Guia 2-Regresion Lineal Simple- Solucion PDF

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Gu ́ıa 2Modelo Regresi ́on Lineal simpleEconometr ́ıa-1er Semestre, 2022April 18, 2022Ejercicio 1. Para el modelo de regresi ́on simple dado poryi=β 0 +β 1 xi+uise tienen las siguientes medias muestrales (N=100).∑y i n = 0. 3065∑y 2 i n = 16. 003∑x i ∑ n =− 0. 0985 x 2 i n = 25. 2693∑x iyi n = 15. 4...

Description

Gu´ıa 2 Modelo Regresi´on Lineal simple Econometr´ıa-1er Semestre, 2022 April 18, 2022 Ejercicio 1. Para el modelo de regresi´on simple dado por yi = β0 + β1 xi + ui se tienen las siguientes medias muestrales (N=100). P

yi = n P 2 xi = Pn 2 2 y i /xi n

P

0.3065 25.2693 = 0.5951

y 2i = 16.003 n P xi yi = 15.4195 P n4 xi = 25.2693 n

P

xi = n P yi /xi n

−0.0985 = 0.5646

a) Obtener la estimaci´on MCO de β1 y su desviaci´on est´andar cuando se cumplen los supuestos habituales. ´ SOLUCION:

SE(βb1 ) = =

=

q

βb1 =

P

xi y i −xy PN 2 x i −x2 N

q

=

15.4195−(−0.0985)·0.3065 25.2693−(−0.0985)2

SCR/(N −2) P 2 xi /N−x2

q

P

σ b2 x2i /N−x2

P

P c2 ( x2i /N−x2 )/(N −2) yi2 /N−y 2 −β P1 2 xi /N−x2

r

q

=

=

= 0.6116

(1)

(SCT −SC E)/(N −2) P 2 xi /N−x2

(16.003−0.30652 −0.61162 ∗(25.2693−(−0.0985)2 )/(100−2) 25.2693−(−0.0985)2

(2) =

√

0.0026 = 0.0510

b) Si la varianza del t´ermino de perturbaci´on ui fuese conocida y tal que σ 2 = 0.25, cu´al ser´ıa la verdadera desviaci´on est´andar del estimador MCO? Interprete. ´ SOLUCION: q q √ 2 0.25 P 2σ SE(βb1 ) = = 0.0099 = 0.0995 = (3) 25.2693−(−0.0985)2 x /N −x2 i

En este caso la estimaci´on de la varianza del estimador βb1 es menor que la verdadera varianza del estimador si la varianza del error es 0.25.

Ejercicio 2. Se ha estimado el modelo yi = β0 + β1 xi + ui y para medir la bondad de ajuste, se ha calculado el R2 y se ha obtenido un valor igual a −1.74 ¿A qu´e se debe este resultado? ´ El coeficiente de determinaci´on nunca puede ser negativo, siempre est´a entre SOLUCION: 0 y 1. Por tanto, si el c´alculo de R2 resulta -1.74 debe haberse cometido alg´ un error durante su c´ alculo. 1

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Ejercicio 3. Para estimar el modelo yi = β0 + β1 xi + ui se dispone de dos muestras, A y B. Justifica para cada uno de los siguientes casos, qu´e muestra ser´ıa m´ as deseable: a) La u ´nica diferencia entre las muestras es que el n´ umero de observaciones de la muestra A es menor que el de la muestra B ´ SOLUCION: Hemos visto en clase que cuanto mayor es la muestra menor es el error est´ andar del estimador, con lo que las estimaciones son m´as precisas. Por lo tanto, se prefiere la muestra B que tiene mayor n´ umero de observaciones. b) La u ´nica diferencia entre ambas muestras es que la varianza de la variable x en la muestra A es menor que la varianza de la variable x en la muestra B. La cantidad de observaciones entre ambas muestras es la misma. ´ SOLUCION: Hemos visto en clase que cuanto mayor es la varianza de la variable explicativa x menor es el error est´andar del estimador, con lo que las estimaciones son m´ as precisas. Por lo tanto, se prefiere la muestra B en la que la varianza de la variable x es mayor. Ejercicio 4. Los siguientes sumatorios se obtienen a partir de 16 observaciones de las variables x e y. P

P

yi = 64 x2i = 657

P

P

yi2 = 526 xi yi = 492

P

xi = 96

a) Calcula los numeradores de la varianza de y, de x y la covarianza entre x e y. ´ Numerador de la varainza de y: SOLUCION: X

yi2 − N y 2 = 526 − 16 ∗

642 = 270 162

Numerador de la varainza de x: X x2i − N x2 = 657 − 962 /16 = 81 Numerador de la covarainza entre x e y: X yi xi − N xy = 492 − 64 ∗ 96/16 = 108 b) Encuentra las estimaciones MCO de la regresi´on yi = β0 + β1 xi + ui ´ SOLUCION: Estimaci´on MCO de β1 :

Estimaci´on MCO de β0 :

P 108 yi xi − N xy b β1 = P 2 = 1.3333 2 = 81 xi − N x

βb0 = y − βb1 x = 64/16 − 1.3333 ∗ 96/16 = −3.9998

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Econometr´ıa c) Calcula el R2 y comenta los resultados. ´ SOLUCION: R2 =

P 2 SCE 1.33332 ∗ 81 βb ∗ ( x2 − N x2 ) = 0.5333 = = 1 P 2 i 270 SCT yi − N y 2

En la muestra, la variabilidad de la variable x explica el 53.33% de la variabilidad de la variable y Ejercicio 5. La direcci´on de una empresa quiere estudiar la rentabilidad de su inversi´ on en publicidad. Para ello ha recogido datos del volumen de ventas y del gasto en publicidad referidos a los a˜ nos noventa, en miles de d´olares A˜ no

Ventas

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

50 100 150 200 200 300 400 500 650 700

gasto publicidad 10 15 18 20 25 35 50 55 60 65

a) Especifique y estime el modelo lineal que explique las ventas de la empresa en funci´ on de la inversi´ on publicitaria. Interpreta los par´ametros estimados. Comprueba que la media de los residuos es nula ´ SOLUCION: Modelo que explica las ventas de la empresa en funci´on de la inversi´on publicitaria: V entas = β0 + β1 GastoP ublicidad + u Estimaci´on del modelo a partir de la muestra: V\ entas = −61.49 + 10.95GastoP ublicidad Interpretaci´on de los par´ametros: Si se invierte mil d´olares m´ as en publicidad en una a˜ no se espera que las ventas aumenten en 10.95 miles de d´olares. Si la inversi´on en publicidad fuera cero, el volumen de ventas ser´ıa de -61.49 miles de d´ olares, lo cual no tiene sentido el valor obtenido.

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b) En el a˜ no 2001, la empresa va a invertir U 400.000 en publicidad. Calcule el volumen de ventas esperado. ´ SOLUCION: El volumen de ventas esperado para el a˜ no 2001 es de V\ entas = −61.49 + 10.95 ∗ 400 = 4318.5 miles de d´olares c) Calcula el R2 . ´ SOLUCION: R2 =

SCR 17150, 15443 SCE = 0, 9636 = 1− = 1− 471250 SCT SCT

La variabilidad del gasto en publicidad explica el 96.36 Ejercicio 6. Dado el modelo yi = β0 + β1 xi + ui y realizada su estimaci´on por m´ınimos cuadrados ordinarios para una muestra de 6 observaciones, se obtiene el siguiente vector de residuos para cada observaci´on. Observaci´ on

X

1 2 3 4 5 6

2 3 4 2 1 2

u bi

-1 3 ? -2 -1 ?

A partir de esta informaci´on, recupere los datos desconocidos en la tabla anterior. De las propiedades del estimador MCO sabemos que: N X i=1

ubi = 0 y

N X i=1

xi ubi = 0

Denotemos por a el valor de u b3 y por b el valor de u b6 . Aplicando estas propiedades obtenemos N X i=1

ubi = −1 + a + b = 0 y

N X i=1

xi ubi = 2 + 4a + 2b = 0

Lo que nos queda un sistema de dos ecuaciones y 2 inc´ ognitas que resolvemos: a = −2 y b = 3. Ejercicio 7. Un investigador cree que la verdadera relaci´ on entre dos variables est´ a dada por la ecuaci´ on yi = β0 + β1 xi + ui Dada una muestra de N observaciones, el investigador estima β1 como la media de Y dividida por la media de X. Discuta las propiedades de este estimador. Ejercicio 8. De los siguientes modelos, ¿cu´ales son lineales?

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a) y = βsen(x) + u SOLUCION Lineal con respecto a los coeficientes b) y = β1 sen(β2 x) + u SOLUCION No lineal con respecto a los coeficientes: El coeficiente β2 dentro de la funci´ on seno c) y = β0 + β1 2x1 x22 + uSOLUCION Lineal con respecto a los coeficientes d) y = β0 + β13x1 + u SOLUCION No lineal con respecto a los coeficientes: β1 est´ a elevado al cubo. Ejercicio 9. La siguiente tabla contiene los resultados de la prueba de aptitud para el acceso a la universidad en Estados Unidos (ACT) y la nota media en la universidad (GPA) de 8 estudiantes universitarios: GPA

ACT

2.8 3.4 3 3.5 3.6 3 2.7 3.7

21 24 26 27 29 25 25 30

a) Estime los par´ametros del modelo GP A = β0 + β1 ACT + u y presente los resultados en forma de ecuaci´on. SOLUCION Estimemos los coeficientes por MCO: PN (xi − x)(yi − y) 5.8125 ˆ β1 = i=1 = = 0.1022 PN 2 56.8750 i=1 (xi − x) βˆ0 = y − βˆ1 x = 3.2125 − 0.1002 ∗ 25.875 = 0.5681 [ El modelo estimado es: GP A = 0.5681 + 0.1022ACT

b) El t´ermino constante, ¿ se presta a interpretaci´on en este caso? Explique la respuesta. ´ Seg´ un el modelo estimado, si una persona obtiene un cero en la prueba SOLUCION de acceso a la universidad se estima que tendr´ a 0.5681 puntos en la nota media de la universidad. Pero esto no tiene sentido, ya que si una persona obtiene un cero en la prueba de acceso esa persona no puede acceder a la universidad y por lo tanto, no se le podr´ a calcular la nota media en la universidad. c) ¿ En cu´ anto se predice que aumente la nota media en la universidad si el resultado del test de aptitud aumenta en 1 punto?¿ Y si aumenta en 5 puntos? SOLUCION Si el resultado del test de aptitud aumenta en 1 punto se espera que la nota media en la universidad aumente en 0.1022 puntos. Si el resultado del test de aptitud aumentase en 5 puntos se espera que la nota media en la universidad aumente en 5X0.10222=0.5111 puntos.

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d) Calcule los valores ajustados y los residuos para cada observaci´on y compruebe que la suma de los residuos es cero e) ¿ Qu´e valor predice el modelo para la nota media de los individuos que han obtenido 20 puntos en el test de aptitud? SOLUCION Si una persona obtiene 20 puntos en el test de aptitud el modelo predice que obtendr´a 2.6121 puntos de nota media en la universidad. f) ¿ Qu´e proporci´on de la variaci´on de GPA de estos 8 estudiantes se explica por ACT? SOLUCION SCE 0.594 R2 = = 0.5774 = 1.0288 SCT La nota del test de acceso a la universidad explica el 57.74% de la variabilidad de la nota media en la universidad. Ejercicio 10. La altura de una persona desde su infancia a la adolescencia sigue una regla lineal. La tabla siguiente muestra las alturas estimadas adem´ a s de los residuos de un grupo de 6 personas entre 36 y 60 meses de edad: Edad (meses)

Altura estimada (cm)

ui (residuos)

36 48 51 54 57 60

85.75 90.35 91.5 92.65 93.8 94.95

0.25 -0.35 -0.5 0.35 0.2 0.05

a) Estime los par´ametros del modelo alt = β0 + β1 edad + u y presente los resultados en forma de ecuaci´on. SOLUCION Sabemos que βˆ1 es la pendiente de la recta de regresi´on, y la pendiente la podemos calcular a partir de los valores estimados (considero los dos primeros valores): △ˆ y 90.35 − 85.75 = βˆ1 = pendiente = = 0.3833 △ˆ x 48 − 36

Y el valor de βˆ0 se calcula a partir de las medias de las variables, ya que y = yˆ : x = 51, La recta de regresi´on es:

y = yˆ = 91.5 =⇒ βˆ0 = 91.5 − 0.3833 ∗ 51 = 71.9517. c i = 71.9517 + 0.3833edad alt

Otra forma de hacer este apartado es calcular los valores de y a partir de su estimaci´on y los residuos: uˆi = yi − yˆi =⇒ yi = yˆi + uˆi Y calcular βˆ1 y βˆ0 con las f´ormulas del estimador MCO.

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b) Interpreta la pendiente de la recta de regresi´on SOLUCION Si la edad de la persona aumenta en 1 mes se espera que la altura aumente en 0.3833 cm. c) Calcula una predicci´on para la altura de una persona de 42 meses y para otra de 65 meses. SOLUCION Si una persona tiene 42 meses se estima que su altura es 88.0503 cm. Si tiene 65 meses de edad se estima que tenga 96.8662 cm de altura. Ejercicio 11. 10. En las elecciones presidenciales del a˜ no 2000 se reportaron algunas irregularidades en Florida. En el condado de Palm Beach las papeletas de votaci´ on eran enga˜ nosas y hubo gente que reclam´ o que echaron el voto err´oneamente. En particular, se cree que el candidato Buchanan (republicano) obtuvo m´ a s votos de los esperados. Para estudiar estos posibles errores tenemos informaci´on sobre los votos al candidato Buchanan (y) y el n´ umero de votos registrados en el partido republicano (x) en los 66 condados de Florida: 66 X i=1

xi = 4335,

66 X i=1

2

(xi − x) = 472820.31, 66 X i=1

66 X i=1

(xi − x) (yi − y) = 1166191,

66 X

yi = 14058

i=1

2

(yi − y) = 3311126

a) Se propone el modelo y = β0 + β1 x + u. Estima los par´ ametros de β0 y β1 . Comenta los resultados. ´ Estimamos los coeficientes utilizando la f´ormula del estimador MCO: SOLUCION PN (xi − x)(yi − y) 1166191 ˆ β1 = i=1 = = 2.4665 PN 2 472820.31 i=1 (xi − x) 4335 14058 βˆ0 = y − βˆ1 x = − 2.4665 ∗ = 50.9958 66 66 la estimaci´on del modelo es: yˆi = 50.9958 + 2.4665xi Seg´ un el modelo estimado si en un condado aumenta en uno el n´ umero de votos registrados al partido republicano entonces se espera que aumente en 2.4665 el n´ umero de votos del candidato Buchanan. b) Calcula el coeficiente de determinaci´on. Comenta el resultado. ´ Con la informaci´on disponible no podemos calcular R2 con las f´ormulas: SOLUCION R2 =

SCR SCE = 1− SCT SCT

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S´ olo conocemos el valor de SCT. Hacemos algunas operaciones en el numerador de la f´ ormula de PN PN ˆ 2 ˆ SCE (ˆ yi − y)2 i=1 ( β0 + β1 xi − y) i=1 = PN R :R = = PN = 2 SCT 2 i=1 (yi − y) i=1 (yi − y) PN (y − βˆ1 x + βˆ1 xi − y)2 = i=1 PN 2 i=1 (yi − y) 2

2

=

PN

ˆ

ˆ

i=1 (−β1 x + β1 xi ) PN 2 i=1 (yi − y)

2

PN PN ˆ 2 βˆ12 i=1 (xi − x)2 2.46652 ∗ 472820.31 i=1 ( β1 (xi − x)) = = PN = PN = 0.8687 2 2 3311126 i=1 (yi − y) i=1 (yi − y)

La variaci´ on en el n´ umero de votos en los condados explica el 86.87% de la variaci´on de los votos al candidato Buchanan. c) Hay 337 votadores registrados en el partido republicano del condado de Palm Beach. De acuerdo al modelo lineal, ¿cu´ al deber´ıa haber sido el n´ umero de votos obtenidos por el este partido? Compara esta predicci´on con los resultados reales, que fueron de 3407 votos. ¿Est´as de acuerdo con la reclamaci´on de que hubo una confusi´ on general debido a las papeletas de votaci´ on confusas? ´ Si en el condado de Palm Beach hay 337 votadores registrados, entonces SOLUCION seg´ un el modelo estimado, el n´ umero de votos al candidato Buchanan deber´ıa ser 50.9958 + 2.4665 ∗ 337 = 882.2063. Si el n´ umero real de votos fue 3407, hay una clara diferencia entre el n´ umero esperado de votos y el n´ umero real de votos, lo que evidencia indicios de errores en las papeletas de votaci´ on. Ejercicio 12. 10. Considere la funci´on de consumo lineal estimada utilizando una muestra de ingresos (renta) y consumos (cons) anuales (ambos medidos en d´olares) para una muestra de 100 familias americanas: cons d = −124.84 + 0.853renta n = 100,

R2 = 0.692

a) Interprete el t´ermino constante de esta ecuaci´on y comente su signo y su magnitud. ´ El valor del t´ermino constante es -124.84, el cual, seg´ un el modelo SOLUCION estimado el consumo para una familia con ingreso cero d´ olares ser´ıa -124.84 d´ olares. Este valor no tiene sentido econ´ omico, es simplemente un valor para ajustar las medias de la renta y el consumo. Como el valor medio de la renta es mayor que el del consumo, por eso el t´ermino constante tiene valor negativo.

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b) Interprete la pendiente de esta ecuaci´on. ´ El valor de la pendiente es 0.853, y su interpretaci´ SOLUCION on es: si una familia aumentase su renta en un d´ olar entonces se espera que su consume aumente en 0.853 d´ olares. c) ¿Cu´ al es la predicci´ on para el consumo de una familia cuyos ingresos son de 30000 d´ olares?. ´ El consumo esperado para una familia con ingresos 30000 d´olares es SOLUCION 25465 d´olares. d) ¿Qu´e proporci´on de la variaci´on en el consumo viene explicada por la renta? ´ La variaci´on del consumo es explicada un 69.2% por la variaci´on de la SOLUCION renta. e) Suponga que utilizando la misma muestra medimos el consumo de las familias en miles de d´olares. Calcule los nuevos par´ametros estimados del modelo y el coeficiente de determinaci´on R2 . ´ Denotemos por cons∗ la variable que mide el consumo de las familias en SOLUCION miles de d´olares. La relaci´on de la nueva variable con la anterior es: cons∗ = cons/1000 =⇒ cons = cons∗ × 1000 Sustituimos la expresi´on de cons en el modelo estimado: \ cons∗ × 1000 = −124.84 + 0.853 renta =⇒ \ cons∗ = −0.12484 + 0.000853 renta El coeficiente de determinaci´on no se ve afectado por un cambio de medida en las variables, por lo tanto, R2 = 0.692. f) Si medimos ahora tambi´en los ingresos en miles de d´ olares, ¿ cu´ales ser´ıan los nuevos par´ a metros estimados del modelo y el coeficiente de determinaci´on R2 ? ´ SOLUCION Denotemos por renta∗ la variable que mide la renta de las familias en miles de d´ olares. La relaci´on de la nueva variable con la anterior es: renta∗ = renta/1000 =⇒ renta = renta∗ × 1000Sustituimos la expresi´on de renta en el modelo estimado: ∗ × 1000 = −124.84 + 0.853 (renta∗ × 1000) =⇒ \ cons\ cons∗ = −0.12484 + 0.853 renta∗

El coeficiente de determinaci´on sigue siendo el mismo, R2 = 0.692. Ejercicio 13. En base a una muestra de 935 individuos para los que se observa el salario mensual (wage) en d´olares y el resultado de un test de inteligencia (IQ) se han obtenido las siguientes estimaciones MCO:

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Ingenier´ıa Comercial Facultad De Econom´ıa Y Empresas, UDP wage [ = 117 + 8.3IQ (1) wage [ = −2628 + 778.5 log(IQ) (2) \ log(wage) = 5.9 + 0.0088IQ (3) \ log(wage) = 2.94 + 0.83 log(IQ) (4)

a) ¿Cu´ al de estos modelo supone que un aumento de un punto en el test de inteligencia IQ implica una variaci´on de una cantidad constante en d´olares en la media de wage?. En base a ese modelo, estime la variaci´on en el salario medio ante un aumento de 10 puntos en el resultado del test. ´ El modelo 1, ya que ni la variable IQ ni wage aparecen en logaritmos. SOLUCION Seg´ un la estimaci´ on del modelo 1, si el test de inteligencia aumentase en un punto el salario aumentar´ıa en 8.3 d´olares, por lo tanto, si el test de inteligencia aumentase en 10 puntos el salario aumentar´ıa en 83 d´olares b) ¿Cu´ al de estos modelo supone que cada aumento de un punto en el test de inteligencia IQ tiene el mismo efecto porcentual sobre wage? En base a ese modelo, calcule la variaci´ on porcentual en el salario predicho ante un aumento de 10 puntos en el resultado del test. ´ SOLUCION El modelo 3, ya que la variable IQ no est´a en logaritmos (cambio puntual) pero la variable wage s´ı (cambio porcentual). Seg´ un la estimaci´on del modelo e, si el test de inteligencia aumentase en un punto el salario aumentar´ıa en un 0.0088 × 100 = 0.88%. Por lo tanto, si el test de inteligencia aumentase en 10 puntos el salario aumentar´ıa en un 8.8%. c) Compare los resultados obtenidos en los apartados anteriores para un individuo cuyo salario mensual coincide con el salario medio en la muestra (el salario medio en la muestra es 958 d´olares) ´ Seg´ un el modelo 1, si una persona con un salario de 958 d´olares incrementase SOLUCION la puntuaci´on del test de inteligencia en 10 puntos su salario aumentar´ıa en 83 d´olares, con lo que pasar´ıa a tener un salario de 958 + 83 = 1041 d´olares. Seg´ un el modelo 3, si una persona con un salario de 958 d´ olares incrementase la puntuaci´on del test de inteligencia en 10 puntos su salario aumentar´ıa en un 8.8%, con lo que pasar´ıa a tener un salario de 958 ∗ (1 + 0.088) = 1042.3 d´olares. Las dos estimaciones son muy pr´ oximas, la diferencia es s´ olo de 1.3 d´ olares. d) ¿Cu´ al de estos modelos supone que el aumento de un 1% en el test de intelige...