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g-Bestimmung mit dem Fadenpendel (GFP) Fakultät für Physik der Ludwig-Maximilians-Universität München – Grundpraktika (13. NOVEMBER 2020)

MOTIVATION UND VERSUCHSZIELE Grundsätzlich lassen sich Bewegungsabläufe darin unterscheiden, ob sie sich regelmäßig wiederholen oder nicht. Als periodische Vorgänge bezeichnet man Prozesse, bei denen sich jeder Zustand des Systems immer nach derselben Zeitdauer wiederholt. Nicht-periodische Vorgänge sind Abläufe, die nur einmal auftreten (etwa das Herabfallen eines Steins) oder sich zwar wiederholen, deren Folge aber unregelmäßig ist (z.B. das Geräusch von Hagelkörnern, die auf ein Dach prasseln). Schwingungen und Wellen sind periodische Strukturen, deren Verständnis grundlegend für sämtliche naturwissenschaftlichen Bereiche ist – nicht nur für die Physik. Eine Schaukel, eine Stimmgabel, ein elektrischer Schwingkreis (siehe Versuch RLC) schwingen. Bei motorgetriebenen Maschinen (z.B. Zentrifugen, Pressen) treten Eigenschwingungen auf. In der pharmazeutischen Technologie finden Schwingungen Anwendung bei Vibrationssieben, -filtern und -mühlen. Atome können in Molekülen schwingen, was die Wärmekapazität beeinflusst (siehe Versuch KAL). Die Wechselwirkung von Lichtwellen mit den untersuchten Substanzen sind die Grundlage von optischen und spektroskopischen Analysemethoden. Wegen der fundamentalen Bedeutung periodischer Vorgänge sollen Sie in diesem Versuch die Begriffe Periode, Frequenz, Amplitude, Ausbreitungsgeschwindigkeit etc. kennenlernen. Im Versuch untersuchen Sie eine der einfachsten Arten von Schwingungen – die eines Fadenpendels. Zubehör

Einen langen, dünnen Faden, Pendelkörper und Lineal.

I.

selbe Richtung fortbewegen und gleichzeitig wieder am selben Ort sein (bei ungedämpfter Schwingung, s.u.). Die Periode T ist unabhängig von der Amplitude und eng mit der Frequenz f (Anzahl der Schwingungen pro Sekunde) verknüpft:

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN I.1.

Grundbegriffe zur Schwingung

Unter einer Schwingung versteht man allgemein einen sich periodisch wiederholenden Vorgang. Die einfachste Art der Schwingung ist die sogenannte harmonische Schwingung, deren zeitlicher, sinusförmiger Verlauf in Abb. 1 dargestellt ist. Die schwingende physikalische Größe x ist gegen die Zeit t aufgetragen, und man erkennt die Amplitude x0 (maximale Auslenkung) und die Periode T (Schwingungsdauer), die während eines vollen Schwingungsvorgangs vergeht. Letztere wird stets gemessen zwischen gleichen Schwingungszuständen, d.h. der Schwingkörper muss sich wieder in die-

f =

mit

[f ] =

1 = Hz . s

(1)

Zur mathematischen Beschreibung einer Schwingung verwendet man die sogenannte Kreisfrequenz ω (griech. „ Omega“ ). Sie ist bei einer gleichförmigen Kreisbewegung identisch mit der Winkelgeschwindigkeit, wenn man den Winkel im dimensionslosen Bogenmaß1 angibt: 2π . T

(2)

x(t) = x0 sin(ωt)

(3)

ω = 2πf = Damit gibt die Sinusfunktion

zum Zeitpunkt t die Stärke der Auslenkung einer physikalischen Größe x(t) aus der Ruhelage an. Durch Abb. 1 und Gl. (3) wird suggeriert, dass die Amplitude ihren ursprünglichen Wert immer unverändert beibehält. Bei jedem realen Schwingungsvorgang treten jedoch unvermeidliche Energieverluste auf – z.B. durch Reibung. Eine solche Abnahme der Gesamtenergie im schwingenden System ist mit einem Abklingen der Amplitude verbunden. Man bezeichnet eine solche Schwingung als gedämpft.

1

Abbildung 1: Zeitlicher Verlauf einer harmonischen Schwingung. Es gilt T = 1/f = 2π/ω, siehe S. 1.

1 T

Das Bogenmaß ist das von einem Winkel aufgespannte Kreisbogenstück im Verhältnis zum Kreisradius. Im Bogenmaß entsprechen 2π also 360◦ oder allgemein: α = α[◦ ] · 2π/360.

2 Gibt man den Winkel ϕ im Bogenmaß an, so ist s=l·ϕ . Außerdem kann man für kleine Winkel die Näherung sin ϕ ≈ ϕ verwenden. Man kann also für entsprechend kleine Ausschläge des Fadenpendels (näherungsweise) schreiben: ..

(5)

m · l · ϕ = −mg · ϕ .

Zur Lösung dieser Gleichung liefert Gl. (3) einen Ansatz, nämlich (6)

ϕ(t) = ϕ0 sin(ωt)

mit der Winkelamplitude ϕ0 . Die erste und zweite Ableitung davon sind .

Abbildung 2: Fadenpendel mit Masse m und Fadenlänge l. Die Ruhelage des Pendels liegt bei ϕ = 0.

ϕ(t) = ω · ϕ0 cos(ωt) , ϕ(t) = −ω 2 · ϕ0 sin(ωt) . ..

(7)

Einsetzen der Gleichungen (6) und (7) in (5) ergibt I.2.

−ml · ω 2 · ϕ0 sin(ωt) = −mg · ϕ0 sin(ωt) p ⇒ lω 2 = g ⇒ ω = g/l .

Fadenpendel

Ein Fadenpendel ist das in Abb. 2 dargestellte schwingungsfähige System: an einem Faden der Länge l hängt eine Masse m. Die Schwingungsbewegung des Pendels wird durch den zeitlichen Verlauf des Winkels ϕ (griech. „Phi“ ) beschrieben. Um eine mathematische Formel für ϕ(t) zu finden, betrachtet man die wirkenden Kräfte, wobei jegliche Art von Dämpfung unberücksichtigt bleibt. Abb. 2 zeigt die ausgelenkte Masse unter dem Einfluss der Schwerkraft Fg = mg . Diese bewirkt eine rücktreibende Kraft Ft , nämlich die Schwerkraftkomponente, die tangential am Kreisbogenstück s liegt: Ft = −mg · sin ϕ .

(4)

Das Minuszeichen besagt, dass Ft der Auslenkung ϕ entgegengesetzt ist. Da sich ϕ während der Schwingung mit der Zeit ändert, ändert sich gleichzeitig auch Ft . Interpretiert man die Kraft im Sinne des zweiten Newton’schen Gesetzes als „ Masse mal Beschleunigung“ und beachtet, dass die Beschleunigung a die zweite Ableitung des Weges s nach der Zeit ist2 , so folgt ..

m · a = m · s = −mg · sin ϕ .

2

Als Schreibweise für die erste Ableitung einer Funktion f, die von x abhängt, hat sich f ′ (x) eingebürgert – für die zweite Ableitung entsprechend f ′′ (x). Für eine zeitabhängige Funkti. .. on y(t) schreibt man jedoch y(t) bzw. y(t). Die Bedeutung ist allerdings völlig analog.

(8)

Diese Rechnung zeigt, dass das Fadenpendel tatsächlich eine harmonische Schwingung ausführt, wobei sich die Kreisfrequenz aus der Fadenlänge und der Erdbeschleunigung g ergibt. Schließich folgt mit Gl. (2) für die Schwingungsdauer des Fadenpendels s l T = 2π . (9) g Diese Beziehung ist in mehrfacher Hinsicht interessant: 1. Die Schwingungsdauer des Fadenpendels ist offenbar unabhängig von der Winkelamplitude ϕ0 – sie taucht explizit in Gl. (9) nicht mehr auf. Grundvoraussetzung ist hierbei jedoch, dass nur kleine Winkel auftreten. 2. Die Schwingungsdauer ist offenbar auch von der Masse des Schwingkörpers unabhängig. Allerdings nimmt sie mit der Fadenlänge zu. 3. Man kann mit Hilfe von Gl. (9) die Erdbeschleunigung bestimmen: g=

4π 2 l. T2

(10)

Dies ist recht genau möglich, weil sich T als Mittelwert bei einer größeren Zahl von Schwingungen sehr genau experimentell bestimmen lässt.

3 I.3.

Ausblick: Wellen

Eine Schwingung ist eine periodische zeitliche Änderung einer physikalischen Größe an einem bestimmten

Ruhelage: x=0

geregte Oszillator gegenüber dem anregenden Oszillator zeitlich etwas verzögert (vgl. Abb. 3). Der angeregte Oszillator überträgt die Schwingung wiederum weiter an seinen rechten Nachbarn usw. Auf diese Weise kommt die sinusförmige Kurve zustande, auf der an jedem Ort z ein schwingender Oszillator liegt, der die Störung weiter trägt. Die Störung bewegt sich im Laufe der Zeit mit konstanter Geschwindigkeit durch das Medium. Während es zur Charakterisierung einer Schwingung genügt, Amplitude x0 und Kreisfrequenz ω anzugeben, benötigt man zur Beschreibung einer Welle zusätzlich die Wellenlänge λ (griech. „ Lambda“ ). Als Wellenlänge wird der kleinste Abstand zweier Oszillatoren bezeichnet, die sich im gleichen Schwingungszustand befinden. Hat sich die Welle – wie in Abb. 3 – um genau eine Wellenlänge weiterbewegt, so hat jeder einzelne Oszillator eine volle Schwingung ausgeführt. Die Oszillatoren benötigen dafür genau die Schwingungsdauer T . Die Welle legt also in der Zeit T die Strecke λ zurück. Damit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v der Welle gegeben durch v=

λ . T

(11)

Wegen f = 1/T folgt daraus v = λf ,

z= 0

z= /4

z= /2

z= 3 /4 z=

Abbildung 3: Eine Kette von vielen, miteinander gekoppelten Oszillatoren (z.B. Fadenpendel von oben). Die Auslenkung x aus der Ruhelage ist als Funktion des Ortes z zu verschiedenen Zeitpunkten t dargestellt.

festen Ort, z.B. die Auslenkung eines Fadenpendels aus der Ruhegewichtslage (vgl. I.2). Steht ein schwingendes System (Oszillator) in Wechselwirkung mit anderen schwingungsfähigen Systemen, so wird die Schwingungsbewegung auf diese übertragen. Wird z.B. das Fadenpendel mit einem zweiten über eine elastische Feder verbunden, so wird bei Auslenkung des ersten Pendels aus der Ruhelage das zweite Pendel ebenfalls bewegt. Eine Störung wird also zwischen den Systemen weitergegeben und setzt sich mit der Zeit räumlich fort. Man nennt diese Erscheinung Welle. Wellen können sich also in einem Ensemble vieler Oszillatoren, die miteinander gekoppelt sind, ausbreiten. Wellen können als Ausbreitung einmaliger oder sich periodisch wiederholender Störungen verstanden werden. Abb. 3 zeigt Momentaufnahmen einer sich ausbreitenden harmonischen Welle. Der Oszillator am Ort z = 0 überträgt die Störung auf seine Umgebung – im Bild nach rechts auf den Nachbarn. Dabei schwingt der an-

(12)

was für jede Art von Wellen gültig ist. Bei der Wellenbewegung wird keine Materie transportiert, sondern eine Störung bewegt sich durch das Medium. Trotzdem ist mit ihr ein Energietransport verbunden. Zu unterscheiden sind zwei verschiedene Arten von Wellen: Erfolgt die Auslenkung aus der Ruhelage in Ausbreitungsrichtung, so spricht man von einer longitudinalen Welle. Erfolgt die Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung wie in Abb. 3, so spricht man von einer transversalen Welle. Dort erfolgt die Auslenkung nach oben/unten, und die Störung pflanzt sich nach rechts fort.

II.

TECHNISCHE GRUNDLAGEN II.1.

Fadenpendel

Ein Fadenpendel besteht einem Pendelkörper, der an einem dünnen Faden an einer Halterung aufgehängt ist und (zumindest in einer Richtung) frei schwingen kann. Um die Gültigkeit von Gl. (10) zu gewährleisten, darf der Auslenkungswinkel ϕ nicht zu groß sein.

II.2.

Messverfahren

Mit Gl. (10) kann die Erdbeschleunigung direkt aus einer Messung von Pendellänge und Periode bestimmt werden.

4 Alternativ dazu gibt es ein relatives Messverfahren, bei dem die anfängliche Pendellänge l0 sukzessive jeweils um eine gut bekannte Länge b vergrößert wird. Gemäß Gl. (9) ergibt die Messung der Perioden s 4π 2 l0 l0 + i b 4π 2 b · i (13) Ti = 2π + ⇒ Ti2 = g g g nach Auftragung von T 2 gegen i eine Gerade, aus deren Steigung die Erdbeschleunigung bestimmt werden kann.

II.3.

Graphische Darstellung von Messwerten

In diesem Versuch – wie generell zur Auswertung von Messreihen – wird eine graphische Darstellung verwendet, die den qualitativen Zusammenhang unmittelbar veranschaulicht („ Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte“ ) und eine quantitative Analyse der Daten ermöglicht. Graphische Darstellungen werden ausschließlich auf Millimeterpapier gezeichnet und sollten blattfüllend sein (DIN A5 bis A4). Der Maßstab eines Diagramms muss groß sein, um die Zusammenhänge genau erkennbar zu machen und übersichtlich darzustellen. Per Konvention wird die unabhängige Variable (Ursache), also diejenige, die Sie eingestellt haben, entlang der x-Achse und die abhängige Variable (Wirkung), diejenige, die von Ihnen abgelesen wird, entlang der yAchse aufgetragen. Das Koordinatensystem wird wie in Abb. 4 beschriftet: • Angabe der physikalischen Größen oder ihrer Symbole, z. B. „ Masse“ bzw. „ m“ . • Angabe der Einheiten, z. B. „ g“ (für Gramm). Die Einheit wird durch einen Schrägstrich von der physikalischen Größe getrennt, z. B. „ m/g“ .

Abbildung 4: Überprüfung des Hooke’schen Gesetzes – Ausdehnung der Feder gegen anhängende Masse. Der lineare Verlauf der Messwerte bestätigt das Hooke’sche Gesetz.

• Der Maßstab wird durch eine sinnvolle Achseneinteilung angegeben. Die Maßstabseinheit sollte in einer einfachen Beziehung zur mm-Einteilung stehen, z. B. 50 g entsprechen 1 cm auf der x-Achse. • Erklärender Bildtext, z. B. „ Überprüfung des Hooke’schen Gesetzes“ , und eine ausreichende und eindeutige Beschreibung des dargestellten Zusammenhangs. Damit die Graphik übersichtlich bleibt, sollten Sie in Ihren Auswertungen die Messwerte deutlich als Kreuze einzeichnen. In dieser Anleitung sind – wie in vielen Büchern – einige Messwerte als Punkte eingezeichnet (didaktisch ungeschickt). Es hat keinen Sinn, Messpunkte durch kurze Geradenstücke miteinander zu verbinden. Messwerte streuen, und physikalische Zusammenhänge verlaufen im allgemeinen glatt.

II.4.

Graphische Auswertung linearer Zusammenhänge

Liegen Paare von Messwerten (xi , yi ) vor, für die ein linearer Zusammenhang vermutet wird, so lautet die entsprechende Funktion oder Funktionsgleichung: f (xi ) = mxi + c .

(14)

Der Parameter m ist die Steigung der Geraden, und c ist der y-Achsenabschnitt. Ziel ist die Überprüfung der Linearität oder die Bestimmung von m oder c. Hierzu werden die Messwerte graphisch aufgetragen. Zufällige Abweichungen führen zur Streuung der Messwerte yi , d. h. in der Regel sind die yi 6= f (xi ). Im Versuch KAL wird Wasser erwärmt und die Wassertemperatur in Abhängigkeit von der Dauer der Energiezufuhr gemessen. Die Zeit t wird also auf der x-Achse aufgetragen und die Temperatur T auf der y-Achse. Die entsprechenden Messwerte werden zunächst in ein Koordinatensystem eingetragen (Abb. 5). Mit geübtem

Abbildung 5: Schritt I – Graphische Darstellung der Messpunkte und Anlegen der Ausgleichsgeraden.

5 Auge erkennt man, dass die dargestellten Messpunkte statistisch um eine Gerade verteilt sind, was einen linearen Zusammenhang zwischen T und t qualitativ bestätigt. 1. Zeichnen der Ausgleichsgeraden Zur quantitativen Auswertung (d. h. Bestimmung der Parameter m und c) wird nach Augenmaß eine Gerade eingezeichnet. Diese Ausgleichsgerade soll „ am besten zu den Messwerten passen“ , d. h. möglichst wenig von den Messpunkten abweichen wie in Abbildung 5. Ausreißer, darunter versteht man Messwerte, deren Abweichung vom Verlauf der übrigen Messpunkte ungewöhnlich groß ist, bleiben beim Zeichnen der Ausgleichsgeraden unberücksichtigt. Sie sind mit großer Wahrscheinlichkeit stärker fehlerbehaftet als die übrigen Werte (in dem Beispiel in den Abbildungen 5-9 sind keine Ausreißer dabei). 2. Bestimmung der Geradensteigung Die Steigung ist der Quotient m = ∆y/∆x aus der y-Koordinatendifferenz ∆y und der x-Koordinatendifferenz ∆x zweier Punkte P1 , P2 auf der Geraden. Die Punkte sollen möglichst weit auseinanderliegen (wegen der höheren Genauigkeit) und nicht mit Messpunkten zusammenfallen. (P1 und P2 müssen nicht extra eingezeichnet werden.) Zur Bestimmung der Differenzen ∆x = x2 − x1 und ∆y = y2 − y1 wird ein Steigungsdreieck gezeichnet (siehe Abb. 6). An das Dreieck werden die Werte für diese Differenzen geschrieben. Dabei sind unbedingt die Differenzen der entsprechenden physikalischen Größen abzulesen, denn die auf der x- und y-Achse aufgetragenen Zahlen entsprechen mit Einheiten behaftete Größen. Sie hängen von der jeweiligen Wahl der Maßstäbe an den Koordinatenachsen ab. Demzufolge trägt auch die ermittelte Steigung m eine physikalische Einheit, nämlich die der y-Achse geteilt durch die der x-Achse. Die direkt mit dem Lineal ausgemessenen Längen der Dreieckskatheten (in mm oder cm) ergeben nicht die Steigung, wenn

Abbildung 7: Schritt III – Konstruktion des Fehlerstreifens.

sie einfach durcheinander dividiert werden. 3. Unsicherheit der Steigung Auf Grund der Streuung der Messwerte ist die Ausgleichsgerade mit einer Unsicherheit behaftet. Zur Bestimmung der Unsicherheit der Steigung m werden unter Berücksichtigung der Streuung der Messwerte zwei weitere Geraden durch die Messpunkte konstruiert – die sogenannten Grenzgeraden. Aus ihnen wird nämlich die obere und die untere Grenze für die Steigung berechnet oder auch die Unsicherheit für den Parameter c. Zur Konstruktion der Grenzgeraden schließt man knapp 70% der Messpunkte möglichst eng in einen Fehlerstreifen ein. Dieser viereckige Streifen wird nach oben und unten begrenzt durch zwei lange Seiten, die parallel zur Ausgleichsgerade sind2 . Die weiteren Begrenzungen bilden zwei zur y-Achse parallele kurze Seiten, die durch den ersten und letzten Messpunkt verlaufen. Der Fehlerstreifen erstreckt sich also über den gesamten x-Wertebereich der Messpunkte, jedoch liegen etwa 15% der Punkte über dem Streifen und 15% darunter (Abb. 7). Ausreißer werden dabei niemals mit eingeschlossen. Durch Verbinden der jeweils diagonal gegenüberliegenden Eckpunkte des Vierecks erhält man die Grenzgeraden. Von ihnen wird jeweils die Steigung bestimmt, wie bereits für die Ausgleichsgerade beschrieben wurde. Die Steigung m und ihre Unsicherheit ∆m erhält man aus m = m ± ∆m

mit ∆m =

|m1 − m2 | . 2

(15)

Die Genauigkeit der Steigung nimmt natürlich mit der Anzahl der Messpunkte zu. Gemäß Abb. 9 ergeben sich die Steigungen der Grenz-

2

Abbildung 6: Schritt II – Bestimmung der Steigung aus dem Steigungsdreieck.

Ihre Steigungen können in Ausnahmefällen von der der Ausgleichsgeraden verschieden sein, wenn die Punkte unterschiedlich stark um die Ausgleichsgerade streuen.

6 Im Beispiel ist (m1 + m2 )/2 = 0,492◦C/min ≈ 0,50◦C/min, was für eine sehr gute Lage der Geraden spricht.

II.5.

Transformation auf die lineare Form

In diesem Versuch ist ergibt der Zusammenhang zwischen T und i keine Gerade, aber trotzdem ist eine lineare graphische Darstellung und eine quantitative Auswertung möglich. Eine ähnliche Situation liegt bei der Überprüfung des Weg-Zeit-Gesetzes beim freien Fall vor. Der theoretische Zusammenhang ist s(t) = 1/2 gt2 .

Abbildung 8: Schritt IV – Konstruktion der Grenzgeraden als Diagonalen im Fehlerstreifen.

Das Auftragen der Messwerte (s gegen t) ergibt einen nichtlinearen Verlauf (parabelförmig, s. Abb. 10 oben), woraus die Größe g sich nicht unmittelbar bestimmen lässt. Trägt man nun s nicht gegen t sondern gegen t2 auf, wird durch den linearen Verlauf die Gesetzmäßigkeit offensichtlich.

geraden m1 = 6,6 ◦C/15,0 min = 0,440 ◦C/min und m2 = 7,6 ◦C/14,0 min = 0,543 ◦C/min . Daraus ergibt sich für die Unsicherheit der Steigung:

s/m

(0,543 − 0,440) ◦C/min = 0,052 ◦C/min . ∆m = 2 Nach Aufrundung der Unsicherheit ist das Resultat: m = (0,50 ± 0,06) ◦C/min . Mit etwas Übung genügt oft das Einzeichnen der Grenzgeraden nach Augenmaß unter Berücksichtigung von jeweils grob zwei Drittel der Messwerte. Zur Probe prüft man, ob die Steigung der Ausgleichsgeraden ungefähr in der Mitte zwischen den Steigungen der Grenzgeraden liegt. Für konsistente Werte ist m≈

m1 + m2 . 2

t/s

(16) s/m

t²/s²

Abbildung 9: Schritt V – Bestimmung der Steigungen der Grenzgeraden.

Abbildung 10: Transformation auf die lineare Form.

7 III.

VERSUCHSDURCHFÜHRUNG

Sie führen den Versuch mit einem selbstgebauten Fadenpendel durch. Dazu benötigen Sie einen langen, stabilen, dünnen Faden (z.B. Angelschnur oder Zahnseide) und als Pendelkörper eine(n) Radiergummi, Klebefilmrolle oder ähnliches. Für den zweiten Teilversuch benötigen Sie ein Lineal extra.

Durchführung Führen Sie ein schmales Lineal über die Tischkante heraus und beschweren Sie den verbliebenen Teil auf dem Tisch mit einem schweren Buch. Wickeln Sie den Faden so um das Lineal, dass beim Drehen...