Guía 1 - Modelamiento Matemático PDF

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Modelamiento Matemático...

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C´ alculo I 2020-1 Gu´ıa 1 1. Un comerciante de ganado compr´o 1000 reses a $150 d´olares cada una. Vendi´o 400 de ellas ´ desea construir un modelo que le permita obteniendo una ganancia del 25 % por cada una. El analizar el precio al cual deber´a vender las restantes 600 reses dependiendo de la ganancia total que desea obtener. Determine: a) El objetivo del modelo. b) La variables del modelo. c) Restricciones de las variables y ecuaci´on(es) del modelo. d ) ¿A qu´e precio deber´ a vender las restantes 600 reses si la utilidad total ha de ser del 30 % de la inversi´on inicial? 2. Se desean invertir $70000 d´ olares. Se tienen dos fondos de inversi´on disponibles: fondos del gobierno a un 6 % anual o en fondos hipotecarios con un riesgo mayor a una tasa del 8.5 % anual. Construya un modelo que le permita responder a la pregunta general: ¿c´omo deber´ıa invertirse el dinero en los dos fondos, de tal manera que minimice el riesgo de inversi´ on? y util´ıcelo para responder a la pregunta ¿c´ omo deber´ıa invertirse el dinero en los dos fondos, de tal manera que minimice el riesgo de inversi´ on y se obtenga un ingreso anual de $5000 d´ olares? 3. Una empresa que fabrica radios tiene costos fijos de $3000 d´olares a la semana y el costo de mano de obra y del material es de $15 d´ olares por radio. Construya un modelo que le permita analizar las utilidades de la empresa si el precio de cada radio se fija en $25 d´olares. ¿cu´antas radios m´ınimo debe vender a la semana para que no tenga p´erdidas? 4. Un alambre de 20 cm de largo se corta en dos trozos, para formar con uno un cuadrado y con el otro un c´ırculo. Construya un modelo que permita obtener el ´area total encerrada por las dos figuras que se forman. 5. Una caja en forma de un cilindro circular recto sin tapa, tiene un ´area superficial total de 1500cm2 . Construya un modelo que le permita analizar el volumen de la caja, si usted puede controlar el radio de la base.

6. Se desea construir una cisterna de modo que su capacidad sea de 300 m3 c´ ubicos de agua. La cisterna tiene como base un cuadrado y cuatro caras verticales, todas hechas de concreto y una tapa de acero. Si el concreto tiene un costo de $4500 pesos el metro cuadrado y el acero de $13500 pesos el metro cuadrado, construya un modelo que le permita analizar el costo de construcci´ o n de la cisterna suponiendo que usted puede controlar las dimensiones de la base.

7. Un edificio de departamentos tiene 70 habitaciones que puede arrendar en su totalidad si la renta se fija en 350 mil pesos al mes. Por cada incremento de 50 mil pesos en el arriendo, una habitaci´ o n quedar´ a vac´ıa sin posibilidad de ser arrendada nuevamente. Construya un modelo que describa el ingreso mensual, si su variable de decisi´on (variable independiente) es a) El n´ umero de incrementos de 50 mil pesos. b) La cantidad de habitaciones vac´ıas. c) El arriendo mensual. 8. Una f´ abrica de aspiradoras tiene gastos semanales de $1.247.750 pesos y por cada 5 aspiradoras que produce gasta $105.000 pesos. a) Construya un modelo que le permita analizar la cantidad de dinero que gasta la empresa a la semana. b) ¿Cu´ anto dinero debe gastar si desea producir 175 aspiradoras a la semana? c) Si su presupuesto semanal es de $2,500,000 pesos ¿cu´al ser´a el n´ umero m´ aximo de aspiradoras que podr´ a producir semanalmente? 9. Motores Atlas compra bandas para el ventilador de su autom´ ovil Atlas al precio de $2.5 d´ olares cada una. El administrador est´ a considerando fabricar sus propias bandas con costos fijos de $6000 d´olares al a˜ no y un costo variable de $1.3 d´ olares por banda. ¿Cu´antas bandas deber´ a requerir al a˜ no para justificar su fabricaci´ on en lugar de su compra? 10. El administrador de cierta empresa no invierte dinero en fabricar un nuevo producto a menos que reciba un 15 % de r´edito (Cantidad de dinero que produce peri´odicamente un capital) de sus costos fijos. La empresa puede vender todo lo que produce a un precio de $10 d´olares por unidad. El costo variable por unidad es de $6 d´ olares y los costos fijos son de $40.000 d´ olares. ¿Cu´ antas unidades deber´ a producir y vender de modo que obtenga el r´edito requerido? 11. La ecuaci´ on de demanda para la l´ınea de computadores de una compa˜ n´ıa es p = 2400 − 6q , donde p es el precio (en d´olares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (semanales). Determine un modelo que permita estimar el ingreso total del fabricante. ¿Es posible tener un ingreso total de 250000? 12. Suponga que la producci´ on P de un art´ıculo se relaciona linealmente con la cantidad I de dinero invertido. Si se invierten $1000 d´olares se producen 300 art´ıculos y si se invierten $3500 d´ olares se producen 1050 art´ıculos. a) Determine la ecuaci´on que relaciona las variables P e I . b) Si se invierten $500 d´ olares ¿cu´antos art´ıculos se producen? 13. El costo variable de procesar un kilo de granos de caf´e es de 50 centavos de d´ olar y los costos fijos por d´ıa son $300 d´ olares. Si se supone un modelo lineal de costos: a) Determine la ecuaci´on que relaciona el costo total diario con la cantidad de kilos procesdos al d´ıa. b) Si el costo diario no puede superar los $550 d´olares ¿cu´ antos kilos de granos de caf´e, a lo m´ as se podr´ an procesar por d´ıa?

14. Una compa˜ n´ıa fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer tipo requiere 2 horas-m´ aquina y cada unidad del segundo requiere 5 horas-m´aquina. Si hay disponibles 280 horas-m´ aquinas cada semana, las cuales se deben utilizar completamente para la producci´on. a) Si x unidades del primer tipo e y unidades del segundo tipo se fabrican cada semana, encuentre la relaci´ o n entre x e y si se emplean todas las horas-m´ aquina disponibles. b) ¿Cu´ al es la pendiente de la ecuaci´ on de la parte a)? ¿Qu´e representa? c) ¿Cu´ antas unidades del primer tipo pueden fabricarse si se producen 40 unidades del segundo en una semana? 15. La tienda El Mayorista tiene 650 unidades del art´ıculo A en bodega y su promedio de ventas por d´ıa de ese art´ıculo es de 25 unidades. a) Si y representa el inventario (de art´ıculos A en bodega) al tiempo t (medido en d´ıas), determine la relaci´on lineal entre y y t. b) ¿Cu´ ando llegar´ a a vaciarse la bodega? c) ¿En cu´ antos d´ıas deber´ an hacer un nuevo pedido si han decidido hacerlo cuando el nivel de la bodega sea de 125 unidades? 16. Si el costo total diario C (en d´olares) de producir x unidades de un art´ıculo est´ a dado por: C = 2,5x + 300. a) Si cada art´ıculo se vende a $4 (d´olares) ¿cu´al es el punto de equilibrio? b) Si el precio de venta se incrementa a $5 por art´ıculo ¿cu´ al es el nuevo punto de equilibrio? c) Si se sabe que al menos 150 art´ıculos se pueden vender al d´ıa ¿qu´e precio deber´a fijarse con el objeto de garantizar que no haya p´erdidas? 17. El gobierno de una ciudad tiene un presupuesto de $200 millones para gasto de transporte, e intenta utilizarlos para construir otras l´ıneas de metro o carreteras. Si cuesta $2.5 millones construir 1 kil´ometro de carretera y $4 millones construir 1 kil´ ometro de l´ınea subterranea para el metro. Encuentre la relaci´ on entre el n´ umero de kil´ometros de carretera y de l´ınea subterranea que pueden construirse usando la totalidad del presupuesto. Interprete la pendiente de la relaci´on lineal que se obtiene. 18. Determine la pendiente y la intersecci´ on con el eje Y (la ordenada al origen) de cada una de las relaciones lineales siguientes: a) 3x − 2y = 6

b) y − 2x + 3 = 0

c) 2y − 3 = 0

19. A una compa˜ n´ıa le cuesta $75 d´olares producir 10 unidades de cierto art´ıculo al d´ıa y $120 producir 25 unidades del mismo art´ıculo al d´ıa. a) Determine la funci´on costo de producci´ on, suponiendo que es lineal. b) ¿Cu´ al es el costo de producir 20 art´ıculos? c) ¿Cu´ ales son los costos fijos y el costo unitario? d ) Si se sabe que a lo m´ as se pueden producir 250 art´ıculos por d´ıa, determine el rango en que var´ıa el costo de produci´ on.

20. El costo variable de producir cierto art´ıculo es de 90 centavos de d´olar por unidad y los costos fijos son de $240 d´ o lares al d´ıa. El art´ıculo se vende a $1.2 d´olares cada uno. ¿Cu´antos art´ıculos deber´ a producir y vender para garantizar que no haya perdidas ni ganancias? 21. Un fabricante produce art´ıculos a un costo variable de $0.85 d´ olares cada uno y los costos fijos son de $280 d´olares al d´ıa. a) Si cada art´ıculo puede venderse a $1.1 d´olares, determine el punto de equilibrio. b) Si el fabricante adquiere una nueva m´ aquina (a cr´edito) que baja el costo variable a $0.7 d´ olares pero incrementando los costos diarios a $350 d´ olares debido al cargo por intereses de la compra, ¿es ventajoso hacerlo? 22. A un precio de $50 d´ olares la tonelada, la demanda de cierto art´ıculo es de 4.500 toneldas, mientras que la oferta es de 3.300 toneladas. Si el precio se incrementa en $10 d´ olares por tonelada, la demanda y la oferta ser´an de 4.400 y 4.200 toneladas, respectivamente. a) Suponiendo linealidad, determine las leyes de oferta y demanda. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. 23. Un distribuidor de autom´oviles tiene costos fijos de $110.000 d´olares al a˜ no (cubriendo salarios,equipo, intereses, alquiler, etc). El distribuidor le compra al fabricante 500 autom´ oviles al a˜ no a un precio de $8.500 d´olares cada uno. Estos autom´oviles se venden al p´ u blico al precio de $10.000 d´olares de los cuales $500 d´olares es la comisi´on del vendedor. En las u ´ ltimas dos semanas del a˜ no, a todos los autom´ oviles que no han sido vendidos se les reduce el precio a $8.500 d´ olares, de los cuales $300 d´ olares son para el vendedor. a) Construye una expresi´ on para U , las utilidades anuales del distribuidor, en t´erminos de n, el n´ umero de autom´oviles vendidos al precio completo durante el a˜ no. Suponga que todos los autom´ oviles restantes se venden en la oferta de fin de a˜ no. b) ¿Cu´ al es el valor de equilibrio para n? c) Suponiendo que se invietieron $1.300.000 en el negocio, ¿cu´al es el valor de n que corresponde a una ganancia del 20 % sobre la inversi´ on? 24. Determine los v´ertices y el intervalo de crecimiento de las siguientes par´abolas a) y = 2x2 − 3

b) y = x2 + 2x + 2

c) y = 2 − x − 2x2

25. Un distribuidor de licores compra whiskey a $2 d´ olares la botella y la vende a $p d´ olares. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas a la semana) est´o dado por x = 24 − 2p, cuando el precio es p. a) ¿Qu´e precio p se debe fijar para obtener ingresos totales de $7 millones a la semana? b) ¿Qu´e precio p se debe fijar para que el distribuidor obtenga una utilidad semanal de $4.8 millones de d´olares? 26. Un peluquero en Miami atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobr´ andoles $4 d´olares por corte. Por cada incremento de 50 centavos en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qu´e precio m´ aximo deber´a fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520 d´ olares?

RESPUESTAS 1.

a) Objetivo del modelo: Analizar el precio de venta de las 600 reses para obtener una ganancia total deseada. b) Variable independiente G (Ganancia total por la venta de las 1000 reses). Variable dependiente p (precio de venta de las restantes 600 reses). G + 75000 c) Ecuaci´ on del modelo: p = 600 Restricciones de las variables: G > 15000, p > 150. d ) p = 200

2. Variable independiente x (Dinero invertido en fondos del gobierno). Variable dependiente I(Ingreso Total recibido por los dos tipos de fondos). Ecuaci´ on del modelo: I = 5950 − 0,025x. Restricci´on: 35000 ≤ x ≤ 70000, 4200 ≤ I ≤ 5075. Se deben invertir $38 mil d´ olares en fondos del gobierno y $32 mil en fondos hipotecarios. 3. Variable independiente x (cantidad de radios vendidos a la semana). Variable dependiente U (Utilidad por las ventas semanales de radios). Ecuaci´ on del modelo: U = 10x − 3000. Restricci´on: x ∈ N. M´ınimo 300 radios. 4. Variable independiente x (longitud de alambre utilizado para formar el cuadrado). Variable dependiente A (´area total de las dos figuras). x2 (20 − x)2 . Restricci´ on: 0 < x < 20 + Ecuaci´ on del modelo: A = 4π 16 5. Variable independiente r (radio basal). Variable dependiente V (volumen de la caja cil´ındrica). r 1500 2 Ecuaci´ on del modelo: V = r(1500 − πr ). Restricci´ on: 0 < r < π 6. Variable independiente x (dimensi´on de la base). Variable dependiente C (costo de construcci´ on).   1200 2 + 13500x2 . Restricci´on: 0 < x Ecuaci´ on del modelo: C = 4500 x + x 7.

a) Variable independiente N (n´ umero de incrementos). Variable dependiente I (ingreso mensual en miles). Ecuaci´ on del modelo: I = 50(N + 7)(70 − N ). Restricci´ on: 0 ≤ N ≤ 70 b) Variable independiente Q (cantidad de habitaciones vac´ıas). Variable dependiente I (ingreso mensual en miles). Ecuaci´ on del modelo: I = (50Q + 350)(70 − Q). Restricci´ on: 0 ≤ Q ≤ 70 c) Variable independiente p (precio de arriendo mensual). Variable dependiente I (ingreso mensual en miles).  p Ecuaci´ on del modelo: I = p 77 − . Restricci´ on: 0 < p < 3850 50

8.

a) Variable independiente x (n´ umero de aspiradoras producidas semanalmente). Variable dependiente G (gasto semanal). Ecuaci´ on del modelo: G = 21000x + 1247750. Restricci´ on: 0 ≤ x. b) $4922750. c) Puede producir un m´ aximo de 59 aspiradoras.

9. La producci´ on se justifica si el n´ umero de bandas producidas no supera las 5000 unidades. 10. 21500.   11. I = (2400 − 6q)q, 0 ≤ q ≤ 400 o I = p 400 − p6 , 0 ≤ p ≤ 2400. No es posible ya que el m´ aximo ingreso posible es $240000. 12.

a) P =

3 I, 10

I ≥ 0.

b) Se producen 150 art´ıculos. 13.

a) C = 12 x + 300, x ≥ 0. b) Se pueden procesar a lo m´ as 500 kilos de granos de caf´e.

14.

a) 2x + 5y = 280. on de b) m = − 25 , indica que cada incremento de 5 unidades de x resultan en una disminuci´ 2 dos unidades de y (o equivalentemente que por cada disminuci´on de 2 unidades de y hay un aumento de 5 unidades de 5). c) 40.

15.

a) y = 650 − 25t, 0 ≤ t ≤ 26. b) 26 d´ıas. c) Al t´ermino del vig´esimo primer d´ıa.

16.

a) x = 200. b) x = 120 c) Al menos 4,5 d´ olares.

17. 2,5x + 4y = 200. 18.

on: −3. a) Pendiente: 32 . Intersecci´ b) Pendiente: 2. Intersecci´on: −3. c) Pendiente: 0. Intersecci´on:

19.

3 . 2

a) y = 3x + 45. b) $105. c) $3 y $45. d ) 45 ≤ y ≤ 795.

20. 800. 21.

a) Punto de equilibrio: (1120, 1232). Para estar en equilibrio debe producir y vender 1120 art´ıculos.

b) S´ı, porque tendr´ıa que vender menos art´ıculos a fin de lograr el equilibrio. 22.

a) S : 90p = x + 1200. D : 10p + x = 5000. b) x = 438, p = 62 d´ olares.

23.

a) p = 1300n − 260000. b) n = 200. c) n = 400.

24.

a) V´ertice: (0, −3). Intervalo de crecimiento: [0, ∞[. b) V´ertice: (−1, 1). Intervalo de crecimiento: [−1, ∞[. c) V´ertice: (− 14 , 17 ). Intervalo de crecimiento: ] − ∞, − 14 [. 8

25.

a) Hay dos posibilidades: $7 o $5 d´olares. b) Hay dos posibilidades: $6 u $8 d´ olares.

26. $6,5 d´ olares....