Giải tích 1 tich phan suy rong hội tụ , phân kì PDF

Preview

Summary

not problem...

Description

I. Tích phân suy rộng loại một Bài toán

Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong: y  f ( x)  0, trục hoành, đường thẳng x = a. 

b

a

a

s   f ( x)dx  lim  f ( x )dx b 

b

 

Tích phân suy rộng loại một y  f ( x) khả tích trên đoạn 

Tích phân



a, b , với mọi b  a b



( x )dx f  f ( x )dx  blim   a

a

được gọi là tích phân suy rộng loại một. Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một a

a



b

 f ( x) dx  blim  f ( x )dx 



a







a

 f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx



b

f ( x)dx  blim f ( x )dx   a a Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp) 2) Khảo sát sự hội tụ.

Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz) Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  a,   

b

a

a

 lim  F (b)  F ( a)  f x dx ( )  f ( x)dx  blim  b 

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim F (b) : F () b





 a

f ( x )dx  F ( x )

 F ( )  F (a ) a

Ví dụ

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

1 y  2 , trục hoành và đường thẳng x = 1. x b  b  1  dx dx  1   S   2  lim  2  lim     lim 1 1    b  b  x 1 x 1 x x  b  1  

Diện tích của miền S bằng 1, hữu hạn.

Ví dụ



Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

1 , trục hoành và đường thẳng x = 1. y x





b b dx dx  lim ln | x | 1  lim  ln b     lim S   b  b  b  1 x 1 x

S là miền có diện tích vô hạn, bằng 

Ví dụ

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

1 y  2 , trục hoành. x 1







 dx dx b S  2 2 2  2  lim arctan x 0   b   x  1 0 x 1

Diện tích của miền S bằng  .



Ví dụ 

I

Tính tích phân

2 x e  dx   1

e

I

1

e 2 x dx

2 x 

2

1

 e e 2  1      2 2  2e  2 

Ví dụ

Tính tích phân

I

 e



I

 e

dx x ln 2 x

  d (ln x) dx 1  1 1         1.  2 2  x ln x e ln x ln x e  ln( ) ln e 



dx Ví dụ Tính tích phân 4 x 2  5 x  6 1 1 1 1    2 x  5 x  6 ( x  2)( x  3) x 3 x 2  1   1   I  dx  ln | x  3 | 4  ln | x  2 | 4   x3 x 2 4  I

 ( )  () Dạng vô định.?

Không được phép dùng: lim ( f  g )  lim f  lim g x 

x 

x 

khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại. 

x 3  x 3  43 1 I  ln  lim  ln  ln  ln1  ln  ln 2  x  2 4 x  x  2  4 2 2



Ví dụ

Tính



I

x

1 1  5 1 10 x x

6

0

I   1

dt t  t 1 2

 ln  t  1/ 2  

1

dx x 1  x5  x10

1 1 Đổi biến: t  5  dt   6 dx x x

dx

 1

I

1

 0

x 1 t 1

Đổi cận:

x    t  0

dt

 t  1/ 2   3/ 4 2

t  1/ 2   3/ 4

1

2

0



Ví dụ Đặt

I

Tính

0

e 2 x cos xdx

u  e2 x  du  2e 2 x dx

I  e 2 x sin x

 0



lim e

Ta có

x 

dv  cos xdx  v  sin x



 2  e 2 x sin xdx 0

2 x





sin x  0 nên I  2  e  2x sin xdx 0

u  e2 x  du  2e 2 x dx dv  sin xdx  v   cos x



I  2 e

2 x

cos x



 0



 4  e 2 x cos xdx  2  4I  I  0

2 5



Ví dụ

Tính I 

0

arctan x dx 2 3/ 2 1 x





Đổi biến: t  arctan x  dt 

dx 1  x2

Đổi cận: x  0  t  0 x    t 

 2

1 x  tan t  1  x  cos2 t 2



I

 0

arctan x

1  x 

2 3/ 2



dx 

 0

 /2 dx     t cos tdt   1 2 1  x2 2 1 x 0

arctan x

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) Trường hợp 1:   1 



1 1 1 1 1 hữu hạn, khác 0.   1    1   dx  1   x a  1 a a 0 x tích phân hội tụ. Trường hợp 2:   1 1   x 1   Tích phân phân kỳ.   dx  1  a a 0 x Trường hợp 3:

 1



1   dx  ln | x | a   a0 x

Tích phân phân kỳ.

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

 hoäi tuï, neáu   1 1   dx   a 0 x phaân kyø, neáu   1 

Neáu   1, thì I hoäi tuï. 

1 I     dx 2 x ln x

Neáu   1, thì I phaân kyø. Neáu   1,   1, thì I hoäi tuï. Neáu   1,   1, thì I PK.

Tích phân hàm không âm Tiêu chuẩn so sánh 1.

 x  a  f ( x)  0, g ( x)  0 và khả tích trên a,   f ( x)  g ( x) ở lân cận của . Khi đó: 



1) Nếu

 g ( x)dx

hội tụ, thì

 a

a 

2) Nếu



f ( x )dx hội tụ. 

f ( x )dx

phân kỳ, thì

a

 g ( x)dx

phân kỳ.

a



Để khsát sự hội tụ của I  

với

 a

dx đã biết kết quả.  x

 a

f ( x)dx , thường đem so sánh

Chú ý (trong tiêu chuẩn 1): 1) f(x) và g(x) là hai hàm không âm. 2) Chỉ cần tồn tại   a x   ,    f ( x)  g ( x) 

3) Cận dưới của tích phân

 a

dx là số dương ( a  0. )  x 

Khảo sát sự hội tụ I 

Ví dụ

 1

dx 2 x 2  sin 2 3x

1 1 Ta có f ( x)  2  2  g ( x) 2 2x  sin 3x 2 x 

Vì



1

dx 2 x2

hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I

1

dx x 2  sin 2 3x

1 2 Ta có f ( x )  2  2  g ( x) 2 x  sin 3 x x  dx Vì  2 hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1. 1 x 

Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I

 1

Ta có 

Vì



1

dx 2x

ln 3 xdx x5

ln 3 x 1 1 f ( x)     g ( x ) x  5 x  5 x  5 2x

phân kỳ , nên I phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1.

Tích phân hàm không âm Tiêu chuẩn so sánh 2.

 x  a  f ( x)  0, g ( x)  0 và khả tích trên a,   f ( x) K  lim Khi đó: x  g (x )  1) K  0 : nếu

 g ( x)dx



hội tụ, thì

a

hội tụ.

a

2) K höõu haïn,  0 : 





 f (x )dx

f ( x )dx và

a

 g ( x)dx

cùng HT hoặc cùng PK.

a



3) K   : nếu

 a



f ( x )dx hội tụ, thì

 g ( x)dx a

hội tụ.

Cách sử dụng tiêu chuẩn sosánh 2.

Để khảo sát sự hội tụ của



f (x )dx

a

1) kiểm tra f(x) có là hàm không âm (trong lân cận của  ) 2) Tìm hàm g(x) bằng cách: tìm hàm tương đương của f(x) khi x tiến ra dương vô cùng.

f ( x) 3) Tính K  lim , kết luận. x  g (x) Hai hàm f(x) và g(x) không âm: nếu f ( x ) 

 a



f ( x )dx vaø

 g ( x)dx a

cùng tính chất.

x 

, thì

Hội tụ tuyệt đối

Định lý 



Nếu  f ( x ) dx hội tụ, thì  f ( x )dx hội tụ. a

a

Định nghĩa 



a

a

Nếu  f ( x ) dx hội tụ, thì  f ( x )dx gọi là hội tụ tuyệt đối Nếu hàm f(x) có dấu tùy ý, để khảo sát sự hội tụ của 

 a

f ( x )dx

ksát sự HT của tích phân hàm không âm



 a

f ( x ) dx

để sử dụng được hai tiêu chuẩn so sánh



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I

x

1 5x

1 Ta có f ( x )  5x  ln x

f ( x) 1  x  g ( x ) 5

Khi đó: lim 

Tích phân



1 

Vì

 1

1

dx 5 x  ln x 1 Chọn g ( x)  1/ 2 x

hữu hạn, khác 0.



f ( x)dx và

 g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1

1 g ( x) dx phân kỳ (   1 ), nên tích phân I phân kỳ. 2



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I

1

x 3x 3x Ta có f ( x )  3 2 x  sin 3x 2x

f ( x) 1 1  Chọn g ( x)  2  lim x  g ( x) x 5 

Tích phân



1

3 xdx 2 x 3  sin 3 x 3 2x2

hữu hạn, khác 0.



f ( x)dx và

 g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1



Vì

 g ( x)dx hội tụ (   2  1 ), nên tích phân I hội tụ. 1



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

Ta có

arctan x x  f ( x)  2 2 x  2ln x

1  g ( x ) Chọn x2



1

1

arctan xdx 2x 2  2ln x

 2  2x

f ( x)   lim  x  g ( x) 4



Tích phân

I

2



 4x2

hữu hạn, khác 0.



f ( x)dx và

 g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1



Vì

 g ( x)dx hội tụ (   2  1 ), nên tích phân I hội tụ. 1



Khảo sát sự hội tụ I 

Ví dụ

0

x 1 1 Ta có f ( x )  3x (3 x  1) x  1

f ( x) 1  lim x  g ( x ) 3

Khi đó:



Tích phân 

Vì J 

 0



0

dx (3x  1) x  1

Chọn g ( x) 

1 x3/ 2

hữu hạn, khác 0. 

f ( x)dx và

 g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 0

g ( x) dx hội tụ ( 

3  1 ), nên tích phân I hội tụ. 2

Sai! vì J phân kỳ (xem phần tích phân suy rộng loại hai)



dx 0 (3x  1) x  1 1  dx dx   I1  I 2 Cách giải đúng! I   0 (3 x  1) x  1 1 (3 x  1) x  1 Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ I 

I1 là tích phân xác định nên hội tụ. Xét tích phân I2 x 1 1 1 f x  ( ) Ta có Chọn g ( x)  3/ 2 3x (3 x  1) x  1 x f ( x) 1 hữu hạn, khác 0.  Khi đó: lim x  g ( x ) 3 

Tích phân 

Vì

 1





f ( x)dx và

1

g ( x) dx

 g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1

HT (  

3  1 ), nên I1 HT, suy ra I HT. 2



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

 x  1 f ( x)  e 

x e  dx   e

 x2

 x 

1

1

I

1

e

2 x 

dx

 e  x  g ( x)

1   e



 g ( x)dx

HT

1

Tích phân đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1. 

Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ I 

 1

1/ x 2

f ( x)  e

1  cos x

1 x

1  1/ x 2  e  cos dx x 

1 3  2  I HT 2 2x 2x



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ I 

1

e

x

x

dx

1 1 Ta có:  x  1 e  x  x  e x 1 1  f ( x)  x  2  g ( x) Tích phân đã cho hội tụ. xe x x



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ I 

 1

x 3  x 2  1 x x 3/ 2 f ( x)  x 3  3x  1 x

1 x

3/ 2

x3  x 2  1 dx 3 x  3x  1 Tích phân hội tụ.



Khảo sát sự hội tụ I 

Ví dụ

arctan x x  f ( x)  2  ex 2e 

Tính

e 0

x

dx   e

 x  0

0

g ( x)

 1 HT, nên tích phân đã cho HT. 

Ví dụ

arctan x dx 2  ex

Khảo sát sự hội tụ I 

 1

  2arctan x3 dx 3/ x e 1

1    2 / 2 arctan  3  3  x  x   2arctan x 3 2 / 2 x    2  3/ x 3/ x e 1 3/ x 3 x e 1

HT

Ví dụ

f ( x) 

Chứng minh tích phân hội tụ và tính  dx I  2 x x  1 3 x

1 x 1 x

2

1 x

  2  1 nên tích phân I hội tụ.

2 2  t  x  1  2tdt  2 xdx t  1 x 2



I



3 x



xdx 2

1 x

2





tdt t t 2 1

  2



t 1 1  ln  ln1  ln  ln 3 t 1 2 3



Chứng minh tích phân hội tụ và tính

Ví dụ

x

1

f ( x) 

x  1 x 4

1



x

2

I

1 x3/ 2

dx 80 x  4 x 2  1

3    1 nên I hội tụ. 2

3  4 t dt  2 xdx t  1  x  t  x 1 

I



80

4

2

4



xdx x  1 x 2

4



2

2



  2t 3dt dt dt     2 2 4  1 1 t t 1 t t  9 9

  9



t 1  8    ln  arctan t 9   ln    arctan 9  t 1 9 10  2 

Ví dụ Chứng minh tích phân phânt kỳ và tính giới hạn

e 1 t dt lim x x  e x



I

 1

x

e dx x

ex 1  x  1 f ( x)    g ( x) x x



 g ( x) dx 1

FK nên I phân kỳ.

 Giới hạn có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital  ' x t x t  e  e  1 t dt  x  t dt e 1   1 lim x  lim lim  lim  0 ' x x  x x  x x  e x e x e 



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I

1

sin xdx x 2  ln 2x

x  1 1 sin x  2 f ( x)  2 x  ln 2 x x  ln 2 x x

(x)

Hội tụ.

Sai! vì f(x) có dấu tùy ý, không sử dụng so sánh được. 

Xét tích phân hàm không âm J 

 1

x 1 sin x 1 f ( x)  2  2 x  ln 2 x x  ln 2 x x

Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối.

sin x dx 2 x  ln 2 x ( x) Hội tụ.



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ

I

1

sin xdx x

1 1 Tích phân từng phần: u   du   2 dx x x dv  sin xdx  v   cos x 

I

 1



 sin x cos x cos x cos1 dx     2 dx  J x x 1 x 1 1 

Xét tích phân J 

 1

cos x dx 2 x

J hội tụ, suy ra I hội tụ.

cos x 1  2 hội tụ 2 x x



Khảo sát sự hội tụ

Ví dụ

I

1



Xét tích phân hàm không âm J 

 1

sin xdx x

sin x dx x

2

sin x sin x 1  cos 2 x   2x x x   dx  cos 2 x 1  cos 2 x  2x dx   2x   2x dx  I1  I2 1 1 1 

I1 

 1

dx phân kỳ 2x



I2 

 1

cos 2 xdx 2x

hội tụ (tương tự ví dụ trước)

Tích phân đã cho hội tụ, nhưng không hội tụ tuyệt đối

Chú ý: 1) Với tích phân chỉ có một điểm suy rộng 





 a     vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ. f ( x) dx khi tách ra có dạng vô định G ( x ) a  H ( x ) a

2) Với tích phân có hai điểm suy rộng 





a

f ( x)dx khi tách ra thành tích phân  f ( x) dx  





f ( x) dx

a

chỉ cần một trong hai tphân PK, thì tphân ban đầu PK.

I. Tích phân suy rộng loại hai

Định nghĩa Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x), nếu lim f ( x )   x x0

Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy

nhất là x0 = b. b

t

a

t b a

 f ( x )dx : lim  f ( x )dx

Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b]

I. Tích phân suy rộng loại hai Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy

nhất là x0 = a. Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] b

b

a

t a t

 f ( x )dx : lim  f ( x )dx

I. Tích phân suy rộng loại hai Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy

nhất là c  a, b  Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] b

c

b

a

a

c

 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx t

b

t c a

t c t

 lim  f ( x) dx  lim  f ( x) dx

Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ.

I. Tích phân suy rộng loại hai

Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm.

Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz) Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b] Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên b