Proyecto, ley del enfriamiento de newton PDF

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en este trabajo te dejo unos cuantos ejercicios que te ayudaran a prepararte para tu examen de la mejor manera posible. cada uno de los ejercicios esta desarrollado de forma correcta....

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Ley de Enfriamiento de Newton La ley del enfriamiento de Newton o enfriamiento newtoniano establece que la tasa de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y sus alrededores. Fue determinado experimentalmente por Isaac Newton. Él publicó anónimamente estos resultados en 1701 en la obra "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa." en Philosophical Transactions.

Aplicaciones de la ley enfriamiento de Newton

Los sistemas de enfriamiento ya sean por aire o agua permiten la extracción de calor de los componentes, claramente entre menos tiempo le tome extraer el calor, serán de mejor calidad.

•

Los líquidos de refrigeración para computadoras difieren entre sí, por lo general se utiliza agua. La refrigeración líquida es ideal para computadoras de altas prestaciones y para lograr excelentes resultados en cuanto a temperaturas.

de

En la actualidad el enfriamiento Newtoniano es usado comúnmente en modelos climáticos como una forma menos costosa computacionalmente de calcular la evolución de la temperatura de la atmosfera. Estos cálculos son útiles para determinar las temperaturas, así como para predecir acontecimientos de fenómenos naturales. En ingeniería en sistemas, se utiliza en: •

•

El procesador, el control de la temperatura es fundamental, si conocemos la temperatura del ambiente y cuánto tiempo toma alcanzar una temperatura moderada, se puede saber el tiempo de vida de un procesador (teóricamente hablando).

También podemos ver esta ley en la vida cotidiana cuando una taza de café se encuentra a una temperatura de 98°C y está expuesto a una temperatura ambiente de 16°C. Por lo tanto, el café, a medida que pasa el tiempo, estaría cediendo calor al ambiente, por consiguiente, baja su temperatura.

Las leyes de Newton son tres: •

Primera Ley Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o movimiento uniforme si sobre él no se aplica ninguna fuerza.

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Segunda Ley La aceleración con la que un cuerpo cambia su velocidad es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él. 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎

•

Biografía Nació el 25 de diciembre de 1643 en Woolsthorpe (Inglaterra) y murió el 23 de marzo de 1727 en Kensington, siendo enterrado en la famosa abadía de Westminster junto a los grandes de Inglaterra. Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Aportes de Newton a la Física Issac Newton es considerado uno de los padres de la física debido a los aportes muy importantes que hizo, los cuales son: Las leyes de movimiento también conocidas como Leyes de Newton y la ley de gravitación universal.

Tercera Ley Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria.

Estas tres leyes nos permiten estudiar el movimiento de cualquier cuerpo determinando dos tipos de magnitudes: Las que nos dicen cómo se mueven (posición, velocidad, aceleración). Y las que nos dicen por qué se mueven (masa y fuerza) La unidad en el S.I. es el newton y se representa con la letra N. Ley de la Gravitación Universal La ley de la gravitación universal, o simplemente, ley de la gravedad, establece la fuerza con la que se atraen dos cuerpos por el simple hecho de tener masa. 󰇍𝑔 = −G ⋅ F

M∙m ⋅ 󰇍u 𝑟 r2

Aportes de Newton a las Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales comienzan con Isaac Newton, fue el primero en introducir el termino de ecuación diferencial y el termino derivar. Isaac Newton resolvió un problema crucial para las ecuaciones diferenciales con la ayuda de Leibniz. Él problema decía "si una variable (y) depende de otra (x), y se conoce la tasa de variación de (y) respecto de (x) para cambios muy pequeños de la variable (x), resolvieron y quedo como dy = f(x).dx. Newton realizo una clasificación que se divide en tres tipos: 1. dy/dx = f(x) integral definida 2. dy/dx = f(y) 3. dy/dx = f(x,y) caso general El problema que motivó su descubrimiento fue el estudio de la dinámica de cuerpos rígidos y puntuales. Su primer descubrimiento matemático se remonta a 1665, cuando expresó una serie de funciones de potencia y comenzó a considerar cambios en la velocidad o cantidad de cantidades cambiantes como: área, longitud, distancia, temperatura, etc. Newton llamó a nuestra derivada una fluxión una razón de cambio o flujo. A principios de 1665, descubrió el teorema del binomio y el cálculo de series infinitas. Al final del mismo año se utiliza el método de flujo o método de fluxiones, es decir, se calcula la derivada. En 1666, el método inverso de fluxiones y la relación entre cuadraturas y fluxiones. Newton tenía una idea de Límite decía que las razones por las cuales al final

desaparecen estas cantidades no es en realidad una relación cuantitativa sino límites a los que tiende a acercarse siempre las razones de cantidades continuamente decrecientes, límites a los que pueden acercarse más que una diferencia dada, pero nunca traspasarlo, ni tampoco alcanzarlo. Newton también hizo importantes contribuciones a la teoría de ecuaciones, entre las cuales Podemos enfatizar las identidades de Newton Una ecuación polinómica, y según la teoría de curvas, su clasificación de curvas Tres grados.

Ley de enfriamiento de Newton La ley de enfriamiento de Newton expresa que cuando la temperatura que hay entre un cuerpo y su medio no es tan enorme, el calor traspasado por unidad de tiempo al cuerpo o desde el cuerpo por convección, conducción y radiación, es proporcional a la discrepancia de temperatura entre el medio y el cuerpo, siempre y cuando el medio mantenga una temperatura invariable durante toda la transformación de enfriamiento.

Newton tuvo la magnífica idea de utilizar un horno de carbón de una pequeña cocina, hizo un no muy difícil experimento: calentó al rojo vivo un bloque de hierro, al apartarlo lo colocó en un lugar frío y

observó cómo se enfriaba el bloque de metal en el tiempo. Sus hipótesis sobre el ritmo al cual se enfriaba el bloque dieron paso a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton. La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Lo anterior puede representarse como: 𝑑𝑇 = −𝑘(𝑇 − 𝑇𝐴) 𝑑𝑡 ➢ ➢ ➢ ➢

t=Tiempo T=Temperatura del cuerpo TA=Temperatura del ambiente k=Coeficiente de Convección

Ejemplos 1. Un cuerpo que tiene una temperatura de 70 °F es depositado (en el tiempo t = 0) en un lugar donde la temperatura se mantiene a 40 °F. Después de 3 min, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60 °F. a) ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 5 min? b) ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50°F Solución Si T(t) es la temperatura del cuerpo en °F después de t minutos entonces la ecuación diferencial que modela a T(t) es: 𝑇 ′ (𝑡) = 𝑘[𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎 ]

Donde 𝑇𝑎 = 40°𝐹 es la temperatura fija del medio circundante. Las condiciones adicionales son T (0) = 70 y T (3) = 60 Luego, la temperatura T(t) está dada por la solución del PVI: 𝑇 ′ (𝑡) = 𝑘[𝑇(𝑡) − 40], con T (0) = 70 y además T (3) = 60. Resolvamos este problema: Si la temperatura del cuerpo es mayor que la ambiental, entonces deberá experimentar una pérdida de calor, la cual será proporcional a la diferencia de temperaturas, podemos expresar esto en forma diferencial como: 𝑑𝑄 = −𝑚𝐶𝑒𝑑𝑇

➢ m=La masa del cuerpo ➢ Ce=Calor especifico, el signo menos indica una perdida calorífica.

𝑑𝑇 𝑑𝑇 = 𝑘𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 40) → 𝑇 − 40 𝑑𝑡 →∫

𝑑𝑇 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 𝑇 − 40

→ ln(𝑇 − 40)

= 𝑘𝑡 + 𝐶 → 𝑇 − 40 = 𝑒 𝑘𝑡+𝐶 → 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 40

𝑇(0) = 70 ↔ 𝑇(0) = 𝐶𝑒 𝑘.0 + 40 = 70 ↔ 𝐶 + 40 = 70 ↔ 𝐶 = 30;

Por lo que. 𝑇(𝑡) = 30𝑒 𝑘𝑡 + 40 , entonces; 𝑇(3) = 60 → 30𝑒 𝑘.3 + 40 = 60 → 𝑒 3𝑘 60 − 40 20 2 = = = → 𝑙𝑛𝑒 3𝑘 = 3𝑘 30 30 3

2 1 2 = ln ( ) → 𝑘 = ln ( ) ≈ −0.1352. 3 3 3 Luego, 𝑇(𝑡) = 30𝑒 −0.1352𝑡 + 40. a) ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 5 minutos? 𝑇(5) = 30𝑒 −0.1352(5) + 40 = 55.2594 → 𝑻(𝟓) ≈ 𝟓𝟓. 𝟐𝟔°𝑭. La temperatura del cuerpo después de 5 minutos es de 55.26°𝐹. b) ¿Cuánto tiempo apsara para que el cuerpo tenga 50°F? 𝑇(𝑡) = 50 → 30𝑒 −0.1352𝑡 + 40 = 50 → 50−40 10 1 𝑒 −0.1352𝑡 = = = → 30

30 3 1 −0.1352t = ln (3) = −𝑙𝑛3 → 𝑡 𝑙𝑛3 1.0986 = 0.1352 ≈ 𝟖. 𝟏𝟐𝟓𝟖 min. 0.1352

=

Entonces el cuerpo tendrá una temperatura de 50°F después de t = 8.1258 minutos.

2. Un objeto que tiene una temperatura 50 °F se coloca a las 10:00 horas en un horno que se mantiene a 375 °F. A las 11:15 horas su temperatura era 125 °F. ¿A qué hora estará el objeto 150°F? Solución La ecuación diferencial que modela el problema es 𝑑 𝑇(𝑡) = 𝑘[𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎 ]; 𝑑𝑡

Donde 𝑇𝑎 = 375°𝐹 es la temperatura constante del medio circundante. Puesto que de 10 am a 11:45 am transcurren 75 min, las condiciones adicionales son 𝑇(0) = 50 𝑦 𝑇(75) = 125 Luego la temperatura T(t) del objeto está dada por la solución PVI: 𝑇 ′(𝑡) = 𝑘[𝑇(𝑡) − 375], con T (0) = 50 y además T (75) =125. Sabemos que: 𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎 + 𝐶𝑒 𝑘𝑡 → 𝑇(𝑡) = 375 + 𝐶𝑒 𝑘𝑡 .

Ahora, usando la condición inicial: 𝑇(0) = 50 → 375 + 𝐶𝑒 𝑘𝑡 → 𝑇(𝑡) = 375 + 𝐶𝑒 𝑘𝑡 .

Por lo que, T(t) = 375- 325𝑒 𝑘𝑡 . Usando la segunda condición:

𝑇(75) = 125 → 375 − 325𝑒 𝑘.75 = 125 → 𝑒 𝑘75

125 − 375

−250 10 = = 13 −325 −325 10 → 75𝑘 = ln ( ) 13 1 10 →k= ln ( ) = −0.0035. 13 75 =

Luego, 𝑇(𝑡) = 375 − 325𝑒 −0.0035𝑡 .

El objeto alcanzara la temperatura de T = 150°F cuando: 𝑇(𝑡) = 150 → 375 − 325𝑒 −0.0035𝑡 = 150 → 𝑒 −0.0035𝑡 =

150 − 375 −225 9 = = −325 −325 13

→ −0.0035𝑡 =

𝑡=

0.367725 0.0035

9 𝑙𝑛 (13)

= −0.367725 →

≈ 𝟏𝟎𝟓. 𝟎𝟔 min

Es decir, la temperatura del objeto será T = 150°F después de t = 105 min, a partir de las 10 de la mañana. Por lo tanto, la temperatura será 150°F aproximadamente a las 11:45 horas.

Conclusiones La ley enfriamiento de newton nos dice que la rapidez con la que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que lo rodea. Para poder calcularla es necesario la utilización de las integrales y de las derivadas. La ley de enfriamiento de Newton es un ejemplo de aplicación de ecuaciones diferenciales en los problemas de la vida, gracias a esta ley es que se han diseñado los sistemas de enfriamiento de las

maquinas de las que tanto dependemos que van desde las computadoras hasta los automóviles.

Bibliografía

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Integrantes • • • • • •

César Enrique Alfaro Elvir 20181031077 Claudia Judith Rosales Carrasco 20181005680 José David Gámez Lara 20171001009 Moises Antonio Medina Casco 20181005751 Santiago Amador 20191000571 Stephanie Rachel González Morel 20191000927...