer la constante de tiempo de un termómetro según la ley de enfriamiento de Newton experimentalmente utilizando los conocimientos da calculo diferencial. OBJETIVO ESPECIFICOS • Plantear las ecuaciones matemáticas que rigen este fenómeno y obtener las fórmulas finales deseadas. • Hallar las temperaturas y el tiempo que trascurre en enfriar el fluido. • Analizar los resultados que se obtienen del enfriamiento con la finalidad de poner en práctica lo aprendido.

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2.1) Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucra cambios descritos por ecuaciones que relacionan cantidades que cambian. Debido a que la derivada dx/dt = f`(t ) de la función f es la razón a la cual la cantidad x = f(t ) está cambiando respecto de la variable t independiente, es natural que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial. [1] La ecuación diferencial dx dt = x 2+ t 2involucra tanto la función desconocida x(t) como su primera derivada X= (t )=dx/dt . La ecuación diferencial d 2 ydx 2 + 3dydx + 7 y = 0 incluye la función desconocida y de la variable independiente x y sus dos primeras derivadas de y=y de y. El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas principales: 1.Descubrir la ecuación diferencial que describe una situación física específica. 2. Encontrar exacta o aproximadamente la solución apropiada de esa ecuación. 3.Interpretar la solución encontrada. En álgebra, por lo regular se buscan números desconocidos que satisfagan una ecuación tal como x3 7x2 11 x41 4. En contraste, en una ecuación diferencial el reto es encontrar funciones desconocidas y y(x), para las cuales una identidad tal como y=(x) 2xy( x), esto es, la ecuación diferencial di/dx = 2xy se cumple en algún intervalo de números reales. Regularmente queremos encontrar, de ser posible, todas las soluciones de la ecuación diferencial. [1] Si C es una constante y y(x) = Cex 2

(1)

Entonces: di/dx = C 2 xe x 2= (2 x) Cex 2 = 2xy. (2) Así, cada función de y(x), de la forma de la ecuación (1) Satisface y de este modo es una solución de la ecuación diferencial dydx =2 xy (2) para toda x. En particular, la ecuación (1) define una familia infinita de diversas soluciones de esta ecuación diferencial, una para cada asignación de la constante arbitraria C. Por el método de separación de variables se puede demostrar que cada solución de la ecuación diferencial en (2) es de la forma de la ecuación (1). Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos Los tres ejemplos siguientes ilustran el proceso de traducción de las leyes y principios científicos en ecuaciones diferenciales. En cada uno de ellos la variable independiente es el tiempo t, pero veremos numerosos ejemplos donde alguna cantidad diferente del tiempo es la variable independiente. [1] La ley de enfriamiento de Newton puede establecerse de esta manera: La razón de cambio del tiempo (la razón de cambio respecto del tiempo t) de la temperatura (t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio ambiente (fig. 1). Esto es: Resolución CS N° 076-04-2016-04-20

Fig. 1(La temperatura Ambientecon respecto al cuerpo) dT / dt = −k (T −A) (3) Donde k es una constante positiva. Obsérvese que si T A, entonces dT/dt por lo que la temperatura es una función decreciente de t y el cuerpo se está enfriando. Pero si TA, entonces dT / dt por tanto, está aumentando. Así, la ley física se traduce en una ecuación diferencial. Si damos valores a k y A, podremos encontrar una fórmula explícita para T (t), y entonces con la ayuda de esta fórmula será posible predecir la temperatura que tendrá el cuerpo. Donde k es una constante positiva. Obsérvese que si T A, entonces dT/dt por lo que la temperatura es una función decreciente de t y el cuerpo se está enfriando. Pero si TA, entonces dT / dt por tanto, está aumentando. Así, la ley física se traduce en una ecuación diferencial. Si damos valores a k y A, podremos encontrar una fórmula explícita para T (t), y entonces —con la ayuda de esta fórmula— será posible predecir la temperatura que tendrá el cuerpo. La ley de Torricelli establece que la razón de cambio respecto del tiempo de un volumen V de agua en un tanque de drenado (fig. 2) es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad y del agua en el tanque: dV /dt = −h √ y, (4) donde h=k / A es una constante.

Fig. 2(Volumen de agua) Población la razón de cambio respecto del tiempo de una población P (t) con tasas de natalidad y mortalidad constantes es, en muchos casos sencillos, proporcional al tamaño de la población. Esto es, Resolución CS N° 076-04-2016-04-20

dP/dt=kP (5) donde k es la constante de proporcionalidad. Primero nótese que cada función de la forma. P (t ) = Cekt (6) Es una solución de la ecuación diferencial dP/dt = kP puede verificar esta aseveración de la siguiente manera: P (t)=Ckekt =k Cekt = kP(t) (7) para todo número real t. Debido a que la sustitución en la ecuación de cada función de la forma dada en produce una identidad, todas esas funciones son soluciones de la ecuación Entonces, aun si el valor de la constante k es conocido, la ecuación diferencial dP / dt = kP tiene una infinidad de soluciones de la forma P (t) Cekt, una para cada valor “arbitrario” de la constante C. Esto es común en las ecuaciones diferenciales. Es también afortunado, porque nos permite usar información adicional para seleccionar, entre todas estas soluciones, una en particular que se ajuste a la situación bajo estudio. [1] 2.2) Desintegración radioactiva Si Q es la cantidad de material radioactivo presente en el instante t, entonces la E.D. es dQ/dt=−kQ, (8) donde K es la constante de desintegración. Se llama tiempo de vida media de un material radioactivo al tiempo necesario para que una cantidad Q0 se trasforme en Q0/2. [1] 2.3) Ley de absorción 2 de Lambert Esta ley dice que la tasa de absorción de luz con respecto a una profundidad x de un material translucido es proporcional a la intensidad de la luz a una profundidad x; es decir, si I es la intensidad de la luz a una profundidad x, entonces dI/ dx = − kI. (9) 2.4) Crecimientos poblacionales La razón de crecimiento depende de la población presente en periodo de procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte, el modelo que representa dicha situación es: dQ/dt=kQ (10) donde(t): población en el instante t. 2.5) Ley de enfriamiento de Newton El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. En su juventud estudió el movimiento y estableció las leyes de la dinámica (las Leyes de Newton), estableció la ley de la gravitación universal (mostrando que lo que vale en la tierra también vale en el cielo), explicó la descomposición en colores de la luz blanca cuando pasa por un prisma, desarrolló lo que hoy conocemos en matemática como cálculo, entre otras cosas. Ya mayor, a los 60 años de edad, aceptó un puesto como funcionario nacional y se desempeñó como responsable de la Casa de la Moneda de su país. Allí tenía como misión controlar el acuñado de monedas. probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la Resolución CS N° 076-04-2016-04-20

acuñación. Tampoco esa vez Newton perdió la oportunidad de hacer uso de los materiales más simples de los que disponía para llevar a cabo mediciones de gran significado. Construyó sus propios termómetros, utilizando aceite de linaza como material termométrico, y definió su propia escala de temperatura. En su escala, 0 era la temperatura del aire en invierno a la cual se congela el agua, y definió como 12 a la temperatura más alta que un termómetro registra cuando está en contacto con el cuerpo humano. En su escala, el metal con que se hacían las monedas se fundía a 192. Anecdóticamente, Newton estableció que la temperatura más alta de un baño que uno puede soportar era igual a 17. Utilizando un horno a carbón de una pequeña cocina, realizó el siguiente experimento. Calentó al rojo un bloque de hierro. Al retirarlo del fuego lo colocó en un lugar frío y observó cómo se enfriaba el bloque de metal. Sus resultados dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de Ley de enfriamiento de Newton. [2]

Fig. 3 (Ley de Enfriamiento de Newton) Dicha ley se escribe como: dT/dt = k (T- Tamb) (11) Donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo (dT/dt) representa la rapidez del enfriamiento, T es la temperatura instantánea del cuerpo cuando está caliente, k una constante que define el ritmo de enfriamiento y También es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de determinado tiempo. Los comentarios previos acentúan la genialidad de Newton, interesado por estos problemas de termodinámica mucho tiempo antes de que el concepto de calor fuera entendido. Destacamos que Sadi Carnot publicó sus estudios fundamentales sobre el “poder motor del fuego” cien años después de la muerte de Newton. Mediante nuestro experimento describiremos el decaimiento exponencial en función del tiempo, como se comporta la temperatura de un cuerpo en función del tiempo y veremos que significa una constante de tiempo y cómo afecta el decaimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton se escribe como: donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo dT/dt representa la rapidez del enfriamiento, T es la temperatura instantánea del cuerpo, k una Resolución CS N° 076-04-2016-04-20

constante que define el ritmo de enfriamiento y Ta es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de suficiente tiempo. [2] 𝑑𝑑 /𝑑𝑑 = 𝑑(𝑑 − 𝑑𝑑) (12) Nuestra tarea en este trabajo es estudiar si la mencionada ley se ajusta a la observación en el caso del enfriamiento de un termómetro de mercurio. Si el cuerpo se enfría a partir de una temperatura Ti hasta Tm y la ley de enfriamiento de un cuerpo es válida, la ecuación: T – To = 𝑑−𝑑𝑑(T – Tm) (13) Donde: • T= Temperatura del cuerpo • Tm= Temperatura ambiente • K= La constante de proporcionalidad • t= Tiempo que llega a trascurrir • e= 2.7182 II.

DESARROLLO

3.1) Ejercicio 1 del experimento. Un helado con una temperatura inicial -4,7 º C y a una temperatura ambiente de 18, 2 º C. Se calcula la constante de integración con dichos datos. ¿Después de 15 minutos que temperatura tendrá mi helado? ¿Qué tiempo se demora al llegar a los 10 º C? Formula de la ley de enfriamiento de newton 𝑑(𝑑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 • DATOS �� = 18,2 ºC �(�)= −�,�ºC �(��)= −�,� ºC �(?)= �� ºC • Primer paso encontramos nuestra constante de integración {C}. 𝑑(𝑑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 −4,7 = 𝑑𝑑𝑑(0) + 18,2 −4,7 − 18,2 = 𝑑 −22,9 = 𝑑 • Segundo paso encontramos nuestra constante de proporcionalidad {k} 𝑑(𝑑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 −3,6 = −22,9 𝑑𝑑(15) + 18,2 −3,6 − 18,2 = −22,9 𝑑𝑑(15) −3,6 − 18,2 /−22,9 = 𝑑𝑑(15) 𝑑𝑑 (0,95196) = 𝑑𝑑 𝑑𝑑(15) −0,04923/ 15 = 𝑑 −3,28215𝑑10−3 = 𝑑 • Tercer paso encontramos el tiempo {t} 𝑑(𝑑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 10 = −22, 9 𝑑(−3,28215𝑑10−3)𝑑 + 18,2 10 − 18,2 /−22,9 = 𝑑(−3,28215𝑑10−3)𝑑 𝑑𝑑 (0,35807) = 𝑑𝑑 𝑑(−3,28215𝑑10−3)𝑑 Resolución CS N° 076-04-2016-04-20

− 1,02702 /−3,28215𝑑10−3 = 𝑑 312, 90= 𝑑 𝑑 = 5ℎ𝑑𝑑𝑑𝑑 − 20 minutos

Fig. 4(Experimento del helado después de 5h:20 min) 3.2) Ejercicio 2 del experimento. Una taza de café que tiene por temperatura inicial 56,5 º C con una temperatura ambiente 19,3 º C, se calcula la constante de integración con dichos datos. ¿Después de 10 minutos que temperatura tendrá? ¿Qué tiempo debe transcurrir para que mi taza de café llegue a los 30 º C? Formula de la ley de enfriamiento de newton 𝑑(𝑑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 • DATOS �� = 19,3 ºC �(�)= ��,� ºC �(��)= ��,� ºC �(?)= �� ºC • Primer paso encontramos nuestra constante de integración {C}. 𝑑(𝑑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 56,5 = 𝑑𝑑𝑑(0) + 19,3 56,5 − 19,3 = 𝑑 37,2 = 𝑑 • Segundo paso encontramos nuestra constante de proporcionalidad {k} 𝑑(𝑑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 47,1 = 37,2 𝑑𝑑(10) + 19,3 47,1 − 19,3 = 37,2 𝑑𝑑(10) 47,1 − 19,3 /37,2 = 𝑑𝑑(10) 𝑑𝑑 (0,74731) = 𝑑𝑑 𝑑𝑑(10) −0,29127 /10 = 𝑑 −0,029 = 𝑑 • Tercer paso encontramos el tiempo {t} Resolución CS N° 076-04-2016-04-20

𝑑(𝑑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 30 = 37,2 𝑑(−0,029)𝑑 + 19,3 30 − 19,3/ 37,2 = 𝑑(−0,029)𝑑 𝑑𝑑 (0,28763) = 𝑑𝑑 𝑑(−0,029)𝑑 − 1,24/ −0,029 = 𝑑 42,75= 𝑑 𝑑 = 42 minutos – 45 segundos

Fig.5 (Experimento del café luego de 42 minutos) III.

CONCLUCIONES

Realizado el experimento logramos apreciar la relación que existe entre la temperatura y el tiempo, y de esta manera logar determinar el coeficiente de proporcionalidad del experimento. Dado los siguientes resultados concluimos que: La temperatura del agua disminuye de forma exponencial a medida que pasa el tiempo hasta un momento que logra un “equilibrio térmico” con el medio ambiente. Y así mediante los datos de la Temperatura del agua y el tiempo transcurrido logramos determinar el coeficiente de proporcionalidad para esta experiencia con una cantidad de agua determinada a una temperatura inicial determinada.

IV.

BIBLIOGRAFIA

1 Martin Braun, Differential Equation and their Applications, 1983 2 S. Gil y E. Rodríguez, Guía de trabajo, Red Creativa de Ciencia, 2002 V. CITAS WEB 1 https://goo.gl/B3qxZW 2 https://goo.gl/cronxm Resolución CS N° 076-04-2016-04-20

Nombre de estudiante: _____________________________

Firma de estudiante: _______________________________

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