Giovany 2 - EJERECICIOS PDF

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7 Solidos de revoluciónEn los ejercicios 1 a 14, usar el método de las capas para formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido generado al girar la región plana alrededor del eje y.FormulaV = 2 π ∫ab p ( x ) h ( x ) dxV = 2 π ∫02 x ( x ) dxV = 2 π ∫02 x 2 dx2 πx3 3 ¿ ¿ ¿ 02¿16,75 u 3V...

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7.3 Solidos de revolución En los ejercicios 1 a 14, usar el método de las capas para formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido generado al girar la región plana alrededor del eje y. Formula b

V =2 π ∫ p ( x ) h ( x ) dx a

2

V =2 π ∫ x (x )dx 0 2

V =2 π ∫ x 2 dx 0

x3 3 2 ¿ ¿ ¿0

2π

¿ 16,75u 3

1

V =2 π ∫ ( 1−x ) xdx 0 1

¿ 2 π ∫ ( x − x 2 ) dx 0

x2 x3 − ) 2 3 ¿ ¿ ¿10

2π(

π ¿ u3 3

4

V =2 π ∫ √ x ( x ) dx 0 4

3

¿ 2 π ∫ x 2 dx 0

5

2 2 π ( x2 ) 5 4 ¿ ¿ ¿0 ¿ 80,42u

3

2

V =2 π ∫ 0 2

¿2π∫ 0

( 12 x +1) xdx 2

( 12 x + x) dx 3

2

x4 x + ) 8 2 2 ¿ ¿ ¿0

2π(

¿ 8 π u3

.5

y = x 2 y=0 x =3 3

V =2 π ∫ x 2 ( 3−x ) dx 0 3

¿ 2 π ∫ ( 3 x 2−x 3 ) dx 0 3

¿ 2 π ¿0 ¿

27 π 3 u 2

1 2 x , y = 0, x = 6 4

6. y =

6

V= 2 π ∫ 0

1 2 x ( x ) dx 4

6

∫ 14 x 3 dx

V=2π

0

6

∫ 12 x 3 dx

V=π

0

V= 162 π

8. y = 4 - x 2 Y= 0

V=

4−x 2 (¿) ( x ) dx 2

2 π∫ ¿ 0

V=

4 x −x3 (¿)dx 2

2 π ∫¿ 0 3

V=

8 x−2 x (¿)dx 2

π∫ ¿ 0

V= 8π

b

Formula: 2 π ∫ p ( x ) h(x )

donde p(x)= distancia desde el eje de rotación a la diferencia

a

h(x)= función que forma el sólido. 23. Calcular el volumen del solido formado por la región acotada por las graficas y =4 x − x 2 alrededor de x=5 4

V= 2 π ∫( 5−x)(4 x−x 2 ) dx 0 4

V= 2 π ∫(20 x−5 x 2 −4 x 2+ x 3 )dx 0

V= 64 π 25. Calcular el volumen del solido formado por la región acotada por las graficas y =4 x − x 2 y = x 2 alrededor de x=4 2

V= 2 π ∫( 4−x)(4 x−2 x 2) dx 0 2

V= 2 π ∫(16 x−12 x 2−2 x3 )dx 0

V=16π 26. Calcular el volumen del solido formado por la región acotada por las graficas y =4 x − x 2 y = x 2 alrededor de x=2 2

V= 2 π ∫(2−x)(4 x−2 x 2)dx 0 2

V= 2 π ∫( 8 x− 8 x 2− 2 x 3 ) dx 0

32 π V= 3 19. Calcular el volumen del solido formado por la región acotada por las graficas y=8 x=0 alrededor del eje X Como gira en el eje X tenemos que dejar la expresión en funciones de X 8

x=∛ y

1

V =2 π ∫ ( y )( y 3 )dy 0

y= x

3

8

4

V= 2 π ∫ y 3 dy 0

768 π 7

V=

20. Calcular el volumen del solido formado por las graficas alrededor del eje X

x + y =4

y=8

y=0

4

V= 2 π ∫ ( y ) (4− y− y )dy 0 4

V= 2 π ∫(4 y−2 y )dy 2

0

64 π 3

V=

15. Encontrar el volumen del solido generado por la región acortada por las gráficas de las funciones al girar alrededor de la recta Y=4

Y =x ,Y =3 , X=0 Eje de giro: recta y=4 función Y=x : Y=3 Radio de giro: Rx =x+1 :rx=1

∫ π ( x+1 ) +1 2

2

dx=π ∫ x +2 xdx = π 2

0

0

[( )]|

3

3

3

x3 +2 x 3

=18 π

0

17. Encontrar el volumen del solido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones al girar alrededor de la recta y=4

y=

3 , Y =0 , X =0 , X=3 1+x

Eje de giro y=4

Límites de integración :entre 0 y 3

(

Radio de giro : Rx= 4−

3 1+x

)

19

. Encontrar el volumen del solido generado por la región acortada por las gráficas de las funciones al girar alrededor de la recta X=5 Región acotada Y=x , Y=0 , Y=4 , X=5 Función: X=Y Eje de giro X=5 Radio de giro : (5-y) Límites de integración: entre 0 y 4 4

4

[

]| [ 4

]

y3 64 124 5− y ( ) y +25−10 y dy = π −1 dy=π π −5 y 2 +25 y = 20+ = π ∫ ∫ 3 3 3 0 0 0 2

2

2

21 Función: X=y2 ,X= 4 Eje de giro: recta X=5 Radio de giro: Rx(5-y2) , rx(1)

Límites de integración: entre -2 y 2 no está acotada en Y=0

[

2

2

]| ( 2

5

3 y ∫ π ( 5− y ) −1 dx=π ∫ 25+ y −10 y dx =π 24 y+ 5 − 103y −2 −2 2 2

4

2

2

=π

−2

)

416 416 832 π + = 15 15 15

31 Encontrar el volumen del solido generado por la región acotada por las gráficas dela ecuaciones al girar alrededor del eje y. Y=3(2-x) , Y=0 , X=0 Eje de giro: Y=0 función = X =

− y+ 6 3

Radio de giro: 6

(

− y +6 3

)

6

[

]

6

2 2 1 y3 y + 36−12 y 12 y 1 − y +6 2 dy = π + 36 y− = π 72=8 π ∫ π 3 dy =π ∫ 9 2 0 9 3 9 0 0...