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Guía de Trabajos PrácticosGuía de Trabajos Prácticos: EjerciciosMateria: Fundamentos de TelecomunicacionesFórmula de Shannon-Hartley1) Calcular la capacidad de un canal con ancho de banda de 2 MHz y relación señal/ruido de 30 dB.RESPUESTA:C = ¿? B = 2 MHzSN= 30 dB1°) Dado que S/N está dado en dB, y ...

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Fundamentos de Telecomunicaciones 2018 Guía de Trabajos Prácticos

Guía de Trabajos Prácticos: Ejercicios Materia: Fundamentos de Telecomunicaciones Fórmula de Shannon-Hartley 1) Calcular la capacidad de un canal con ancho de banda de 2 MHz y relación señal/ruido de 30 dB. RESPUESTA:

C=¿?

B=2 MHz

S =30 dB N

1°) Dado que S/N está dado en dB, y en la fórmula de Shannon se debe tener una relación adimensional (es decir, sin unidades), se debe aplicar el camino inverso a la transformación a dB:

( )

S [ dB ] =10∗log10 S N N S [ dB ] S N =log 10 N 10

( )

10

S [dB] N 10

=

S =1000 N

2°) Con el valor de S/N adimensional ya calculado, se puede aplicar la fórmula de Shannon

(1+ NS ) =¿ 19,93 Mbps C=B∗log2 ¿ 2) Calcular la capacidad de un canal telefónico con relación señal/ruido de 50 dB. RESPUESTA:

C=¿? B=4 kHz (se asume que el ancho de banda del canaltelefónico es 4 kHz) S =50 dB N

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1°) Dado que S/N está dado en dB, y en la fórmula de Shannon se debe tener una relación adimensional (es decir, sin unidades), se debe aplicar el camino inverso a la transformación a dB:

( )

S [ dB ] =10∗log10 S N N S [ dB ] S N =log 10 10 N

( )

10

S [ ] dB N 10

=

S =1000 00 N

2°) Con el valor de S/N adimensional ya calculado, se puede aplicar la fórmula de Shannon

(1+ NS ) =¿ 66,44 kbps C=B∗log2 ¿ 3) En cierto canal se desea obtener una capacidad C = 300 kbps con un ancho de banda B = 100 kHz, siendo la densidad espectral de ruido No = 0,2 W/kHz. Calcular la potencia de señal S necesaria. RESPUESTA:

C=300 kbps

B=100 kHz

N 0=0,2 W /kHz

1°) Para poder aplicar la fórmula de Shannon, lo primero que se debe calcular es el ruido total. N0 es la densidad espectral de ruido; es decir, cuanto es la cantidad de ruido que se introduce en el sistema por cada intervalo de frecuencia en que aumenta el Ancho de Banda. En este caso, N0 indica que, por cada kHz de ancho de banda, el ruido se incrementa en 0,2 W. Entonces:

N=N 0∗B=20 W

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2°) Habiendo calculado el valor del ruido (N), se puede despejar de la fórmula de Shannon el valor de la potencia que debería tener la señal (S) para lograr la capacidad indicada:

( NS ) C S =log (1+ ) N B

C=B∗log2 1+ 2

C B

2 =1+ S N C S 2 B −1= N 2 C (¿ ¿ −1 )∗N =S=140 W B ¿ 4) Cierto canal de 4 kHz tiene una relación señal-ruido de 7. a) Obtener la relación señal-ruido de otro canal de 3 kHz que tenga la misma capacidad. b) Si ambos canales tienen igual densidad espectral de ruido (N=No*B), obtener la relación entre las respectivas potencias de señal. RESPUESTA: a) CANAL 1

C=C1

B=4 kHz

S =7 N

CANAL 1

C=C2 =C1

B=3 kHz

S =¿? N

1°) Se obtiene la capacidad del canal 1, aplicando Shannon:

(

C=B∗log2 1+

)

S =12 kbps N

2°) Ahora, sabiendo que la capacidad del canal 2, es la misma que la del canal 1, es posible obtener el valor de la relación S/N

(

C=B∗log2 1+

S N

)

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(

)

C S =log2 1+ B N C S 2 B =1+ N C 2 B −1= S =15 N Algo interesante para destacar es que, para mantener la capacidad de un canal, si el ancho de banda se reduce un 25%, la relación S/N debe aumentar al doble. Esto es importante a la hora de entender qué variables conviene tocar, técnicamente hablando, para mejorar la capacidad. Obviamente, que luego también hay que realizar el análisis económico y ver si la solución es viable (en los sistemas reales). b)

S1 S =7 ; 2 =15 N1 N2 N 0 =N 0 =N 0 2

1

Entonces, para encontrar la relación entre las potencias de las señales, se despeja el valor de N0 para cada canal, dado que son iguales:

S1 S1 =7 = N 1 N 0∗B1 7∗B1 28 kHz =N 0= S1 S1 S2 N2

=

S2 =15 N 0∗B2

15∗B2 45 kHz =N 0= S2 S2 De esta manera, se puede plantear la igualdad:

45 kHz 28 kHz = S1 S2 S 1 28 kHz 28 = = S 2 45 kHz 45

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Aquí queda demostrado que, ante un canal que introduce el mismo ruido/kHz de ancho de banda, el tener un 25% menos de B implica tener que aumentar la potencia de la señal más de un 50%. 5) En cierto canal se desea obtener una capacidad de 360 kbps con una potencia de señal de 900 W, siendo la densidad espectral de ruido igual a 5 W/kHz. Calcular el ancho de banda necesario, o justificar que esa capacidad es inalcanzable. RESPUESTA:

C=360 kbps

S=900W

N 0=5 W /kHz

1°) Para poder determinar si es factible encontrar un ancho de banda que cumpla con la capacidad requerida para el canal, con las condiciones dadas, se plantea el teorema de Shannon:

(

C=B∗log2 1+

S N

)

900 W ( B∗5W /kHZ ) 360 kbps 180 kHz =log ( 1+ B B )

360 kbps = B∗log2 1+ 2

360kbps B

180 kHz B Esta ecuación no puede resolverse con un simple “despeje”, habría que usar técnicas de cálculo numérico. Sin embargo, si se le da ciertos valores al ancho de banda B, podemos hallar algunas conclusiones:  Si B = 0  2∞ = 1 + ∞  ∞ = ∞ o Si bien la igualdad se verifica, no existe un canal cuyo ancho de banda sea 0 y, en caso de existir, tampoco dejaría pasar ninguna señal de ninguna frecuencia.  Si B = ∞  20 = 1 + 0  1 = 1 o Nuevamente, se verifica la igualdad, pero no existe ningún canal cuyo ancho de banda sea infinito. Incluso la Fibra Óptica, cuyo ancho de banda es muy grande, no posee uno que sea infinito.  Si B = -360 kHz  2-1 = 1 – ½  ½ = ½ o Numéricamente, se verifica la igualdad, pero con un canal cuyo ancho de banda es negativo. Esos valores son aquellos que validan la igualdad, por lo tanto, no hay un canal real que permita obtener esa capacidad, con las condiciones de señal y densidad de ruido. El que una ecuación se verifique, no implica que exista un sistema de comunicación que se pueda implementar. 2

=1+

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¿Cómo se soluciona? Pretendiendo una capacidad menor o cambiando las condiciones de la señal (utilizar más potencia) o el ruido (blindando o cambiando el canal). 6) Calcular la relación señal a ruido en dB, para cierto canal cuya capacidad es de 400 kbps y su ancho de banda es de 40 kHz.

RESPUESTA:

C=400 kbps

B=40 kHz

S =¿? N

1°) Se despeja la relación S/N del teorema de Shannon:

(

C=B∗log2 1+

S N

)

( )

C S =log2 1+ B N C

2B =1+

C B

2 −1=

S N S =1023 N

2°) Como se pide el resultado en dB, se pasa ese valor aplicando la fórmula:

( )

S [ dB ] =10∗log10 S =30.01 dB N N 7) Para un canal con BW=500KHz y S/N = 25dB, se pide: a. Calcular la relación señal a ruido, en veces b. Calcular la capacidad del canal c. Si la relación señal/ruido disminuye a la mitad ¿en qué proporción aumentará la capacidad del canal?

RESPUESTA:

B=500 kHz

S =25 dB N

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a) Como se tiene la relación S/N en dB, se pasa ese valor aplicando la fórmula:

( )

S [ dB ]=10∗log10 S N N S [ dB ] S N =log 10 N 10

( )

10

S [dB ] N 10

=

S =316.23 N

b) Se calcula la capacidad con el teorema de Shannon:

(

C=B∗log2 1+

)

S =4.15 Mbps N

c) La capacidad se reducirá, pero en un porcentaje menor a la mitad dado que está aplicado el logaritmo.

Señales 1) En la siguiente tabla, cada fila corresponde a una señal diferente. Completar las celdas vacías, sin olvidar unidades con sus múltiplos o submúltiplos más adecuados

0.16 µs =160 ns 500 kHz 0.02 s = 20 ms 20 MHz 0.625 ns = 625 ps

2) En la siguiente tabla, cada fila corresponde a una relación diferente entre potencias. Completar las celdas vacías recurriendo a valores prácticos (sin usar calculadora).

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26 50 -13 0.0005 64

1) dB=10∗log 10 ( veces ) dB=10∗log 10 ( 400) dB=10∗log 10 (2∗2∗100 ) Por propiedad de los logaritmos, el logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos.

(100) log10 (2)+ log10 (2)+log10 ¿ ¿ ( 2∗2∗100 )=10∗¿ dB=10∗log10 ¿ dB=10∗( 0.3+ 0.3 + 2 ) =26 dB 2)

dB=10∗log 10 (veces ) 17=10∗ log10 (veces ) 10 + 10−3=10∗log10 ( veces ) Y −¿ 10∗log10 Z X +¿ 10∗log10 ¿ 10 + 10−3=10∗log10 ¿ log ¿ Y −¿ log10 Z X +¿ log10 ¿ ¿ 10 + 10 −3=10∗¿ X∗Y Z log10 ¿ ¿ 10 + 10−3=10∗¿

(

)

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3) En la siguiente tabla, cada fila corresponde a una señal de potencia diferente. Completar las celdas vacías, sin olvidar los múltiplos o submúltiplos más adecuados donde corresponda; recurrir a valores prácticos (sin usar calculadora).

500 mW =0.5 W 27 0.25 mW = 250 µW 16 2000000 mW = 2000W = 2kW

0.001 kW = 1 W = 1000 mw = 1000000 µW 0.00025 W = 0.25 mw = 250 µW 4) Cierta señal cuya frecuencia fundamental es de 4 MHz tiene armónicos hasta 60 MHz y se aplica a la entrada de un filtro pasabajos ideal con frecuencia de corte de 25 MHz. Obtener las frecuencias de las sinusoides que aparecerán a la salida, y explicar qué característica de la señal se modifica al pasar por dicho filtro. Respuesta: Si la señal tiene una frecuencia fundamental de 4 MHz, todos sus armónicos serán múltiplos de esa frecuencia, hasta los 60 MHz. Entonces: f0 = 4 MHz 1° armónico = 8 MHz 2° armónico = 12 MHz 3° armónico = 16 MHz 4° armónico = 20 MHz 5° armónico = 24 MHz 6° armónico = 28 MHz 7° armónico = 32 MHz 8° armónico = 36 MHz 9° armónico = 40 MHz 10° armónico = 44 MHz 11° armónico = 48 MHz 12° armónico = 52 MHz 13° armónico = 56 MHz 14° armónico = 60 MHz

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NOTA: los filtros son elementos de un sistema de comunicaciones que tienen un ancho de banda determinado, al igual que los canales. Sin embargo, su única función es dejar pasar – o no – determinadas frecuencias. Si un filtro es: - Pasabajos: su frecuencia mínima es 0 (la máxima es un valor mayor que 0) - Pasabanda: su frecuencia mínima es un valor mayor que 0 y la máxima es un valor mayor que la frecuencia mínima - Pasaaltos: su frecuencia mínima es un valor mayor que 0 y la máxima es infinito. Sabiendo esto, si la señal que se analizó previamente pasa por un filtro pasabajos de 25MHz de frecuencia máxima, entonces solo pasará hasta el 5° armónico; el resto de las senoidales no pasará al filtro. Por lo tanto, cuando la señal llegue al receptor habrá llegado con menos armónicos y su forma habrá cambiado. 5) Dada una señal de T=10 nseg a) ¿Cuál será la distancia que recorra en 5 períodos? b) ¿Cuál será el tiempo insumido para recuperar una pantalla de CRM que necesita 10 consultas y respuestas, cuyo datacenter se encuentra en San Francisco (15000km)? c) ¿Cómo podría reducirse el tiempo calculado? Respuesta: a)

T =10 nseg 1° - Se debe conocer la distancia recorrida por la señal en un período. Es decir, su longitud de onda

λ=c∗T =3 x 10

8

m ∗10 x 10−9 seg=3 m seg

2° - Se calcula la distancia recorrida en 5 períodos: -

1 período  λ 5 períodos  5*λ = 15 m

La distancia recorrida en 5 períodos es 15 metros. b) Como ya fue mencionado, el tiempo que tarda una señal en recorrer una distancia NO DEPENDE DE SU FRECUENCIA O AMPLITUD, solo de la velocidad a la que se desplaza. Entonces, si el datacenter se encuentra a 15000 km: - Al enviar 1 consulta y respuesta, recorrerá 30000 km - Al enviar 10 consultas y respuestas, recorrerá 300000 km

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Como se trata de una señal electromagnética que se desplaza a 300000 km/s, para calcular el tiempo de demora se plantea:

velocidad =

distancia 300000 km distancia =1 seg = =¿ tiempo= velocidad tiempo km 300000 s

c) Dado que el tiempo depende de la distancia, de la velocidad y de la cantidad de consultas, esas son las variables a modificar si se desea reducir el tiempo de demora: - La velocidad de la luz no puede modificarse; las señales no pueden viajar más rápido que ella. - La distancia puede reducirse seleccionando una ubicación para el datacenter más cercana. - La cantidad de consultas puede reducirse realizando las mismas en paralelo o enviando más datos por consulta. ¡¡NO ES POSIBLE REDUCIR EL TIEMPO DE DEMORA AUMENTANDO LA FRECUENCIA, LA LONGITUD DE ONDA O LA AMPLITUD!!

Modulación 1) Cierta señal digital de 900 kbps tiene un ancho de banda de 2 MHz y se va a transmitir mediante alguna técnica de modulación. En un diagrama de amplitudes y fases graficar todos los estados de la señal modulada si -en vez de la técnica anterior- se usa un modem PSK de 300 kbaud. Respuesta: En este caso, el ancho de banda de la señal no tiene injerencia en el diagrama de amplitudes y fases. Cuando se plantea un diagrama de AMPLITUDES y FASES se habla de una modulación QAM, ya que involucra más de una amplitud y varias fases. Si se plantea un diagrama de FASES solamente, se trata de modulación PSK, ya que solo varían las fases y no hay cambio de amplitud. En este caso, lo primero que hay que determinar es cuántos bits se transmiten por baudio, es decir, por símbolo transmitido. Para ello, se plantea:

velocidad detransmisión=velocidad de modulación∗cantidad de bits por baud En este caso:

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Velocidad de transmisión = 900 kbps Velocidad de modulación = 300 kbaud/s

Entonces:

velocidad detransmisión/velocidad demodulación=cantidad de bits por baud

900 kbps/ 300 kbaud /s=cantidad de bits por baud=3 bits Por lo tanto, por cada baudio, se transmiten 3 bits. Entonces, si se debe llevar a un diagrama de amplitudes y fases, se hace la siguiente consideración: -

1° bit  2 estados = 2 amplitudes 2° y 3° bit  4 estados = 4 fases

Esto significa que, por cada transmisión, se transmiten 3 bits (que equivalen a 8 posibles estados); el primer bit cambiara de 0 a 1 cuando cambie la amplitud, mientras que los otros dos, lo harán en cada cambio de fase. El diagrama de constelación correspondiente es el siguiente: 101

001

110

000

010

100

011

111

2) El primer gráfico muestra una portadora (suponer senoidal); el segundo gráfico muestra una modulante triangular. Dibujar cuidadosamente en los otros gráficos el resultado de la modulación en FM y en AM.

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3) Se transmite a 7.200 bps con un modem PSK de 2.400 baud. A partir de los cálculos que deban hacerse, graficar todos los estados de la señal modulada en un diagrama de amplitudes y fases, asignando además los bits que corresponden a cada estado. Respuesta: Este caso es exactamente igual al ejercicio 1, pero con una salvedad: como el MODEM es PSK, el diagrama de amplitudes y fases se reduce a un diagrama de fases, dado que acá queda especificada la modulación. Entonces:

velocidad detransmisión / velocidad demodulación=cantidad de bits por baud 7200 bps/ 2400 baud / s=cantidad de bits por baud=3 bits El diagrama de constelación correspondiente es el siguiente: 010 011

100

001

000

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4) Se transmite a 12 Mbps con un modem QAM de 3 Mbaud con 2 amplitudes diferentes. A partir de los cálculos que deban hacerse, graficar todos los estados de la señal modulada en un diagrama de amplitudes y fases , con la mayor simetría posible Respuesta: Este caso es exactamente igual al ejercicio 1, pero con la aclaración de que se trata de 2 amplitudes. Entonces, el diagrama tendrá 2 amplitudes y N fases, las cuales se determinarán en función de la cantidad de bits (estados). Entonces:

velocidad detransmisión/velocidad demodulación=cantidad de bits por baud

12 Mbps/3 Mbaud /s=cantidad debits por baud=4 bits Por lo tanto, habrá 2 amplitudes (1 bit) y 8 estados (los restantes 3 bits). El diagrama de constelación correspondiente: 0010

0011

0001 1010 1011

0100

1001 1000

1100

0000

1111

1101 1110

0111

0101 0110

5) Estimar el ancho de banda de la señal modulada en cada uno de los dos ejercicios anteriores. Respuesta: Este ejercicio no necesitan hacerlo

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6) Se transmite a 57600 bps con un modem de 9600 bauds. Graficar las constelaciones si: a. La modulación es QAM con 2 niveles de amplitud b. La modulación es PSK

Respuesta: Idem los anteriores, solo que – en este caso – son 6 bits.

Teoría de la Información y la Codificación 1) Cada mensaje que emite cierta fuente de información meteorológica sobre Argentina -discreta y sin memoria- contiene la fecha, hora, lugar, y aspectos relevantes del estado climático actual (por ejemplo: "nublado, cálido y húmedo"). a)¿De qué depende la cantidad de información contenida en uno cualquiera de esos mensajes? b) Ejemplificar un mensaje concreto de esta fuente, tal que contenga gran cantidad de información. Respuesta: a) De la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los mensajes. Cuanto más probable es un evento, menor información provee. b) “Probabilidad de tornado” 2) Calcular la tasa de información de una señal que consta de 3 bits de sincronismo y 8 bits de información, considerando que el total del bloque se transmite en 10 microsegundos. Respuesta: La tasa de información es la resultante de la relación entre la información enviada (o entropía del envío) y el tiempo que se tarda en enviar dicha información.

T=

H t

En este caso, de los bits enviados, solo 8 corresponden a información. Los 3 restantes son de sincronismo, una redundancia necesaria por el protocolo. Sin embargo, el tiempo a considerar para el cálculo de la Tasa de Información es el total del bloque, el tiempo que se tarda en enviar los bits de información + los bits de redundancia. Entonces:

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T=

H 8 bits =800 kbps = t 10 µseg

3) Se desea trasmitir una señal que consta de:  1 bit de start  15 bits de datos  2 bits de redundancia  2 bits de stop Si cada bit tiene una duración de 100 nseg ¿cuál será la tasa de información? Respuesta: Como en el ejercicio anterior, se debe calcular la tasa de información. Aquí la cantidad de bits de información son 15 (los de datos). Sin embargo, el tiempo a considerar es la suma de todos los bits enviados en el bloque (start + datos + redundancia + stop), multiplicados por el tiempo del bit. Entonces

T=

15 bits ...