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Quelle aus Übungen , thematische kategorisiert , selbst zusammengefasst...

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close all! ! clear all! ! clc! ! ! a=input(’F’,’s’)! fprintf() !

!

disp()! %f! %s! %i! %d!

! ! ! ! !

! ! ! ! !

:!

!

!

zeros( )!! rand( )! !

! !

Schließt alle vom Programm geöffneten Fenster# Löschung aller alten Variablen# Löscht alle Einträge im Command Window# Lesen von Eingabeparameter# a=input( ‘Frage:Y/N’,’s’ )! # If a == ‘string’!# gibt das Ergebnis aus # fprintf ( ‘Es gibt %d Personen. \n’,n)# gibt das Ergebnis aus# Gleitkommazahl 1.23# Text omg# Ganze Zahl 42# Dezimalzahl 1.2300000e+00# Colon erstellt automatisiert einen Vektor mit äquidistant Werten # a = 1 : 3 = [1 2 3 ] a = 1 : 2 :7 = [ 1 3 5 7 ]# erstellt eine mit Nullen vorbelegte Matrix# erstellt eine mit Zufallszahlen vorbelegte Matrix, Werte von 0 bis 1#

ones( )!! ! eye( )! ! ! A(Z,S)! ! ! length(v)! ! [n , m]=size(A)!! n=size(A,1)! ! m=size(A,2)! ! v(end+1)! ! a*b‘! ! ! a.*b! ! ! plot(x,y,[Format])! surf()! ! ! legend(‘f1‘,‘f2‘)!

erstellt eine mit Einsen vorbelegte Matrix# erstellt eine Einheitsmatrix# Elementzugriff# Größe von Vektor v# Größe von Matrix A# Zeilengröße von Matrix A# Spaltengröße von Matrix A# Elemente anhängen# Skalarprodukt# Komponentenweise Operation# Graphische Darstellungen in 1D# Graphische Darstellungen in 3D# Beschriftet Graphen#

!

{‘what’,2,[2,3]}#

!

!

Linientyp (linestyle) ‘-‘! ! ! ‘- -‘! ! ! ‘:‘! ! ! ‘-.‘! ! !

Durchgezogenen Linie# Gestrichelte Linie! ! Gepunktete Linie# Stichpunktierte Linie#

#

Markierungen (marker) ‘o‘! ! ! Kreis# ‘*‘! ! ! Stern# ‘s‘! ! ! Quadrat#

Farbe (color) r! ! g! ! b! ! k! ! [r,g,b]! !

! ! ! ! !

rot# grün# blau# schwarz# RGB Farbcode#

plot(x, y, ’--bd’)!

!

gestrichelte Linie in blau und Rauten als Markierungen#

num2str(n)! ! Deg2rad(n)# addpath(n)! ! genpath(n)! ! restoredefaultpath!

Wandelt Zahlenwerte in Zeichenkette um# Externe Ordner hinzufügen # Unterordner hinzufügen # MATLAB Pfad zurücksetzen#

addpath(genpath(‘../subfolder’))#

Fehlerbehandlung # F5 Debugging # F10 Einzelschritt# F11 springt in eine Funktion #

# Bubble Sort Komplexität n2.

Merge Sort

idmeger

idlef t

idright

Va llef t

Va llef t

1

1

1

2

1

2

1

2

2

6

3

2

2

5

6

4

3

2

5

6

5 Merge Sort 1 , 2 , 5 , 5 , 6#

2

6

Binäre Suche

K X Schlüssel Links rechts mittel sind Index

Loglog

Inzidenzmatrix 1! Ausgangsmenge# -1 ! Eingangsmenge# 0! keine Verbindung# Algorithmus von Dijkstra A B Delta

V

Delta

V

Delta

0

-

∞

∞ 2

2

C

B

B

0

-

D V

Delta

E V

∞

Delta

F V

Delta

∞

∞ 5

B

3

A

3

A

4

B

6

B

∞

4

B

6

B

9

A

4

B

6

B

8

F

5

C

8

F

7

D

C

7

D

!

Ph = [PxPy1]#

4

B

5

Transformationen Translation !

P′ =

Px dx # + (Py) (d y)

Skalierung !

P′ =

Px sx 0 * # (Py) ( 0 s y)

Rotation!

P′ =

cos(a) −sin(a) # ( sin(a) cos(a) )

Homogene Koordination! Rechenvorschrift!

!

Translation!

!

!

Skalierung!

!

!

Rotation !

!

!

P = [PxPy]! ! P′ = P*T# 1 0 0 T= 0 1 0 # dx d y 1 2D:

sx 0 T = 0 sy 0 0 cos(a) T = −sin(a) 0

0 0 # 1 sin(a) 0 cos(a) 0 # 0 1

V

Ablauf:# 1. Homogene Erweiterung !

!

Spiegelung um X-Achse!

!

T=

Spiegelung um Y-Achse!

!

P → Ph# 2. Transformationsmatrix berechnen ! T# P′h = Ph*T# 3. Transformation durchführen !! 4. Koordinaten zurückführen ! ! P′h → P′# 1 0 0 −1 ( 0 0 −1 0 T= 0 1 ( 0 0

0 0 # 1) 0 0 # 1)

Verkettete Transformationen – Rotation um beliebigen Punkt C# 1. Verschiebung in den Ursprung# 2. Rotation um den Ursprung # 3. Verschiebung zurück# Verkettete Transformation – Spiegeln an beliebiger Achse # 1. Verschiebung der Achse in den Ursprung # 2. Spiegelachse auf die x-Achse drehen # 3. Spiegeln an x-Achse# 4. Spiegelachse „zurück“ drehen # 5. Verschiebung der Achse aus dem Ursprung #

x n Matrix = n 3# Matrix – Vektor – Multiplikation von einen n x n Matrix mit einem n Vektor = n 2# Matrix – Matrix – Multiplikation von 2 n

Einzeltransformationsmtx # n3 x 3 x 1000 = 9 x 3 x 1000 = 27000# Gesamttransformationmtx # n3 x 2 + n2 x 1000 = 27 x 2 + 9 x 1000 =9054#

Kurvendarstellung# Explizit!!

Implizit #

y = f (x)

Parametrisch !

F(x, y) = 0

r (t) =

Analytische Analytische Jede Steigung m möglich Bestimmung ,ob ein Punkt Bestimmung ,ob ein Punkt Große Auswahl an Kurve auf der Kurve liegt auf der Kurve liegt

Vorteile

Nur 1 y Wert zu judem x

Mehr y Werte als Iterative (und damit teure) erwünscht Suche ,ob Punkt auf Kurve Sehr begrenzte Anzahl an liegt Kurven

Nachteile Sehr begrenzte Anzahl an Kurven

dx

Tangentenvektor allgemein! T(t)

=

dt

#

dy dt dy

Normalenvektor allgemein!

N(t) =

−d dx

t

#

dt

Tangente im Punkt ! !

x′(t0) x(t) x(t) # + t* = (y(t)) (y(t)) ( y′(t )) 0

Normale im Punkt !

x (t) y(t)

!

x (t 0) y′(t0) x(t) −t # = + ( )* (y(t)) ( y t ) t (x′(t )) ( ) 0

# Ellipse # ( x - m1 )2/a2 + ( x - m2 )2/b2 - 1 = 0# x = a cos ( t )# y = b sint ( t )#

0

Formfunktionen# Lineare Formfunktionen#

1 (1 − t)# 2 1 N1,2 = (1 + t) # • 2 x1 x2 x(t) • Resultierende Interpolationskurve = [y(t)] = N1,1(t )*[y ] + N1,2(t )*[y ] # 1 2 N1,1 =

•

Quadratische Formfunktionen#

• • •

t −1 # 2 N2,2 (t) = (t − 1)(t + 1)# t +1 N2,3(t) = t* # 2 N2,1(t) = t*

•

Resultierende Interpolationskurve =

x2 x3 x1 x(t) = N2,1(t )* y + N2,2(t )* y + N2,3(t )* y # [ 2] [ 3] [y(t)] [ 1] Kubische Formfunktionen# • • • • Lagrange Polynome#

•

9 1 1 *(t − 1)# * t− t+ 3) 3) ( 16 ( 1 27 (t − 1)# (t + 1) t − N3,2 (t) = ( 3) 16 1 27 (t − 1)# (t + 1) t + N3,3(t) = − ( 3) 16 1 1 9 (t + 1)(t + )(t − )# N3,4 (t) = 3 16 3 N3,1(t) = −

p+1

Np,i(t) =

∏ ri − rj j=1 j≠I 3

•

N2,1(t) =

t − rj

t − rj

∏ ri − rj j=2

#

=

t − r2 t − r3 # * r1 − r2 r1 − r3

Näherung der Kurve # 1. Parameterraum zerteilen# θi = θstart + ∆ θ # 2. Für jedes θj , berechne die Koordinaten#

r=

[ y(θi)] x(θi)

=

Klothoide # • • Numerische Integration# • • Reihenentwicklung # •

Mx cos(θi) # + R* (My) [sin(θi) ] t0

π 2 t dt # (2 ) ∫0 t0 π y(ti) = A* π* sin( t 2 )dt# ∫0 2 x(ti) = A* π*

cos

π 2 x(ti) = x(ti−1) + A* π* ∆ t*cos( ti−1 )# 2 n π cos( ti2)# x(t) = A* π* ∆ t* ∑ 2 i=1 t 4i+1 (−1)i * x(t) = A* π ∑ # (2i )! ( 4i + 1 ) i=0 p

t 4i+1 (−1)i # * y(t) = A* π ∑ (2i + 1)! 4i + 3 ( ) i=0 p

•

Trassierung am Ursprung # 1. Kreis im Ursprung# θ1 = − a − θ #

θ2 = − a# 2. Klothoide #

π − (a + θ )# 2 a = r* 2*τ # a # tend = π*r τ=

l = a* π*tend # 3. Klothoide verschieben# dx = Bx − Ax!! d y = By − Ay!!

!

!

A = Ende von Klothoide#

!

!

B = Anfang von Kreis#

4. Teilkurven zusammenfügen # 5. Kurve auf Abszisse verschieben# dx = 0 #

d y = − Cy # C = K loth oidebeit0# 6. Kurve auf Winkelhalbierende verschieben# D = letzter Punkt der zusammengesetzten Kurve# h = Dy # h # tan(a) dx2 = Dx# dx = − (dx1 + dx2)# d y = 0# dx1 =

7. Kurve spiegeln #

−cos(a) # [ sin(a) ] w = [P1P 2]#

P2 =

8. Teilkurven zusammenfügen#

Vollständige Trassenkurve# 1. Bestimmung des Öffnungswinkels# La = A − B #

Lb = C − B # (La*Lb) = La * Lb *cos(2a)# a=

1 *cos−1 2

(La*Lb ) La * Lb

#

cos−1 = acos# (La*Lb) = a′*b # La = n orm (a) # 2. Trassenkurve im Ursprung#

3. Rotation um den Ursprung# ata n2 ∈ [−π, π] #

β = ata n2(a y , ax)# γ = π − β# ➔ Rechtskurve Rotation mit −γ im UZS # ➔ Linkskurve Rotation mit γ # 4. Verschiebung aus dem Ursprung# dx = Bx#

d y = By# B = P unkta nderÖf f nungs wink el# 5. Spiegelung bei Rechtskurven#

1 Ax Ay F = 0,5* 1 Bx By # 1 Cx Cy = Rechtskurve# F 0!! T = Rotation*Verschiebung*(Spiegelu ngbeiRechtskur ve)#

round ( n )!

!

Runden zur nächsten ganzen Zahl#

ceil ( n )!

!

Aufrunden#

floor ( n )!

Abrunden#

linspace (a,b,n)!

Erzeugt äquidistant verteile Zahlenwerte#

logspace (a,b,n)!

Erzeugt logarithmisch verteile Zahlenwerte #

loglog ()!

!

Doppellogarithmischen Darstellung #

tic! ! T( i ) = toc!

! !

beginne Zeitmessung# beende Zeitmessung#

disp ( n )!

!

Darstellen von Matrizen in Konsole #

save ( filename ) load ( filename )! gcf ()! ! !

Speichert Variable# Lädt Variable# Referenz zur momentan aktiven MATLAB Figure#

imread(‘filename’)! image(‘filename’)!

Lädt Bilddatei# Visualisiert Bilddatei#

clf! ! ! text(x,y, ‘txt’ )! !

löscht Inhalt aus MATLAB Figure# schreibt Text in MATLAB Figure#

norm (n)!

Berechnung der Euklidischen Norm#

!

norm ( n ) =sqrt( 1x1 + 1x1 + 1x1 ) = sqrt(3)# nargin !

!

Auskunft über die Anzahl der übergebenen Parameter#

figure ()! axis on!! axis equal! grid on!! ginput(n)!

! ! ! ! !

Öffnet neues MATLAB-Fenster# blendet Achsen ein# skaliert x- und y-Achse gleich# blendet Gitter ein# Graphische Koordinateneingabe durch Benutzer #

Axis equal # Axis on , grid on

Achse einschalten #

vertexPositions ( end +1 , : ) = [x,y]#

vertexPositions(vertexIdToDelete) = [ ]#

3. Datenstruktur anlegen # —adjacenyMatrix = [ ];# —vertexPositions = [ ];# 4. Option wählen # — option = input (‘Choose ur option’,’s’) #

5.überprüfen xxx#

6.Erstellen Sie x y in [0,4] und [0,4]# Axis ( [ 0 4 0 4] )#

7.Erweitern Sie wie in der Vorlesung besprochen die übergebenen Koordinaten auf homogene Koordinaten# —numberofVertices = size ( vertices ,1 )# —homogeneCoordinates = [ vertices, ones (numberofVertices ,1) ]#

—# numberOfPoints = size (A,1)# pMirrowedTrackreversed = zeros (numerofPoints ,2 )# For i = 1 : numberOfPoints # pMirrowedTrackreversed (i , : ) = A( numberOfpoints-i+1,: )# End#

A=[B;...