Informe 2. Mediciones indirectas y propagación de errores PDF

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓNFACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍADEPARTAMENTO DE FÍSICALABORATORIO DE FÍSICA BÁSICA IPRACTICA No. 2MEDICIONES INDIRECTAS Y PROPAGACIÓN DEERRORESEstudiante: Caballero Burgoa, Carlos Eduardo.Docente: Msc. Guzmán Saavedra, Rocio.Grupo: N5. Fecha de realización: 28 de Octub...

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE FÍSICA

LABORATORIO DE FÍSICA BÁSICA I PRACTICA No. 2

MEDICIONES INDIRECTAS Y PROPAGACIÓN DE ERRORES

Estudiante: Caballero Burgoa, Carlos Eduardo. Docente: Msc. Guzmán Saavedra, Rocio. Grupo: N5. Fecha de realización: 28 de Octubre del 2020. Fecha de entrega: 29 de Octubre del 2020.

Laboratorio de Física Básica I

1.

Objetivo Que el estudiante se familiarice con la representación de las medidas indirectas.

2.

Marco teórico

Las mediciones indirectas son mediciones donde no es posible obtener un valor directamente con el instrumento de medición. Para determinar el valor de la medición es necesaria una función matemática que relacione las magnitudes. Para la determinación del error de las mediciones indirectas, se utiliza el método de propagación de errores, es decir, la propagación o efecto que producen los errores de las mediciones directas al error de la función. Consideremos el calculo del valor de una magnitud y, que es función de una serie de magnitudes x1 , x2 , . . . , xn , cuyos valores se pueden obtener de una manera directa en el laboratorio, es decir que: y = f(x1 , x2 , . . . , xn )

(1)

donde xi , son los resultados de mediciones directas, ellas son conocidas como variables independientes: x1 = (¯ x1 ± e1 )[u],

(2)

x2 = (¯ x2 ± e2 )[u],

(3)

xn = (¯ xn ± en )[u],

(4)

y¯ = f(¯ x1 , x ¯2 , . . . , x ¯n )

(5)

La mejor estimación de y se obtiene sustituyendo en la expresión 1 los valores obtenidos de x ¯i :

Para la estimación del error de y¯ se utiliza la siguiente formula: v u n uX ey = t i=1

   ∂f  ∂x

   

i x ¯i

ei

!2

(6)

finalmente el resultado de la medición indirecta es: y = (¯ y ± ey )[u], E %

3.

Materiales Calibrador Vernier (precisión 0.05[mm]). Calibrador Vernier (precisión 0.1[mm]). Tornillo micrométrico (precisión 0.01[mm]). Regla de 15 cm (precisión 1[mm]). 2 de 20

(7)

Laboratorio de Física Básica I

Figura 1: Datos del circulo

4.

Procedimiento

A continuación se describen los procedimientos experimentales de medición que se llevarán a cabo.

4.1.

Calculo del área del circulo Dado el circulo de la figura 1, calcular la formula del área en función de su diámetro. Calcular el valor del área utilizando la formula hallada. Hallar la derivada parcial de la función con respecto al diámetro. Calcular el error estimado según el criterio pitagórico.

4.2.

Calculo del volumen del perno Dado el perno de la figura 2, calcular la formula del volumen en función de sus parámetros. Calcular el valor del volumen utilizando la formula hallada. Hallar las derivadas parciales de la función con respecto a sus parámetros. Calcular el error estimado según el criterio pitagórico.

4.3.

Calculo del área de la pieza Dada la pieza de la figura 3, calcular la formula del área en función de sus parámetros. Calcular el valor del área utilizando la formula hallada. Hallar las derivadas parciales de la función con respecto a sus parámetros. Calcular el error estimado según el criterio pitagórico.

3 de 20

Laboratorio de Física Básica I

Figura 2: Datos del perno

Figura 3: Datos de la pieza

4 de 20

Laboratorio de Física Básica I

Figura 4: Datos de la caja

Figura 5: Datos del capacitor

4.4.

Calculo del área de la caja Dada la caja de la figura 4, calcular la formula del área en función de su base y su altura. Calcular el valor del área utilizando la formula hallada. Hallar las derivadas parciales de la función con respecto a sus parámetros. Calcular el error estimado según el criterio pitagórico.

4.5.

Calculo del volumen del capacitor Dado el capacitor de la figura 5, calcular la formula del volumen en función de sus parámetros. Calcular el valor del volumen utilizando la formula hallada. Hallar las derivadas parciales de la función con respecto a sus parámetros. Calcular el error estimado según el criterio pitagórico.

5 de 20

Laboratorio de Física Básica I

Figura 6: Datos del tornillo

Figura 7: Datos de la esfera

4.6.

Calculo del volumen del tornillo Dado el tornillo de la figura 6, calcular la formula del volumen en función de sus parámetros. Calcular el valor del volumen utilizando la formula hallada. Hallar las derivadas parciales de la función con respecto a sus parámetros. Calcular el error estimado según el criterio pitagórico.

4.7.

Calculo del volumen de la esfera Dada la esfera de la figura 7, calcular la formula del volumen en función de su diámetro. Calcular el valor del volumen utilizando la formula hallada. Hallar la derivada parcial de la función con respecto a su diámetro. Calcular el error estimado según el criterio pitagórico.

4.8.

Calculo del volumen de la chapa de puerta Dada la chapa de puerta que se muestra en la imagen 8, cuyas medidas se presentan en la figura 9, calcular la formula del volumen en función de sus parámetros. Calcular el valor del volumen utilizando la formula hallada. Hallar las derivadas parciales de la función con respecto a sus parámetros. Calcular el error estimado según el criterio pitagórico.

6 de 20

Laboratorio de Física Básica I

Figura 8: Chapa de puerta a calcular

Figura 9: Datos de la chapa

7 de 20

Laboratorio de Física Básica I

5.

Tablas de datos y resultados

5.1.

Calculo del área del circulo Medidas directas del circulo Diámetro (d)

30.35 ± 0.05[mm]; 0.16 %

Dada la ecuación para el calculo del área de un circulo en función de su diámetro: A = πr 2 =

πd2 4

(circulo)

Calculando el valor representativo: A=

(3.1415)(30.35)2 = 723.45 4

La derivada parcial es: πd ∂A = ∂d 2

(8)

Siendo el error de la medición: eA =

πd ed 2

(9)

Calculando el error representativo: eA =

Área (A)

5.2.

(3.1415)(30.35) (0.05) = 2.38 2 Resultado 723.45 ± 2.38[mm2 ]; 0.33 %

Calculo del volumen del perno Medidas directas del perno Diámetro de la circunferencia inscrita (di ) Longitud de la cabeza (lh ) Longitud del vástago (lv ) Diámetro externo (de )

19.30 ± 0.05[mm]; 0.26 %

12.55 ± 0.05[mm]; 0.40 % 43.00 ± 0.05[mm]; 0.12 %

11.55 ± 0.05[mm]; 0.43 %

Dadas las ecuaciones para el calculo del volumen de un prisma hexagonal y un cilindro, se halla el volumen total del perno: √ √ 3 2 Vh = 2 3r 2 h = d h (prisma) 2 π Vb = πr 2 h = d2 h (cilindro) 4 8 de 20

Laboratorio de Física Básica I √ π 3 2 di lh + de2 lv V = Vh + Vb = 2 4 Calculando el valor representativo:

(10)

1.7321 3.1415 (11.552 )(43.00) = 8553.7 (19.302 )(12.55) + 4 2 Las derivadas parciales son: V =

√ ∂V = 3 d i lh ∂di √ 3 2 ∂V d = 2 i ∂lh

(11) (12)

∂V π = d e lv ∂de 2

(13)

∂V π = de2 ∂lv 4

(14)

Siendo el error de la medición: v u 2 u √ t 3di lh edi 2 + eV =

!2 √ 2    3 2 π 2 2 2 π d i elc 2 + de lv ede 2 + de elv 2 2 4

Calculando el error representativo:

e2V

2 1.7321 = ((1.7321)(19.30)(12.55)) (0.05 ) + (19.30)2 (0.052 ) 2 2 2   3.1415 3 . 1415 2 2 (11.55)(43.00) (0.05 ) + (11.55) + (0.052 ) 2 4 2

2





e2V = 440.01 + 260.15 + 1521.5 + 27.444 = 2249.1 eV = 47.425 Resultado Volumen (V )

5.3.

8553.7 ± 47.43[mm3 ]; 0.55 %

Calculo del área de la pieza Medidas directas de la pieza Base externa (be ) 32.00 ± 0.05[mm]; 0.16 % Base interna (bi )

Altura externa (he ) Altura interna (hi )

22.00 ± 0.05[mm]; 0.23 % 41 ± 1[mm]; 2.44 % 14 ± 1[mm]; 7.14 %

9 de 20

(15)

Laboratorio de Física Básica I Dadas las ecuaciones para el calculo del área de un rectángulo, se halla el área total de la pieza: Ar = bh Calculando el valor representativo:

A = be he − bi hi

(rectangulo) (16)

A = (32.00)(41) − (22.00)(14) = 1004

Las derivadas parciales son:

∂A = he ∂be ∂A = be ∂he

(17)

∂A = −hi ∂bi ∂A = −bi ∂hi

(19)

(18)

(20)

Siendo el error de la medición: eA =

q

(he )2 ebe 2 + (be )2 ehe 2 + (−hi )2 ebi 2 + (−bi )2 ehi 2

(21)

Calculando el error representativo: eA =

q

(41)2 (0.05)2 + (32.0)2 (1)2 + (−14)2 (0.05)2 + (−22.0)2 (1)2 √ eA = 4.2025 + 1024 + 0.4900 + 484 eA = 38.893 Resultado Área (A)

5.4.

1004 ± 38.89[mm2 ]; 3.87 %

Calculo del área de la caja Medidas directas de la caja Base (b) Altura (h)

143.55 ± 0.05[mm]; 0.03 % 39 ± 1[mm]; 2.56 %

Dadas las ecuaciones para el calculo del área de un rectángulo, se halla el área total de la caja: A = bh Calculando el valor representativo: 10 de 20

(rectangulo)

Laboratorio de Física Básica I

A = (143.55)(39) = 5598.5 Las derivadas parciales son: ∂A =h ∂b ∂A =b ∂h

(22) (23)

Siendo el error de la medición: eA = Calculando el error representativo:

q

(h)2 eb 2 + (b)2 eh 2

(24)

q

(39)2 (0.05)2 + (143.55)2 (1)2 √ eA = 3.8025 + 20610.4050

eA =

eA = 143.56 Resultado Área (A)

5.5.

5598.5 ± 143.56[mm2 ]; 2.56 %

Calculo del volumen del capacitor Medidas directas del capacitor Diámetro (d) 5.93 ± 0.01[mm]; 0.17 % Altura (h)

9 ± 1[mm]; 11.11 %

Dada la ecuación para el calculo del volumen de un cilindro en función de su altura y el diámetro de su base: V = πr 2 h =

π 2 d h 4

(cilindro)

Calculando el valor representativo: V =

(3.1415)(5.93)2 (9) = 248.57 4

Las derivadas parciales son: ∂V πdh = 2 ∂d πd2 ∂V = 4 ∂h

(25) (26)

Siendo el error de la medición: eV =

s



πhd 2

2

ed

2

πd2 + 4

11 de 20



2

eh 2

(27)

Laboratorio de Física Básica I Calculando el error representativo: eV =

s



(3.1415)(5.93)2 (3.1415)(9)(5.93) 2 0.012 + 4 2 √ eA = 0.7028 + 762.78 



2

12

eA = 27.631 Resultado Volumen (V )

5.6.

248.57 ± 27.63[mm3 ]; 11.12 %

Calculo del volumen del tornillo Medidas directas del tornillo Diámetro de la cabeza (dh ) Longitud de la cabeza (lh ) Longitud del cuerpo (lb ) Longitud de la punta (lt ) Diámetro externo (de )

4.26 ± 0.01[mm]; 0.23 %

1.60 ± 0.01[mm]; 0.62 % 7.22 ± 0.01[mm]; 0.14 % 1.60 ± 0.01[mm]; 0.62 %

2.26 ± 0.01[mm]; 0.44 %

Dadas las ecuaciones para el calculo del volumen de un cono truncado, cilindro, y cono, se halla el volumen total del tornillo: π π (cono truncado) h(R2 + r 2 + Rr ) = h(D2 + d2 + Dd) 12 3 π V2 = πr 2 h = d2 h (cilindro) 4 π π 2 V3 = r 2 h = d h (cono) 12 3 π π π V = V1 + V2 + V3 = lh (dh2 + d2e + dh de ) + de lb + de lt (28) 12 12 4 Calculando el valor representativo: V1 =

V =

3.1415 (1.60)(4.252 + 2.262 + (4.26)(2.26)) 12 3.1415 3.1415 (2.26)(7.22) + (2.26)(1.60) + 4 12

V = 13.774 + 12.815 + 0.9467 = 27.536 Las derivadas parciales son: π 2 ∂V = (d + d2e + dh de ) ∂lh 12 h

(29)

∂V π d = lh (dh + e ) ∂dh 2 6

(30)

12 de 20

Laboratorio de Física Básica I π d π π ∂V = lh (de + h ) + lb + lt ∂de 12 6 2 4 π ∂V = de ∂lb 4

(31) (32)

∂V π = de 12 ∂lt

(33)

Siendo el error de la medición:

e2V =



2 π 2 de 2 π (dh + d2e + dh de ) elh2 + lh (dh + ) edh 2 12 6 2 2  d π π π h lh (de + ) + lb + lt ede 2 + 6 2 4 12 2 2   π π de elb 2 + de elt 2 + 4 12







(34)

Calculando el error representativo: 2 3.1415 ((4.26)2 + (2.26)2 + (4.26)(2.26)) 0.012 12   2.26 2 3.1415 (1.60)((4.26) + + ) 0.012 6 2 2  4.26 3.1415 3.1415 3.1415 (1.60)(2.26 + )+ (7.22) + (1.60) 0.012 + 6 2 4 12 2 2   3.1415 3.1415 2 0.012 (2 . 26) (2 . 26) + 0.01 + 4 12

e2V =





e2V = 0.007 + 0.002 + 0.009 + 0.0003 + 0.00003 = 0.0193 eV = 0.14 Resultado 27.54 ± 0.14[mm3 ]; 0.50 %

Volumen (V )

5.7.

Calculo del volumen de la esfera Medidas directas de la esfera Diámetro de la esfera (d) 9.16 ± 0.01[mm]; 0.11 %

Dada la ecuación para el calculo del volumen de la esfera en función de su diámetro: V =

4 3 πd3 πr = 3 6

Calculando el valor representativo: V =

3.1415 9.163 = 402.43 6 13 de 20

(esfera)

Laboratorio de Física Básica I La derivada parcial es: π ∂V = d2 ∂d 2

(35)

π 2 d ed 2

(36)

Siendo el error de la medición: eV = Calculando el error representativo: eV =

3.1415 (9.16)2 (0.01) = 1.3180 2 Resultado

Volumen (V )

5.8.

402.43 ± 1.32[mm3 ]; 0.33 %

Calculo del volumen de la chapa de puerta Medidas directas de la chapa Diámetro cilindro (d1 ) 14.0 ± 0.1[mm]; 0.71 %

Diámetro mínimo pomo (d2 )

Diámetro máximo pomo (d3 ) Diámetro máximo roseta (d4 ) Diámetro cuello (d5 ) Diámetro mínimo roseta (d6 ) Diámetro intermedio roseta (d7 ) Diámetro borde roseta (d8 ) Profundidad pomo (l1 ) Longitud barriga pomo (l2 ) Longitud pomo (l3 ) Longitud cuello (l4 ) Grosor cuello roseta (l5 ) Grosor intermedio roseta (l6 ) Grosor base roseta (l7 )

38.7 ± 0.1[mm]; 0.26 %

55.0 ± 0.1[mm]; 0.18 % 72.3 ± 0.1[mm]; 0.14 %

25.0 ± 0.1[mm]; 0.40 %

31.4 ± 0.1[mm]; 0.32 % 46.4 ± 0.1[mm]; 0.22 %

71.0 ± 0.1[mm]; 0.14 %

8.7 ± 0.1[mm]; 1.15 % 32.8 ± 0.1[mm]; 0.30 %

42.8 ± 0.1[mm]; 0.23 %

16.6 ± 0.1[mm]; 0.60 % 5.1 ± 0.1[mm]; 1.96 % 4.7 ± 0.1[mm]; 2.13 % 5.3 ± 0.1[mm]; 1.89 %

Dadas las ecuaciones para el calculo del volumen de un cono truncado, un cilindro, y un tonel; se halla el volumen total de la chapa: π h(D2 + d2 + Dd) 12 π Vb (h, d) = hd2 4 π h(2D2 − d2 ) Vc (h, D, d) = 12

Va(h, D, d) =

14 de 20

(cono truncado) (cilindro) (tonel)

Laboratorio de Física Básica I V = Va(l7 , d4 , d8 ) + Va(l6 , d4 , d2 ) + Va(l5 , d2 , d6 ) + Vb (l4 , d5 ) Vc (2(l3 − l2 ), d3 , d7 ) Vc (2l2 , d3 , d2 ) Vc (2l1 , d2 , d1 ) + + − 2 2 2 π π π π 2 2 2 2 2 V = l7 (d 4 + d4 d8 + d8 ) + l6 (d4 + d4 d2 + d 2 ) + l5 (d2 + d2 d6 + d26 ) + l4 d52 4 12 12 12 π π π 2 2 2 2 2 2 2 + (2l3 d3 + l3 d 7 − 2l2 d 3 + l2 d7 ) + l2 (2d3 − d2 ) − l1 (2d2 − d12) 6 6 12 π π π 2 2 V = l7 d + l d d + l7 d 12 4 12 7 4 8 12 8 π π π + l6 d42 + l6 d4 d2 + l6 d22 12 12 12 π π π + l5 d22 + l5 d2 d6 + l5 d26 12 12 12 π + l4 d52 4 π π + l3 d32 + l3 d27 6 12 π π π 2 2 + l2 d3 + l2 d7 − l2 d22 6 12 3 π π − l1 d22 + l1 d12 6 3 Calculando el valor representativo:

(37)

3.1415 3.1415 3.1415 (5.3)(71)2 (5.3)(72.3)2 + (5.3)(72.3)(71) + 12 12 12 3.1415 3.1415 3.1415 (4.7)(72.3)2 + (4.7)(72.3)(38.7) + (4.7)(38.7)2 + 12 12 12 3.1415 3.1415 3.1415 (5.1)(38.7)2 + (5.1)(38.7)(31.4) + (5.1)(31.4)2 + 12 12 12 3.1415 (16.6)(25)2 + 4 3.1415 3.1415 (42.8)(46.4)2 + (42.8)(55)2 + 12 6 3.1415 3.1415 3.1415 (32.8)(55)2 + (32.8)(46.4)2 − (32.8)(38.7)2 + 6 12 3 3.1415 3.1415 (8.7)(38.7)2 + (8.7)(14)2 − 3 6 V =

V = 21370.27 + 11717.63 + 4938.60 + 8148.5 + 91914.28 + 18996.20 − 12752.04 V = 144333.44

Las derivadas parciales son: π ∂V = l1 d 1 ∂d1 3 π π π 2π 2π ∂V π l6 d 4 + l6 d 2 + l5 d 2 + l5 d 6 − l2 d 2 − = l1 d 2 12 6 6 12 3 ∂d2 3 π π ∂V = l3 d 3 + l2 d 3 ∂d3 3 3 15 de 20

(38) (39) (40)

Laboratorio de Física Básica I π π π π ∂V = l7 d 4 + l7 d 8 + l6 d 4 + l6 d 2 ∂d4 12 6 12 6

(41)

∂V π = l4 d 5 ∂d5 2 π π ∂V = l5 d 2 + l5 d 6 ∂d6 6 12

(42) (43)

∂V π π = l3 d 7 + l2 d 7 ∂d7 6 6 π ∂V π = l7 d 4 + l7 d 8 6 12 ∂d8

(44) (45)

∂V π π = − d22 + d12 ∂l1 6 3

(46)

∂V π π 2 π 2 d7 − d2 = d23 + 6 12 3 ∂l2 ∂V π π = d23 + d72 ∂l3 6 12

(47)

∂V π = d52 4 ∂l4 ∂V π π π = d22 + d2 d6 + d26 ∂l5 12 12 12 π ∂V π π = d24 + d4 d2 + d22 12 ∂l6 12 12 π π π ∂V = d24 + d4 d8 + d28 ∂l7 12 12 12

(49)

(48)

(50) (51) (52)

Siendo el error de la medición: 2

2 π π π π 2π 2π l1 d2 ed2 2 l6 d 4 + l6 d 2 + l5 d 2 + l5 d 6 − l2 d 2 − 3 12 6 6 12 3 2  2  π π π π π π l6 d2 ed4 2 l3 d3 + l2 d3 ed3 2 + l7 d 4 + l7 d 8 + l6 d 4 + + 12 3 6 12 6 3  2   2 2 π π π π π + l4 d5 ed5 2 + l3 d7 + l2 d7 ed7 2 l5 d2 + l5 d6 ed62 + 6 6 12 6 2 2 2  2   π π π π π π π 2 + d3 + d27 − d22 el2 2 l7 d4 + l7 d8 ed8 2 + − d22 + d12 el12 + 3 6 12 3 6 6 12 2 2 2    π 2 π 2 π π π 2 π 2 + d3 + d7 el3 2 + d5 el42 + d2 + d2 d6 + d26 el5 2 6 12 4 12 12 12 2 2   π 2 π π π π π 2 + d 4 + d4 d2 + d22 el62 + d4 + d4 d8 + d28 el7 2 12 12 12 12 12 12

e2V =



π l1 d 1 3

ed1 2 +





Calculando el error representativo:

16 de 20

(53)

Laboratorio de Física Básica I

e2V

=

3.1415 (8.7)(14) 3

!2

3.1415 3.1415 3.1415 (5.1)(38.7) (4.7)(72.3) + (4.7)(38.7) + 6 12 6

0.12 +

3.1415 2(3.1415) 2(3.1415) (8.7)(38.7) + (5.1)(31.4) − (32.8)(38.7) − 3 12 3 3.1415 3.1415 + (42.8)(55) + (32.8)(55) 3 3

!2

0.12 +

!2

3.1415 3.1415 + − (38.7)2 + (14)2 3 6

!2

0.1 + 2

0.1 +

0.1 + 2

!2

0.12 +

!2

0.1 +

!2

2

0.12 +

3.1415 (25)2 4

!2

0.12

3.1415 (42.8)(46.4) 6

3.1415 3.1415 3.1415 (55)2 + (46.4)2 − (38.7)2 6 12 3

3.1415 3.1415 (38.7)(31.4) + (31.4)2 + 12 12 !2

2

!2

0.12

!2

0.12

3.1415 3.1415 (5.3)(72.3) + (5.3)(71) 12 6

2

3.1415 3.1415 + (55)2 + (46.4)2 6 12

3.1415 (38.7)2 + 12

3.1415 (16.6)(25) 2

0.1 +

3.1415 3.1415 (5.1)(31.4) + (5.1)(38.7) + 6 12 !2

0.12

3.1415 3.1415 (5.3)(72.3) + (5.3)(71) 6 12

3.1415 3.1415 + (4.7)(72.3) + (4.7)(38.7) 6 12

3.1415 (32.8)(46.4) + 6

!2

!2

0.12 +

3.1415 (38.7)2 12

3.1415 3.1415 (72.3)2 + (72.3)(38.7) 12 12

3.1415 3.1415 3.1415 (72.3)2 + (72.3)(71) + (71)2 12 12 12

!2

0.12

e2V = (127.55)2 (0.01) + (−3034.2)2 (0.01) + (24075.07)2 (0.01) +(524.7...