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Se obtuvo una expresión matemática de temperatura en función del tiempo, para describir el proceso de enfriamiento de una sustancia liquida (agua) . Y se linealizó empleando el método de mínimos cuadrados para conocer el valor de la constante de enfriamiento. ...

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

Practica 3 Ley de enfriamiento de Newton INTEGRANTES: Sosa Juárez José Luis Santiago Sotelo Eduardo UEA: Método Experimental 2

Fecha de entrega 05/03/2014

1.1 Introducción

Ley de Enfriamiento de Newton

La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación, vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en tránsito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a través de la determinación experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio. La ley de enfriamiento de Newton enuncia que, cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido por unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación, es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y dicho medio externo, siempre y cuando este último mantenga constante su temperatura durante el proceso de enfriamiento. La genialidad de Newton se pone de manifiesto nuevamente cuando utilizando un horno de carbón de una pequeña cocina, realizó un sencillo experimento: calentó al rojo vivo un bloque de hierro, al retirarlo lo colocó en un lugar frío y observó cómo se enfriaba el bloque de metal en el tiempo. Sus conjeturas sobre el ritmo al cual se enfriaba el bloque dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton. Esta ley describe que la razón de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y el medio ambiente que lo circunda. Se expresa de la siguiente forma:

Donde a es el coeficiente de intercambio de calor y S el área superficial del cuerpo que se encuentra expuesta al medio ambiente.

Si la temperatura del cuerpo es mayor que la ambiental, entonces deberá experimentar una pérdida de calor, la cual será proporcional a la diferencia de temperaturas, podemos expresar esto en forma diferencial como:

Donde m es la masa del cuerpo y Ce su calor específico, el signo menos indica una pérdida calorífica. Podemos combinar las ecuaciones anteriores en una forma simplificada:

Donde k es una constante de proporcionalidad conocida como parámetro de enfriamiento y TA es la temperatura ambiente, que se supone siempre es constante. Resolviendo esta ecuación diferencial para un cuerpo que se enfría desde una temperatura T0 hasta una temperatura T, obtenemos la temperatura del cuerpo en función del tiempo:

−Kt

∆ T =(T 0 −T a)e

Ecuación 1 Ley de enfriamiento de newton Donde ΔT = T-Ta

1.2 Objetivo

Encontrar la relación que existe entre el cambio de temperatura y el tiempo de enfriamiento del agua caliente Aplicar el cambio de variable y el método de mínimos cuadrados para estimar el valor de la constante de enfriamiento K y su incertidumbre experimental.

1.3 Desarrollo experimental Equipo y material

sustancias

1 Termómetro de la llave)

agua limpia (puede ser

1 Cronometro 1 Vaso de precipitado de 200 ml 1 Parrilla eléctrica 1 soporte universal 1 Pinzas de tres dedos con nuez Procedimiento

1: Mide la temperatura ambiente donde se va a realizar la práctica de la ley de enfriamiento de Newton. 2: Para la medición de Ta, se mide la temperatura del agua de la llave previamente colocada en un vaso de precipitado de 200 ml (esperar unos minutos para que la temperatura del agua en el vaso de precipitado se estabilice con la temperatura ambiente y procede a medir su temperatura) 2: Una vez registrada la temperatura del agua en el vaso de precipitado, coloca las pinzas de tres dedos con nuez en el soporte universal, y con las

pinzas de tres dedos sujeta el termómetro de la parte superior, evitando que las pinzas obstruyan la graduación del termómetro y este mismo quede los más verticalmente posible para evitar errores de paralaje al obtener las lecturas de la temperatura del agua en el vaso de precipitado. 3: Coloca el vaso de precipitado (ya con los 200 ml de agua) sobre la parrilla eléctrica, que esta misma debe de estar al lado del soporte universal, y con la ayuda de la nuez introduce el termómetro al vaso de precipitado, el termómetro debe quedar a la mitad del vaso. Enciende la parrilla eléctrica hasta que el agua en el vaso alcance una temperatura de 70°C aproximadamente.

4: Una vez alcanzada la temperatura deseada, esta debe de ser una temperatura entera para obtener mejores resultados en la experimentación. Desconecta y quita la parrilla eléctrica cuidadosamente, y sin perder tiempo coloca el vaso de precipitado en la mesa del laboratorio y enseguida coloca en el vaso con la ayuda de la nuez el termómetro, este quedando a la mitad del vaso, ya obtenida la temperatura a la cual se calentó el agua ( T) (aprox 70°C) enciende el cronometro, la temperatura a la cual se calentó el agua esta será registrada como t0 (tiempo inicial) 5: Una vez obtenida la temperatura a la cual se le asignó el t 0 (tiempo inicial), mide el tiempo y la temperatura de enfriamiento ( T) minuto a minuto y regístralas, después de cierto tiempo notaras que la temperatura no ha cambiado y en ese momento mide la temperatura de enfriamiento cada 2 a 3 minutos. Obtén el

ΔT que es es la temperatura a la cual se va enfriando el agua – la temperatura del agua inicial (antes del calentamiento), esto es ΔT= T-Ta

6: Realiza los análisis siguientes: 1: obtén una gráfica de

ΔT vs t

2: Conla ayuda de la grafica anterior y por la ecuacion 1

∆ T =(T 0 −T a)e−Kt

realiza el analisis de minimos cuadrados y el cambio de variable para obtener la constante de enfriamiento K .

1.4 Resultados Cuadro 1 resultados experimentales. Ley de enfriamiento de newton Ta=22° Tiempo ± Temperatura C 1/100 s T± 0.05°C ± 0.05°C 0 71 1 70 2 68 3 67 4 65.5 5 64 6 63 7 62 8 60.8 9 59.8 10 58.5 11 57.8 12 56.8 13 55.9 14 55 15 54.1

∆T=T-Ta

49 48 46 45 43.5 42 41 40 38.8 37.8 36.5 35.8 34.8 33.9 33 32.1

Ln ∆T

3.89 3.87 3.82 3.80 3.77 3.73 3.71 3.68 3.65 3.63 3.59 3.57 3.54 3.52 3.49 3.46

Ta=22° C ± 0.05°C

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 tiempo ± 1/100 s

53.2 52.8 52 51.1 50.7 50 49.5 48.9 48.1 47.8 47 46.8 46 45.5 45 44.8 44.2 43.9 43.4 43 42.8 42 41.8 temperatura T± 0.05°C

31.2 30.8 30 29.1 28.7 28 27.5 26.9 26.1 25.8 25 24.8 24 23.5 23 22.8 22.2 21.9 21.4 21 20.8 20 19.8 ∆T=T-Ta

3.44 3.42 3.40 3.37 3.35 3.33 3.31 3.29 3.26 3.25 3.21 3.21 3.17 3.15 3.13 3.12 3.10 3.08 3.06 3.04 3.03 2.99 2.98 Ln ∆T

39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

41.4 41 40.7 40.3 40 39.7 39.3 39 38.8 38.5 38.1 37.9 37.6 37.3 37 36.9

19.4 19 18.7 18.3 18 17.7 17.3 17 16.8 16.5 16.1 15.9 15.6 15.3 15 14.9

2.96 2.94 2.92 2.90 2.89 2.87 2.85 2.83 2.82 2.80 2.77 2.76 2.74 2.72 2.70 2.70

55 56 57 58 59 60

36.6 36.2 36 35.8 35.5 35.3

14.6 14.2 14 13.8 13.5 13.3

2.68 2.65 2.63 2.62 2.60 2.58

Grafica 1 relación exponencial de los datos obtenidos en la tabla 1

Ley de enfriamiento de Newton 60 50

∆T

40 30 20 10 0

0

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo (t)

En el cuadro y en la gráfica 1 se muestran los datos experimentales tanto tabulados y graficados y estamos de acuerdo con las experimentaciones de Newton ya que la ley de enfriamiento nos proporciona una gráfica exponencial de los datos obtenidos de ΔT vs t( tiempo). Seguiremos realizando los analisis correspondientes para poder determinar la constante de enfriamiento en base a los datos y analisis anteriores. Grafica 2 linealizacion semilogaritmica para obtener la constante de enfriamiento K

Ley de enfriamiento de Newton ( linealización) 4.5 4

f(x) = − 0.02 x + 3.81 R² = 0.99

3.5 3

LN∆T

2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo (t)

En la gráfica 2 observamos la linealización de los datos experimentales en una gráfica semilogaritmica, la cual nos proporciona con la ayuda de una línea de tendencia una ecuación de la misma en la cual por medio de la ∆ T =(T 0 −T a)e−Kt ecuación 1: La ecuación anterior la podemos interpretar de la siguiente manera para obtener el cambio de variable que nos permita visualizar matemáticamente la gráfica 2. Aplicamos logaritmo natural a ambos lados de la ecuación 1 y obtenemos: −Kt

1: ln ∆ T =ln (T 0−T a )e

2: ln ∆ T =ln ( T 0−T a )−Kt

Dónde: LNΔT es la variable dependiente, al origen -K es la pendiente (constante de enfriamiento) independiente

Regresión lineal

LN (T0-Ta) es la ordenada y t es la variable

Ya con la regresión lineal podemos verificar nuestros resultados experimentales que obtuvimos con la gráfica semilogaritmica, en la cual obtuvimos una línea de tendencia que nos proporcionó una ecuación lineal del comportamiento de nuestros datos experimentales, y con la ayuda de la regresión lineal obtenemos el error típico que es el margen de error de la ordenada al origen y de la pendiente los cuales son el objetivo de esta práctica en conocerlos. 1.6Análisis de los resultados Tabla 2 resultados experimentales de la constante de enfriamiento K Variable

Valor de los coeficientes

Desviación estándar

Unidades

Pendiente (-K) constante de enfriamiento

-0.0021

0.000236

°C/s

Ordenada al origen LN(To-Ta)

3.18

0.00824

°C

1.7Conclusión Mediante la observación y la recopilación de los datos experimentales podemos interpretar la ley de enfriamiento de newton, donde el comportamiento de los datos experimentales resulto ser una curva exponencial como se esperaba. Donde la temperatura decaía exponencialmente con forme pasaba el tiempo. También comprobamos lo que decía newton que la tasa de enfriamiento es proporcional con la diferencia de la temperatura entre un objeto y el ambiente que lo rodea. Se aplicó correctamente el cambio de variable en la ecuación 1 para dar la interpretación matemática del modelo de la linealización para determinar la constante de enfriamiento K y por medio del análisis de mínimos cuadrados determinamos el error típico en nuestros resultados. No hubo caso de restringir datos experimentales (para obtener un buena gráfica exponencial), es decir, los datos experimentales fueron tomados con buena precisión, lo cual se puede comprobar en la gráfica 1. La practica 3 Ley de enfriamiento de Newton cumplió con los objetivos esperados. Y los resultados pueden ser ocupados como base en determinaciones posteriores si se llegaran a realizar.

José Luis Sosa Juárez Tarea 3 UEA: Método Experimental 2

N

D= diametro

1

D±0.05/c m 5.45

4

7.5

V = volumen de una gota de aceite

10

9.45

h= espesor de la mancha de aceite

20

12.35

30

14.35

40

16.3

50

17.45

N= num. De gotas vertidas

a) Graficar D en función de N

D es funcion de N 20

D

15 10 5 0 0

10

20

30

N

b) Indicar un cambio de variable para que se obtenga un relación lineal

D=

√

4 VN πh

√

Aplicando LN

4 VN πh 1 4 VN LND= (ln ) πh 2 1 LND= (ln 4 VN −ln πh) 2 LND=ln

(

)

Dónde: LND es la variable dependiente LN4V/2 es la pendiente N es la variable independiente LNπh/2 es la ordenada al origen

40

50

60

Cambio de variable 3.5 3

f(x) = 0.3 x + 1.63 R² = 0.99

LN D

2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 LN N

Donde la pendiente m= LN4V/2

3

3.5

4

4.5...