GUÍA DE Trabajo DE Fundamentos DE Cálculo actual PDF

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VisiónSer una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio, líderes en formación integral, con perspectiva global; promoviendo la competitividad del país.Asignatura: Fundamentos de CálculoMisiónSomos una universida...

Description

Visión Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio, líderes en formación integral, con perspectiva global; promoviendo la competitividad del país.

Gestión Curricular Asignatura: Fundamentos de Cálculo

Misión Somos una universidad privada, innovadora y comprometida con el desarrollo del Perú, que se dedica a formar personas competentes, íntegras y emprendedoras, con visión internacional; para que se conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo de sus comunidades, impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes e inspiradoras; y generando una alta valoración mutua entre todos los grupos de interés.

Universidad Continental Material publicado con fines de estudio Código: ASUC01110 2020

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Presentación

Al presentar este trabajo “Guía de Aprendizaje”, se hace con el sano propósito de contribuir decididamente en el proceso del aprendizaje de la asignatura de Fundamentos de Cálculo. Esta recopilación de ejercicios está destinada para los alumnos del segundo periodo de la Universidad Continental, cada ejercicio está seleccionado, permitiendo preparar y capacitar debidamente al estudiante para seguir sus estudios superiores. La formación básica de los estudios impartidos en la universidad, en el área de Ciencias y Formación General, son muy importantes y la asignatura de Fundamentos de Cálculo , juega un rol fundamental, debido a los avances de los temas que comprende esta materia y que están relacionados a las especialidades que brinda la Universidad. Es así como esta guía de aprendizaje se ha dividido en cuatro unidades y que son: Unidad I: Funciones Unidad II: Funciones Polinomiales y Racionales Unidad III: Funciones Exponenciales y Logarítmicas Unidad IV: Funciones Trigonométricas y Trigonometría Analítica. Por último, quisiéramos agradecer a los colegas que han hecho posible esta recopilación de ejercicios.

Los autores

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Índice UNIDAD I .................................................................................................................................................... 6 FUNCIONES................................................................................................................................................ 6 SESIÓN – 1 ........................................................................................................................... 7 Presentación del curso y evaluación diagnóstica ......................................................... 7

SESIÓN – 2 ........................................................................................................................... 7 Funciones: Definición Dominio y rango ............................................................................ 7

SESIÓN – 3 ........................................................................................................................... 8 Funciones: Gráfica de Funciones ..................................................................................... 8

SESIÓN – 4 ........................................................................................................................... 9 SESIÓN – 5 ......................................................................................................................... 10 SESIÓN – 6 ......................................................................................................................... 11 SESIÓN – 7-8...................................................................................................................... 12 Transformación de Funciones ..................................................................................... 12 SESIÓN – 9 ......................................................................................................................... 13 SESIÓN – 10 ....................................................................................................................... 14 SESIÓN – 11-12 ................................................................................................................. 15 UNIDAD II.................................................................................................................................................. 18 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES................................................................................... 18 SESIÓN – 13 ....................................................................................................................... 19 SESIÓN – 14 ....................................................................................................................... 19 SESIÓN – 15 ....................................................................................................................... 21 SESIÓN – 16 ....................................................................................................................... 22 SESIÓN – 17 ....................................................................................................................... 23 SESIÓN – 18 ....................................................................................................................... 23 SESIÓN – 19 ....................................................................................................................... 24 SESIÓN – 20 y 21 .............................................................................................................. 25 SESIÓN – 22 y 23 .............................................................................................................. 26 UNIDAD III................................................................................................................................................. 27

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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ........................................................................... 27 SESIÓN – 25 ....................................................................................................................... 28 SESIÓN – 26 ....................................................................................................................... 30 SESIÓN – 27 ....................................................................................................................... 30 SESIÓN – 28-29 ................................................................................................................. 32 UNIDAD IV................................................................................................................................................ 37 FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICAS Y TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA ................................................. 37 SESIÓN – 30 ....................................................................................................................... 38 SESIÓN – 31 ....................................................................................................................... 39 SESIÓN – 32 ....................................................................................................................... 41 SESIÓN – 33 ....................................................................................................................... 41 SESIÓN – 34-35 ................................................................................................................. 41 SESIÓN – 36 ....................................................................................................................... 44 SESIÓN – 37 ....................................................................................................................... 45 SESIÓN – 38 ....................................................................................................................... 45 SESIÓN – 39 ....................................................................................................................... 46 SESIÓN – 40 ....................................................................................................................... 49 SESIÓN – 41 ....................................................................................................................... 52 SESIÓN – 43 ....................................................................................................................... 55 SESIÓN – 44 ....................................................................................................................... 55 SESIÓN – 45 ....................................................................................................................... 55

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UNIDAD I FUNCIONES RESULTADO DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD

Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de resolver problemas contextualizándolos en situaciones reales, utilizando para ello el concepto de función.

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SEMANA 1 SESIÓN – 1 Presentación del curso y evaluación diagnóstica

SESIÓN – 2 Funciones: Definición Dominio y rango

BLOQUE I I. Determina el dominio y rango de la función mostrada 1) 2)

𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 3 ; 𝑠𝑖 − 4 ≤ 𝑥 < 5

3)

𝑇(𝑥) = 2 − 3𝑥 ; 𝑠𝑖 − 6 ≤ 𝑥 < 3

4)

II. Dadas las funciones, determine su dominio 1) 2)

𝑦=

2

3)

𝑥−1

𝑝(𝑥) = √𝑥 + 3

4)

𝑥−2

𝑞(𝑥) =𝑥+3

𝑀(𝑥) = 1 − 5𝑥 ; 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 4

5) 2

𝑔(𝑥) = √𝑥+1 3

𝑅(𝑥) = 3𝑥 − 1 ; 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 4

6)

𝑓(𝑥) = √2 + 𝑥 − √3 − 𝑥 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 5𝑥 + 4 4

III. Dadas las funciones, determine su dominio y rango 1)

3)

ℎ(𝑥) =

√𝑥−1

𝑓(𝑥) =

4) 𝑓(𝑥) =

2

𝑥

𝑥+4

√−2𝑥 2

6) 𝑓(𝑥) =

+ 5𝑥 − 3

√−𝑥2 +4𝑥−3 4𝑥 2 −1

2)

−5𝑥+1

𝑓(𝑥) = √4𝑥2+4𝑥+1

5) 𝑓(𝑥) =

√−𝑥2 +5𝑥−6 9𝑥2 −4

2𝑥−1

7)𝑓(𝑥) = √𝑥 2+3𝑥+1

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BLOQUE II Costo de producción. El costo C en dólares de producir x yardas de cierta tela se expresa mediante la función

1)

𝐶(x) = 1500 + 3x + 0.02 x2 + 0.0001 x3 a) b) c) 2)

Halle C (10) y C (100) ¿Qué representan sus respuestas del inciso a)? Encuentre C (0). (Este número representa los costos fijos)

Flujo de sangre. Cuando la sangre se mueve por una vena o arteria, su velocidad v es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida que se incrementa la distancia r desde el eje central (véase la figura). La fórmula que da v como una función de r se llama ley del flujo laminar. Para una arteria con radio 0.5 cm, se tiene.

v(r) = 18500(0.25 − r2 )

Determine v (0.1) y v (0.4) ¿Qué indican las respuestas del inciso a) acerca del flujo de sangre en esta arteria? Construya una tabla de valores de v(r) para r = 0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5.

a) b) c) 3)

0 ≤ r ≤ 0.5

Compras por Internet. Una librería por internet cobra $15 por envío para pedidos menores a $100 o más, pero el envío es gratis para pedidos de $ 100 o más. El costo C de un pedido es una función del precio total x de los libros comprados dada por:

x + 15 c(x) = { x

a) b)

Si x < 100 Si ≥ 100

Encuentre C(75), C(90), C(100) Y C(105) ¿Qué representan las respuestas al inciso a)?

SESIÓN – 3 Funciones: Gráfica de Funciones BLOQUE I I.- Se da la gráfica de una función h. a) Determine ℎ(−2), ℎ(0), ℎ(2), ℎ(3). b) Halle el dominio y el rango de h.

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Gestión Curricular Asignatura: Fundamentos de Cálculo II. Trace la gráfica de la función construyendo primero una tabla de valores.

8) ℎ(𝑥) = |2𝑥|

1) 𝑓(𝑥) = 2

9) 𝑔(𝑥 ) = |𝑥 | + 𝑥

2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4

3) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3, −3 ≤ 𝑥 ≤ 3

11)

5) 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 8

13) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2

4) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2

𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 2|

12) 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 + 1)

6) 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 4

14) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4

1

15) 𝑓(𝑥) = −√25 − 𝑥 2

7) 𝑓(𝑥) = 𝑥

16) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2

SEMANA 2 SESIÓN – 4 Función Definida por partes: Gráfica, dominio y rango BLOQUE I Bosqueje la gráfica de la función definida por partes.

 −3 ; x  −3  1)f(x) = 1 ; − 2  x  4  −1 ; 4x 

− 2 ; x  − 2  3)f(x) =  x ; − 2  x  3 −1 ; 3 x 

 −3 ; x  −2  2)f(x) =  x ; − 2  x  4  −1 ; 4x 

1 ; x  −1  4)f(x) = x 2 ; − 2  x  3  −1 ; 3 x 

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BLOQUE II I) Bosquejar la gráfica de la función definida por partes mostrada y determinar el dominio y rango:

 x− 3 ; x  − 3  1)f(x) =  x + 2 ; − 2  x  4 −1 ; 4 x 

 x +4   2)f(x) =  x 2 − 1 −2    x +3   3)f(x) =  x 2 + 1    x

; x  −2 ; − 2 x  3 ; 3 x

x  2 − 1 ; x  −3  2 4)f(x) = x + 2 ; − 2  x  4 x − 1 ; 4  x   ; x  −3 x + 3   5)f(x) =  x2 − 4 ; − 2  x  2 x − 3 ; 3x  

; x  −1 ; − 1 x  3 ; 4 x

; x  −3 − 3  6)f(x) =  x + 3 ; − 3  x  2 x − 2 ; 2  x 

SESIÓN – 5 Aplicación de gráfica definida por partes 1)

Se da la gráfica de la función definida por partes. Determine una fórmula para la función en la forma indicada.

f(x) = {

2)

; si x < −2 ; si − 2 ≤ x ≤ 2 ; si x > 2

Compras por Internet Una librería por internet cobra $15 por envío para pedidos menores a $100 o más, pero el envío es gratis para pedidos de $ 100 o más. El costo C de un pedido es una función del precio total x de los libros comprados dada por: a) Encuentre C (75), C (90), C (100) Y C (105) b) ¿Qué representan las respuestas al inciso a)? c) Grafique la función definida por partes.

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Gestión Curricular Asignatura: Fundamentos de Cálculo 3)

Multas por exceso de velocidad. En cierto estado la velocidad máxima permitida en las autopistas es 65 millas/h y la mínima es 40. La multa F por violar estos límites es $15 por cada milla arriba del máximo o abajo del mínimo. a) Complete las expresiones en la siguiente función definida por partes, donde “x” es la velocidad a la que conduce una persona. b) Determine F (30), F (50) y F (75) c) Grafique la función definida por partes.

4) Multas por exceso de velocidad. En cierto estado la velocidad máxima permitida en las autopistas es 60 millas/h y la mínima es 50. La multa F por violar estos límites es $ 20 por cada milla arriba del máximo o abajo del mínimo. a) Complete las expresiones en la siguiente función definida por partes, donde “x” es la velocidad a la que conduce una persona. b) Determine F (20), F (50) y F (75) c) Grafique la función definida por partes. 5)

Salarios: A un mecánico se le paga S/.15 por hora por tiempo normal y tiempo extra se le paga tiempo y medio por hora. La cantidad de horas que debe trabajar por semana es de 45 horas. Determine la función de salario sabiendo que “x” representa las horas que trabaja. 𝑺(𝒙) = { a) La compañía aumento las horas de trabajo por semana a 48, escribe la nueva función de salario. b) ¿Qué representa S(10), S(48) , S(50) en la nueva función de Salario c) Grafique la función definida por partes.

6)

Salarios: A un mecánico se le paga S/.20 por hora por tiempo normal y tiempo extra se le paga tiempo y medio por hora. La cantidad de horas que debe trabajar por semana es de 40 horas. Determine la función de salario sabiendo que “h” representa las horas que trabaja. 𝑴(𝒉) = {

a) La compañía aumento las horas de trabajo por semana a 48, escribe la nueva función de salario. b) ¿Qué representa M(20), M(48) , M(60) en la nueva función de Salario c) Grafique la función definida por partes. 7)

Salarios: A un mecánico se le paga S/.15 por hora por tiempo normal y tiempo extra se le paga tiempo y medio por hora. La cantidad de horas que debe trabajar por semana es de 40 horas. Determine la función de salario sabiendo que “h” representa las horas que trabaja. 𝑴(𝒉) = {

a) La compañía aumento las horas de trabajo por semana a 50, escribe la nueva función de salario. b) ¿Qué representa M(20), M(50) , M(60) en la nueva función de Salario c) Grafique la función definida por partes.

SESIÓN – 6 PRÁCTICA CALIFICADA N°1

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SEMANA 3 SESIÓN – 7-8 Transformación de Funciones BLOQUE I I. - Se da la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Compare cada ecuación con su gráfica. 1) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 4)

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 3

2)

𝑦 = 2𝑓(𝑥 + 6)

3)

𝑦 = −𝑓(2𝑥)

4)

II.- Se da la gráfica de f. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones. 1) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2)

2) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 2

3) 𝑦 = 2𝑓(𝑥)

4) 𝑦 = −𝑓(𝑥) + 3 5) 𝑦 = 𝑓(−𝑥)

1 6) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 1) 2 III.

1

Bosqueje la gráfica de 𝑓(𝑥) = mediante la graficación de los puntos. 𝑥 Use la gráfica de f para trazar las gráficas de las siguientes funciones. 1) 2)

𝑦=−

1

3)

𝑥 1

𝑦 = 𝑥−1

4)

IV.- Graficar g a partir de la gráfica de f. 𝑎) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 ,

𝑦=

2

𝑥+2

1

𝑦 = 1 + 𝑥−3

𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2)2

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Gestión Curricular Asignatura: Fundamentos de Cálculo 𝑏) 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 , 𝑐) 𝑓 (𝑥) = √𝑥,

𝑑) 𝑓(𝑥) = √𝑥,

𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 2

𝑔(𝑥) = 2√𝑥

1 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2 2

BLOQUE II 1) Se da una función f y se aplican a su gráfica las transformaciones indicadas (en el orden

dado). Escriba la ecuación para la gráfica transformada final.

2) 3) 4)

𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; desplace hacia arriba 3 unidades y 2 unidades a la derecha. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 ; desplace hacia abajo 1 unidad y 4 unidades a la izquierda.

𝑓(𝑥) = √𝑥 ; desplace 3 unidades a la izquierda, alargue verticalmente por un factor de 5 y refleje en el eje x.

5)

𝑓(𝑥) = 3√𝑥; refleje en el eje y, acorte verticalmente por un factor de 3 y desplace hacia arriba 3 unidades.

6)

𝑓(𝑥) = |𝑥| ; desplace a la derecha unidad, acorte verticalmente por un factor de 0.1 y desplace hacia abajo 2 unidades.

7)

𝑓(𝑥) = |𝑥| ; desplace a la izquierda 1 unidad, alargue verticalmente por un factor de 3 y desplace hacia arriba 10 unidades.

BLOQUE III Bosqueje la gráfica de la función, no mediante la graficación de puntos, sino iniciando con la gráfica de una función estándar y aplicando transformaciones 1) 2) 3) 4)

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2

𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2 𝑦 = 1 + √𝑥

5) 6) 7) 8)

1

𝑦 = 2 √𝑥 + 4 − 3

𝑦 = 5 + (𝑥 − 3)2

𝑦 = |𝑥| − 1

𝑦 = |𝑥 + 2| + 2

SESIÓN – 9 Primera Evaluación de consolidado

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SEMANA 4 SESIÓN – 10 Fu...