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GUÍA DE EJERCICIOS DERIVADAS DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de la función f (x) se define mediante el límite: f ' ( x) = lim h→0 f ( x + h) − f ( x) h 1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función: f ( x) = 5x 2 DERIVADAS ELEMENTALES 1. Si f ( x) = x n ; f ...

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GUÍA DE EJERCICIOS DERIVADAS DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de la función f (x) se define mediante el límite:

f ' (x) = lim

h →0

f ( x + h ) − f (x ) h

1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función:

f ( x) = 5x 2 DERIVADAS ELEMENTALES 1. Si f ( x) = x

n

;

f ' (x ) = n  x n −1

2. Si f ( x) = C , con C una constante ; 3. Si f ( x) = b

x

;

f ' ( x) = b x  ln(b)

4. Si f ( x) = e

x

;

f ' ( x) = e x

5. Si f ( x) = log b ( x) 6. Si f ( x) = ln( x)

; ;

f ' (x ) = f ' (x ) =

f ' (x ) = 0

1 x  ln(b)

1 x

2. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f ( x) = x 2

b) f ( x) = x 5

c) f ( x) = 2

d) f ( x) =

x

e) f ( x) = 3 x

f) f ( x) = e x

g) f ( x) = 2

x

h) f (x) = ln( x)

i) f ( x) = log( x)

1

ALGEBRA DE LAS DERIVADAS 1. Derivada de una suma ( diferencia )

 f ( x)  g ( x)' = f ' (x)  g ' (x) 2. Derivada de un producto

 f (x)  g (x)'=

f ' ( x)  g (x) + f ( x)  g ' ( x)

3. Derivada de una división

 f (x )  f ' ( x)  g( x) − f ( x)  g' ( x)  g (x ) ' = (g( x) )2  

3. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f (x ) = 3x − x + 5

b) f (x) = 6x + 5x − 6

c) f (x ) = x + 3x + 3x + 1

d) f ( x) = 4 x − x

e) f (x) = x + ln( x)

f) f (x ) = e − x − 2

2

3

2

2

3

x

4. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f ( x) = x  e c) f ( x) =

e) f ( x) =

x

x4 ex ln( x) x

b) f ( x) = x  ln( x) 2

d) f ( x) =

ex ln( x)

f) f ( x) = x  2 2

2

x

5. Determine la derivada de las siguientes funciones:

t2 1 t3

a) f (t)

c) f (t)

e) f (x)

t t

2

t2 1

b) f (z)

1

d) f (x)

2t 1 4x 2

5

x

1 2z

x5

4 x5

f) f (x)

3

1 3z 2

x

3

3x 7x

5

2 x

OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA Si y = f (x) ,

la deriva de f (x) se puede anotar de las siguientes formas:

f ' (x) =

6. En cada caso, determine a) y = 2x + 3x + 6 3

2

dy = f (1) ( x) dx

dy : dx b) y = ax + bx − c 2

x2 y= x e

c) y = x  ln (x )

d)

e) y = 3 x  2

f) y =

x

3

6x log (x )

7. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f (x)

x2

6

x

c) f (x ) = (2x + 3) 2 3

e) f (t)

t2 1 t2 1

b) f (x)

2x 3 1

d) f (x)

x3 1

f) f (u)

5

1 u 12

8. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = e

x2 + 6

c) f ( x) = x  e 2

e) f ( x) = 5

b) f (t ) = e

3− 5t

e 2u d) f ( u) = u

−x2

2 x+ 8

f) f ( w) = 2w  2

6w

9. Determine la derivada de las siguientes funciones:

1 + u   1 − u 

a) f (x ) = ln(3x − 4)

c)

(

b) f ( u) = ln 

)

f (t ) = t 2 + 1  ln( 2t + 1)

(

e) f (x) = log x + 2 3

)

(

d) f (w) = ln 1 + w2

(

f) f ( x) = log 2 x − x

4

4

) )

10. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f (x)

x3

ln x 2 1

c) f ( x) = 3 e + ln( x) x

11. En cada caso, determine

b) f (t)

et

t5

d) f (u)

2

ln( u

2u )

d 2y d 3y y : dx2 dx3

a) y = 2x + x − 1

b) y = x + ln (x ) + 2

c) y = e x −

d) y = e x 

5

2

x−x

6

x

12. Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites:

x 3 − 3x 2 a) lim x → 0 3x 4 − 2 x

2x 2 − 5x + 2 b) lim x → 2 5x 2 − 7 x − 6

x + 1 − ex c) lim x→0 x2

d) lim

e)

2e x − 3 + e −2 x lim x→ 0 x2

ln(x − 1) x→2 x − 2

f) lim

x→1

5

x+1 − 2 x−1

SOLUCIONES GUÍA DE EJERCICIOS DERIVADAS

1 x2

1. a) 10x

b) −

2. a) 2 x

b) 5x

1 2 x

e)

g) 2  ln( 2)

h)

d)

x

4

1 3 x 3

c)

e)

2

1 x

f) e − x

x

b)

4x e − x e e2 x 3 x

1 x  ln(10)

d) 12 x − 1

2

x

i)

x

b) 12x + 5

c) 3x + 6 x + 3

4. a) e + x  e

f) e

2

1 x

3. a) 6x − 1

e) 1+

c) 0

4 x

1  x − ln( x) x x2

=

=

1 2 x

2 xln( x) + x2 

1 = 2 x ln( x) + x x

ex e  ln( x) − x d) 2 ln ( x) x

4x 3 − x 4 ex

1 − ln( x) x2

x 2 x f) 2x  2 + x  2  ln(2)

6

(

)(

) (

)

5. a) t 2 + 1  3t 2 + 2t + t 3 + t 2 + 1  (2t ) b)

c)

d)

f)

3 −t t 2 + 2t + 1 − (t − 1)(2t + 2) = (t 2 + 2t + 1)2 (t + 1)3 3(x 3 + 7x − 5) − 3x (3x 2 + 7) − 6x 3 − 15

(x

3

)

+ 7x − 5

2

=

(x

3

)

+ 7x − 5

(− 8x + 5x 4 )x 3 − (5 − 4x 2 + x 5 )  3x 2 x6

e)

2 −1 6 z −1 = 2 + 4 2 + 9z 3z 3 2z 2z

2

2x 5 + 4x 2 − 15 = x4

3 −3 5 5 −1  1  −1 −1 4  x 2 + 2   −  x 2 = 10x 2 − x 2 2  2

6. a) 6x + 6 x

b) 2ax + b

2

c) ln (x ) + 1

d)

2x  e x − x 2  e x

(e )

x 2

6x 6 ln (6)  log (x ) − x ln (10 ) f) (log (x ))2 x

e)

1 3

3 x

7.

2

(

 2x + 3 x  2x  ln(2)

2 a) 6 x + x

)  (2x + 1)

(

5

)

b) − 5  2 x + 1 3

−6

 6x 2

3x 2

1 1 3 c)  (2 x + 3) 2  2 = 3  (2x + 3) 2 2

d)

2 x 3 + 1

(

)

(

)

2 2 −1 −3 2t (t − 1) − (t + 1)  2t 2 2 2 2  2 1 1 − t  t +  t − e) = 2 2 2 (t − 1) t +1 2 2 t −1

1

7

−

f)

2(u + 1) (u + 1) 4

8. a) 2x  e x

2

=

−2

(u +1)3 3 −5 t

+1

− x2

b) − 5 e 2

2

(

+ x 2 e− x  (−2 x) = 2 xe −x 1 − x 2 2  e 2u  u − e 2u d) u2 c) 2 xe

e) 5 2x+8  ln(5)  2 9.

a)

f) 2  2 6w + 2 w  2 6w  ln(2)  6

3 x 3 −4

b)

2t 2 + 2 c) + 2t  ln(2t + 1) 2t + 1 e)

10.

2

a) 3x +

f)

1  (2 x) x2 +1

3 3

 x 1 e +  2 x x e + ln( x ) 

(

)

d 2y = 40 x3 + 2 2 dx

1 d 2y 4 b) 2 = 30 x − 2 x dx

(

;

;

d)

)

1  4x 3 −1 4 x − 1  ln(2)

(

)

b) et  t 5 + 2 + et 

1

c)

11. a)

2

( )

)

1 1 − u − (1 + u)  ( −1) 2 =  2 1+u 1− u 2 (1− u ) 1−u

1 + w − w 2w w d) = 2 2 1 + w2 (1 + w )

1  3x 2 3 x + 2  ln(10)

(

)

1 2 t +2 5

( )

 5t 4

1  1   + 2u  ln(2) u  u + 2 2 u 

d 3y = 120x2 3 dx

2 d3 y = 120x 3 + 3 3 x dx 8

1 d 2y = e x + x −3/ 2 2 4 dx

c)

d)

3 d 3y = e x − x −5 / 2 3 8 dx

;

e x x −3/ 2 d 2y x 1/ 2 x −1 / 2 = + − e x e x 4 dx 2 d 3y 3 x −1 / 2 ex x − 3 / 2 3 x − 5 / 2 x 1/ 2 e x e x 3 = + − + e x dx 3 2 4 8

12. a) 0

c)

−1 2

e) 3

b)

3 13

d) 1

f)

1 2 2

9...