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apuntes conicas hiperbola ...

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Profesor: S.Pizarro R. La hipérbola Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia entre las distancias a dos puntos fijos es constante. #+Þ Su gráfica es: Esta diferencia se representa con la expresión #+

donde: ¸P 1 F 1  P 1F 2¸ œ #+ ¸P 3 F 1  P 3F 2 ¸ œ #+

¸ P 2 F 1  P 2F 2 ¸ œ # + ¸ P 4 F 1  P 4F 2 ¸ œ # +

Ecuación de la hipérbola ( con centro en el origen y focos en el eje B):

Elementos: C œ centro

F1 y F2 focos F1 F2 œ #-

V 1 y V2 vértices V1 V2 œ #+

De la gráfica por definición se deduce que:

¸P 1F 1  P 1F 2¸ œ #+

o sea : Éa B  -b#  aC  !b #  ÉaB  - b#  aC  ! b# œ #+ desarrollo que lleva a À ˆ -#  +# ‰ B#  +#C # œ +#ˆ- #  + #‰

donde - # œ + #  , #

o sea , # œ -#  +# luego: ,# B#  + #C # œ + #,# por lo tanto: B# +#



C# ,#

œ"

/: + #,#

Ecuación de la hipérbola horizontal

efectuando el mismo proceso en el eje Cß se obtiene: C# +#



B# ,#

œ"

Ecuación de la hipérbola vertical

Una hipérbola tiene asociadas dos rectas con las características que muestra la figura, donde sus ecuaciones son: e C œ ,+ B C œ  +, B ahipérbola horizontal b respectivamente.

Estas rectas reciben el nombre de "asíntotas ", las cuales a medida que la curva crece se acercan infinitamente a ella.a la diagonal del rectángulo es el "eje conjugado"b Si el centro de la hipérbola se desplaza del origen con coordenadas a2ß 5 bß su ecuación adquiere la forma: # # aB2 b b  aC 5 œ" hipérbola horizontal +# ,# o la forma : aC  5 b # a B2 b # hipérbola vertical  , # œ ". +# y las ecuaciones de las asíntotas son : C œ ,+ aB  2b  5 C œ  +, aB  2 b  5 ahorizontal b e

Profesor: S.Pizarro R. Observaciones: a) La distancia entre dos vértices V 1V 2 es llamado "eje transverso". b)

La diagonal del rectángulo que forman las asíntotas es el "eje conjugado"

c)

Si en la ecuación

B# +#



C# ,#

œ"

+# œ , #

se origina la llamada "hipérbola equilátera", cuya forma es: B#  C # œ + # aB2 b +#

#

d)

La ecuación



aC 5 b ,#

#

œ"

también puede expresarse en la forma: AB#  CC #  DB  EC  F œ ! ß

donde

A œ ,# ß

C œ  +#ß

D œ  #, #2

E œ #+# 5

F œ , # 2 #  + # 5 #  +# , #

Ejercicios: 1.-

Encontrar la ecuación de la hipérbola que cumpla con: a) b)

Ca0,0b, V1a2,0b y eje conjugado œ 6 Ca-1,-2b, F1 a-9,-2b y V1 a5,-2 b

2.En las siguientes hipérbolas, hallar las coordenadas de los vértices, de los focos, su centro, ecuación de las a= íntotas y graficar: a) b)

*B#  #&C # œ ##& aB#b # aC'b#  "' œ " #!

3.Dar forma canónica, obtener las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos de la siguiente hipérbola À $B#  *C#  'B  $'C  '! œ !

Soluciones: 1.a) b) 2.-

a)

b)

B# %



aB"b # $'

C# &

œ"



aC#b# #)

vértices : focos:

V 1a5,0b F1Š È34,0‹

V 2a-5,0b F 2 ˆ-È34,0 ‰

centro. asíntotas:

a0,0b C œ $& B

vértices:

V 1Š-2 + 2È5, 6‹

focos: centro asìntotas: 3.-

œ"

ecuación canónica: vértices: focos:

C œ  $& B

F1a4,6b F 2a-8,6b a-2,6b C œ È# aB  # b  ' &

aB"b # *

aC#b#

V 2Š-2 - 2È 5, 6‹ Cœ 

 $ œ" V 1a4,2b V 2a-2,2b F1Š1 + 2È 3, 2‹ F 1Š1-2È 3, 2‹

# È & aB

 # b '...