Guia 06 Integrales Definidas Area Entre Dos Curvas PDF

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Programa de Ingeniería Biomedica
Unidad Curricular: Matemática II
Lapso académico 2019-I
Profesor: Jaime Morales...

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Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” ´ Area de Ciencia de la salud ´dica Programa de Ingenier´ıa Biome ´tica II Unidad Curricular: Matema ´mico 2019-I Lapso acade Profesor: Jaime Morales

GU´IA DE ESTUDIO VI ´ MATEM ATICA II

Santa Ana de Coro; Junio 2019

´ Aplicaci´ on del TFC a la Geometr´ıa (Areas y Vol´ umenes) ´ 1. Areas entre dos curvas Supongamos que se nos dan dos curvas y = f (x) e y = g(x), como se muestra en la Figura 1, con puntos de interseccion en x = a y x = b y con la primera curva situada por encima de la segunda en el intervalo [a,b]. Al establecer una integral para el a´rea entre estas curvas, es natural usar bandas verticales delgadas como se indica. La altura de una de tales bandas es la distancia f (x) −g(x) desde la curva inferior a la superior en la posicion x, y su base es dx. El elemento de ´area es, por tanto, h i dA = f (x) − g(x) dx, y el a´rea total es A=

Z

dA =

Z bh a

i f (x) − g(x) dx.

Debe se˜ nalarse que a y b son los valores de x para los que las dos funciones toman el mismo valor; es decir son las soluciones de la ecuaci´on f (x) = g(x), y para hallarlos debemos resolver esta ecuaci´ on.

´ entre dos curvas. Figura 1: Area

Este m´etodo se aplica igualmente bien para hallar a´reas usando bandas horizontales delgadas, que a menudo son m´as convenientes. En este caso la anchura de una banda t´ıpica ser´ a dy, y el a´rea total se hallar´ a integrando con respecto a y . Ejemplo 1. Encuentre el ´area de la regi´ on entre x = y 2 y y = x − 2.

Figura 2: La intersecin de x = y2 y y = x − 2. Primero, graficamos estas funciones y encontramos los puntos de corte (v´ ease Figura 2)

y + 2 = x = y2 y2 − y − 2 = 0 (y − 2)(y + 1) = 0 Los puntos de corte son y = −1, 2. Regresando atr´ as se puede encontrar los valores de x asociados, x = 1 y x = 4. As´ı las curvas se encuentran en (1, −1) y (4, 2) (v´ease Figura 3). Hay dos maneras de encontrar el ´area entre estas dos curvas, una manera dif´ıcil y una manera f´acil. Manera dif´ıcil: Rodajas Verticales

Figura 3: Rodajas Verticales. Si nosotros rebanamos la regi´on entre las dos curvas verticalmente, nosotros necesitamos considerar dos regiones diferentes. Cuando x > 1, la regi´ on esta acotada inferiormente por la l´ınea recta. Para x < 1, sin embargo, la regi´ on esta acotada inferiormente por la mitad inferior de la par´ abola. Nosotros encontramos el ´area, A, entre las dos curvas integrando la diferencia entre la curva de arriba y la curva de abajo en cada regi´ on: A=

Z 1h √ 0

√ i x − (− x) dx +

Z

4 1

h√

i

x − (x − 2) dx =

Z h

i yarriba − yaba jo dx

Manera f´ acil: Rodajas Horizontales

Figura 4: Rodajas Horizontales. Aqu´ı, en lugar de substraer la curva de abajo de la curva de arriba, nosotros substraemos la curva de la izquierda de la curva de la derecha.  2 2   Z Z y=2   4 y 8 y 3  1 1 2 = +4− − −2+ (y + 2) − y dy = (xderecha − xizquierda ) dy = + 2y − = 2 2 2 3 −1 3 3 y=−1 =

9 2

2. Vol´ umenes: El m´ etodo de los discos Si la regi´ on bajo una curva y = f (x) entre x = a y x = b gira alrdedor del eje x, genera una figura tridimensional lamada s´olido de revoluci´on.

Figura 5: El m´etodo de los discos. La situaci´ on se ilustra en la Figura 5. En la parte izquierda mostramos la regi´on, junto con una banda vertical delgada t´ıpica de grosor (anchura) dx cuya base esta en el eje x. Cuando la regi´ on gira alrededor del eje x, la banda genera un disco c´ırcular delgado con la forma de una moneda, como se muestra en la parte derecha, con radio y = f (x) y grosor dx. El vol´ umen de este disco es nuestro elemento de vol´umen dV . Dado que el disco es un cilindro, su volumen es claramente el a´rea de la cara circular multiplicada por el grosor, i2

h

2

dV = πy dx = dv = π f (x) dx. Imaginamos ahora que el s´olido de revoluci´ on se llena de un n´ umero muy grandes de discos muy delgados como ´este, de manera que el vol´ umen total es la suma de todos los elementos de vol´ umen cuando nuestro disco t´ıpico recorre todo el s´olido desde la izquierda hasta la derecha, es decir, cuando x aumenta desde a hasta b: V =

Z

dV =

Z

2

πy dx =

Z

b

h

π f (x)

a

i2

dx.

Algunos estudiantes pueden creer que la f´ ormula anterior no puede dar el vol´ umen exacto del s´ olido, porque no tiene en cuenta la peque˜ na “piel” alrededor del disco de la figura 5. Sin embargo, justamente como en el c´ alculo de a´reas, este aparente y ligero error visible en la figura (debido al uso de discos en lugar de rodajas reales) desaparece como consecuencia del proceso de l´ımite que es parte del significado del signo integral. Ejemplo 2. Halle el vol´ umen del s´ olido obtenido al hacer girar sobre el eje x la regi´ on bajo la curva y = a 1.

V =

Z

1

√

2

π( x) dx = π 0

Z

1

x dx  2 1 x = π 2   0 1 = π 2 π = 2 0

√

x de 0

√

Figura 6: Vol´umen obtenido al hacer girar sobre el eje x la regin bajo la curva y = x entre 0 y 1. Ejemplo 3. Encuentre el vol´ umen de una pelota de radio r .

Figura 7: Vol´umen de una esfera de radio r . La ecuaci´ on para la mitad superior del c´ırculo es y=

√

r 2 − x2 .

Si nosotros giramos la parte superior de la curva sobre el eje x, nosotros conseguimos una pelota de radio r. Note que x varia de −r hasta +r. Reuniendo todo esto, nosotros encontramos V =

Z

 r   2 3 πx3  2 3 4 2 = πr − − πr = πr 3 π(r − x ) dx = πr x − πy dx =  3 3 3 3 x=−r −r 2

x=r

Z

2

2

Uno puede a menudo aprovecharse de la simetr´ıa para simplificar este tipo de problemas. En el problema de arriba, por ejemplo, note que la curva es sim´etrica con respecto al eje y. Por consiguiente, V =

Z

r

−r

π(r 2 − x2 ) dx = 2

Z

0

r

r  πx3  2 π(r − x ) dx = 2 πr x − 3 0 2

2

(El ahorro es que cero es un l´ımite inferior m´ as f´acil para trabajar que −r). As´ı, conseguimos la misma respuesta: r    4 πr 3 πx3  3 2 = πr 3 = 2 πr − V = 2 πr x −  3 3 3 0

3. Vol´ umenes: El m´ etodo de la arandela La siguiente peque˜ na variaci´ on del m´etodo de los discos es a menudo u ´ til y es necesaria para muchos problemas. Supongamos que la banda que gira alrededor de un eje est´a separada una cierta distancia de este eje, como se sugiere en la parte izquierda de la Figura 8. En este caso el elemento de volumen generado por la banda es un disco con un agujero en ´el: lo que podr´ıa describirse como una arandela. El vol´ umen de esta arandela es el vol´ umen del disco menos el vol´ umen del agujero,

Figura 8: El mtodo de la arandela.

dV = π(y12 − y22) dx. El vol´ umen total del s´ olido de revoluci”on es, por tanto, V =

Z

dV =

Z

a

b

π(y12 − y 22 ) dx,

donde y1 e y2 , el radio exterior y l radio interior de la arandela, est”an determinadas cpomo funciones de x a partir de las condiciones dadas del problema. Este procedimiento para calcular volumenes se llama naturalmente, el m´etodo de las arandelas. Se aplica a s´ olidos de revoluci´ on que tienes espacios huecos entre ellos. Ejemplo 4. Se hace girar la regi´ on encerrada por las curvas y = x y y = x2 sobre el eje x. Encuentre el vol´ umen del s´ olido resultante.

Figura 9: Vol´umen al girar la regi´on encerrada por las curvas y = x y y = x2 sobre el eje x Las curvas y = x y y = x2 se cortan en los puntos (0, 0) y (1, 1). La regi´ on entre ellos, el s´ olido de revoluci´on, y una secci´ on transversal perpendicular al eje x se muestra en la Figura 9. La secci´ on transversal tiene la forma de una arandela (anillo anular) con radio interno x2 y radio exterior x, asi que nosotros

encontramos el ´area de la secci´ on transversal substrayendo el a´rea del c´ırculo interno del a´rea del c´ırculo exterior:

V =

Z

1 0

h

2

2 2

π (x) − (x )

i

Z

1

(x2 − x4 ) dx  3  x5 1 x − π 3 5  0  1 1 π − 5 3   5−3 π 15   2 π 15 2π 15

dx = π

0

= = = = = 4. Vol´ umenes: El m´ etodo de las c´ a scaras cilndricas

Hay otro m´etodo para hallar vol´ umenes que con frecuencia es m´ as conveniente que los vistos anteriormente.

Figura 10: C´ascara t´ıpica, cortada y aplanada. Para entender este m´etodo, consideremos la regi´ on que se muestra en la Figura 10. Si la regi´ on gira alrededor del eje y entonces la banda vertical delgada de la figura genera una c´ascara cil´ındrica delgada. Podemos considerar que esta c´ ascara parece una lata de jugo cuyas tapas superior e inferior han sido quitadas, o quiz´ as un tubo hecho con cart´ on delgado. Su vol´ umen dV es esencialmente el a´rea de la superficie cil´ındrica interior (2πxy) multiplicada por el grosor de la pared (dx), de modo que dV = 2πxy dx. Cuando el radio x de esta c´ ascara crece desde 0 hasta b vemos en la Figura 1 que la serie resultante de c´ ascaras cil´ındricas lena el s´ olido de revoluci´on desde el eje hacia fuera, de la misma forma en que las capas de crecimiento cil´ındricas del tronco de un a´rbol llenan el tronco desde el eje hacia fuera. El vol´ umen total de este s´ olido es, por tanto, la suma (o la integral) de los elementos de vol´ umen dV , V =

Z

dV =

Z

2πxy dx =

Z

b

2πxf (x) dx,

a

dado que y = f (x). Este tipo de razonamiento ser´ a u´til en otras situaciones, como cuando se hace rotaci´ on sobre l´ıneas que no son el eje y .

Ejemplo 5. Encuentre el vol´ umen del s´ olido obtenido al girar sobre el eje y la regi´on entre y = x y y = x2 . La regi´ on y una c´ ascara t´ıpica se muestran en la Figura 11. Nosotros vemos que la c´ a scara tiene radio x, circunferencia 2πx, y altura x − x2 . As´ı que el vol´ umen es

V =

Z

1 0

= = = = =

Z

1

x2 − x3 dx 0  3 1 x x4 2π − 4 3   0 1 1 2π − 3 4   4−3 2π 12   1 2π 12 π 6

(2πx)(x − x2 ) dx = 2π

Figura 11: Vol´umen al girar sobre el eje y la regi´on limitada por y = x y y = x2 . Como muestra el ejemplo siguiente, el m´etodo de la c´ascara trabaja bien si nosotros giramos sobre el eje x. Nosotros simplemente tenemos que dibujar un diagrama para identificar el radio y altura de una cscara. Ejemplo 6. Use las c´ ascaras umen del s´ olido obtenido al girar sobre eje x la regi´ on √ cil´ındricas para encontrar el vol´ bajo la curva y = x de 0 a 1.

√

Figura 12: Vol´umen obtenido al girar alrededor del eje x la regi´on bajo la curva y = x entre 0 y 1.

Este problema se resolvi´ o usando discos en el Ejemplo 2. Para usar las cscaras nosotros expresamos la curva (en la figura en ese ejemplo) como x = y 2 en la Figura 12. Para la rotaci´ on sobre el eje x nosotros vemos que una cscara t´ıpica tiene radio y, circunferencia 2πy, y la altura 1 − y 2 . As´ı que el vol´ umen es

V =

Z

0

1

= = = = = =

Z

1

y − y 3 dy 0 2 1 y y4 2π − 4 2  0  1 1 − 2π 2 4   4−2 2π 8   2 2π 8   1 2π 4 π 2

(2πy)(1 − y 2 ) dy = 2π

En este problema el m´ etodo del disco era m´ as simple. Ejemplo 7. Encuentre el vol´ umen del s´ olido obtenido al rotar la regi´on limitada por y = x − x2 y y = 0 sobre la l´ınea x = 2. La Figura 13 muestra la regi´ on y una c´ ascara cil´ındrica formada por la rotaci´ on sobre la l´ınea x = 2. Esta tiene radio 2 − x, circunferencia 2π(2 − x), y altura x − x2 .

Figura 13: Vol´umen obtenido al rotar la regi´on limitada por y = x − x2 y y = 0 sobre la recta x = 2. El vol´ umen del s´ olido dado es

V =

Z

1 2

0

2π(2 − x)(x − x ) dx = 2π

= = = =

1

Z0 1

(2x − 2x2 − x2 + x3 ) dx

(2x − 3x2 + x3 ) dx 0 1  2 3x3 x4 2x − + 2π 4 0 2 3   4 1 x 2π x2 − x3 + 4  0  1 2π 1 − 1 + 4   1 2π 4 π 2

= 2π =

Z

Ejercicios Propuestos: Resolver los siguientes problemas de acuerdo a lo explicado en la gu´ıa V I

´ Area entre dos curvas 1. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = x2 y g(x) = x + 3 en el eje x. 2. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = x2 y g(x) = x + 2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 4 en el eje x. 3. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = x2 − 4x + 3 y g(x) = −x2 + 2x + 3 en el eje x. 4. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = x2 − 3x + 3 y g(x) = −x2 + 4x + 3 en el intervalo 0 ≤ x ≤ 5 en el eje x. 5. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = x2 − 2x y g(x) = 12 − x2 en el eje x. √ 6. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = x + 4 ; g(x) = −2x + 4 y h(x) = 3x − 5 en el eje x. 7. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = 4x − x2 ; g(x) = 4x y h(x) = −4x + 16 en el eje x. 8. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = sen(x) + 2 ; g(x) = cos(x) + 1 en el intervalo 3π en el eje x. o≤x≤ 2 9. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = ln(x) + 2 ; g(x) = x en el intervalo el eje x.

1 4

≤ x ≤ 3 en

10. Calcular el a´rea, encerrada por las curvasf (x) = |x − 4| y g(x) = 4 en el eje x. 11. Calcular el a´rea, encerrada por las curvasf (x) = |x + 3| − 1 y g(x) = 3 en el eje x. 12. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas f (x) = x2 y g(x) = 3 − 2x en el eje x y el eje y 13. Calcular el a´rea, encerrada por las curvas y = x − 1 y x = 3 − y 2 en el eje x y el eje y

Vol´ umen m´ etodo del disco 1. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = x y la recta x = 2, al girar alrededor del eje x.

√

x el eje

2. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = 4x − x2 y el eje x en el intervalo 1 ≤ x ≤ 3, al girar alrededor del eje x. 3. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = sen(x) y el eje x en el intervalo 0 ≤ x ≤ π, al girar alrededor del eje x. 4. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = |x − 3| y el eje x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 7, al girar alrededor del eje x. 5. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = |x − 3| y el eje x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 7, al girar alrededor del eje x.

6. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = |x − 4| + 2 y el eje x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 8, al girar alrededor del eje x. 7. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = ln |x| + 1 y el eje x en el intervalo 1 ≤ x ≤ 5, al girar alrededor del eje x. 8. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = 3 − x2 y y = −1, al girar alrededor de y = −1. 9. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = 5 − x2 y y = 1, al girar alrededor de y = 1. 10. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por f (x) = |x − 4| y y = 4, al girar alrededor de y = 4. √ 3 11. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´on encerrada por f (x) = x2 + 1 y y = 5, al girar alrededor del eje y donde x > 0.

Vol´ umen m´ etodo de la arandela 1. Calcular el v´ olumen del s´ olido de revoluci´on generado por la regi´on encerrada por las curvas f (x) = √ x y g(x) = x2 al girar alrededor del eje x. 2. Calcular el v´ olumen del s´ olido de revoluci´on generado por la regi´on encerrada por las curvas f (x) = x3 y g(x) = 1 al girar alrededor del eje x. 3. √ Calcular el v´ olumen del s´ olido de revoluci´on generado por la regi´on encerrada por las curvas f (x) = x − 3 y g(x) = x − 5 al girar alrededor del eje x. 4. Calcular el v´ olumen del s´ olido de revoluci´on generado por la regi´on encerrada por las curvas f (x) = 2 x + 1 y g(x) = x + 3 al girar alrededor del eje x. 5. √ Calcular el v´ olumen del s´ olido de revoluci´on generado por la regi´on encerrada por las curvas f (x) = x y g(x) = x3 al girar alrededor de la recta y = −1. 6. Calcular el v´ olumen del s´ olido de revoluci´on generado por la regi´on encerrada por las curvas f (x) = √ x y g(x) = x3 al girar alrededor de la recta y = 2.

Vol´ umen m´ etodo de capas 1. Calcular el v´ olumen del s´olido de revoluci´ on generado por la regi´ on encerrada por las curvas y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la recta vertical x = 3 al girar alrededpr del eje y . 2. Calcular el v´ olumen del s´ olido de revoluci´on generado por la regi´on encerrada por las curvas f (x) = −x2 + 4x − 3 y g(x) = x3 − 6x2 + 12x − 5en el intervalo 1 ≤ x ≤ 3 al girar alrededpr del eje y . 3. Calcular el v´ olumen del s´ olido de revoluci´ on generado por la regi´on por la regin encerrada por las curvas y = x2 y la recta vertical x = 3 al girar alrededpr del eje y . 4. Calcular el vol´ umen del s´ olido de revoluci´ on generado por√el giro alrededor del eje y de la regi´on encerrada por la curva y = sen(x2 ) en el intervalo 1 ≤ x ≤ π

Problema de demostraci´ on 1. Verificar que el volumen de un cono recto de radio r y altura h es V = 31 π.r 2 .h

Figura 14: Cono Recto 2. Verificar que el volumen de un cilindro de radio r y altura h es V = π.r2 .h

Figura 15: Cilindro 3. Verificar el vol´ umen de un cono truncado de radio mayor R = 4 m y radio menor r = 2 m con una altura h = 6 m h.π 2 Si V = (R + r 2 + R.r) 3 Comprobar el resultado utilizando el m´etodo del disco

Figura 16: Cono truncado

Referencia Bibliogr´ afica Edwards, C. H.& Penny, D. E., (1996). C´alculo con Geometra Anal´ıtica (4ta ed). Pearson Educaci´ on, Venezuela. Saenz, J., (2009). C´alculo Integral (2da ed). Hipotenusa, Venezuela....