Lab 6 - Medicion y Calculo de errores (Medidas indirectas Metodos) PDF

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA

CAPITULO: MEDICIONES Y CALCULO DE ERRORES. TEMA: MEDIDAS INDIRECTAS. METODOS. 1. OBJETIVOS. 

Propagación de errores.



Calculo de medidas indirectas.



Calculo de errores para medidas indirectas.

2. IMPORTANCIA DE LA ESTIMACION DEL ERROR. Mediante la valoración y discusión de los errores antes de la realización de las medidas, se pueden obtener las siguientes ventajas; medir con mayor cuidado aquellas magnitudes cuyos posibles errores sean mayores, eligiendo en todo caso instrumentos más precisos para medirlas, se tendrá elementos de juicio para diferenciar entre varios métodos cual será el que nos dé menor error, etc., además establecer el número de cifras significativas con que debe escribirse un resultado. Suponiendo que se obtiene el siguiente resultado: densidad = 9.37489 [g/cc]. Si e l error calculado es 0.002845 [g/cc], aplicando los criterios para escribir el resultado, tenemos: El error debe tener una sola cifra significativa, es decir 0.003 [g/cc] (se lee tres milésimas de [g/cc]). Por tanto el valor de la densidad debe tener el mismo orden de magnitud, siendo: 9.375 [g/cc] y el resultado final será: Densidad 9.375 ± 0.003 [g/cc] Para el caso de expresar en unidades en el SI, tendríamos 9375 ± 3 [kg/m3] Por tanto, consideramos que el valor verdadero de la densidad, debe estar en el rango (o banda) entre los valores de 9372 y 9378 [kg/m3]. 3. MEDIDAS INDIRECTAS: PROPAGACION DE ERRORES. Es frecuente que nos encontremos en el laboratorio con magnitudes que no podemos medir directamente con el instrumento de medición, sino que deben determinarse de Pagina /

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA forma indirecta a partir de otras magnitudes que se han medido directamente en el laboratorio. En este caso se dice que la medida es indirecta. Por ejemplo, una medida indirecta es la superficie de un rectángulo a partir de la medida en el laboratorio de las longitudes de sus lados. Hasta ahora se habló del error en las mediciones directas, es decir, determinación de una masa en una balanza en [kg], determinación de la temperatura con un termómetro en [ºC], etc. Vamos a considerar ahora los errores de las mediciones indirectas, éstas medidas resultan de aplicar una fórmula física que vincula magnitudes directamente medibles con la magnitud a determinar. Mediciones indirectas son por ejemplo la de calor específico de un sólido, o la viscosidad de un fluido, etc. Ejemplos más simples son, determinar el área de una figura geométrica o el volumen de un cuerpo, etc. El error de la medida indirecta es función de los errores de las medidas directas que utilizamos para su cálculo. El proceso para calcular este error se conoce como propagación de errores. 3.1.

Propagación de Errores. Supongamos que queremos calcular el valor de una magnitud y, que es función de una serie de magnitudes x1, x2,…, xn, cuyos valores se pueden obtener de una manera directa en el laboratorio, es decir que: y = ƒ (x1, x2,…, xn,) En primer lugar calcularemos los correspondientes

´x i ± Δ xi

tal como ya se ha

descrito en anteriores apartados. La mejor estimación de “y” se obtiene sustituyendo en la expresión anterior, los valores obtenidos de

´x i :

´y =f ( ´x 1 , x´ 2 ,… x´ n )

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA Para estimar el error de

´y

podemos utilizar la regla de las derivadas parciales o

la regla del neperiano, que describimos más adelante. Por lo general, el valor experimental de una magnitud física (objetivo) se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática (fórmula), a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Es necesario conocer el error de la magnitud física (error del objetivo) a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente. Por tanto, se pude presentar funciones de una, de dos o más variables. Para el caso de nuestro curso de física, la mayoría de los trabajos experimentales consideraran sólo dos variables, la variable independiente (VI) y la variable dependiente (VD), las mismas que deben ser identificadas, a partir de las expresiones matemáticas o fórmulas que son responsables del fenómeno físico estudiando. Sin embargo, no todas las expresiones o fórmulas corresponden a una función lineal, por tanto es necesario que estas fórmulas sean linealizadas, es decir reacomodar los términos para obtener una función lineal. 4. METODOS PARA CALCULAR EL ERROR DEL OBJETIVO. Consideramos utilizar los siguientes métodos:  Método: Ajuste de datos experimentales. Para este método se utiliza el método de los Mínimos Cuadrados para ajustar o corregir los datos experimentales de la variable dependiente,

además de

construir un solo gráfico, con los datos experimentales y con los datos corregidos, para obtener información del mismo, por lo general de la pendiente de la recta, para luego obtener el objetivo.  Método: Calculo de Errores. Para este método, se despeja de la fórmula que es responsable del fenómeno físico, el objetivo planteado, y en esta se reemplaza los valores promedio de las

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA variables identificadas y los valores de los términos constantes, para obtener el valor del objetivo.

5. METODO PARA CALCULAR EL ERROE DEL OBJETIVO.  Método: Casos Frecuentes. Existen casos que se presentan con más frecuencia en el laboratorio de Física, donde sólo se consideran dos variables, y se conoce como casos frecuentes, siendo: SUMA ENTRE LAS VARIABLES z = (VI) + (VD)

Δz =

√ Δ(VI )2+ Δ(VD )2

Δz =

√ Δ(VI )2+ Δ(VD )2

RESTA ENTRE LAS VARIABLES z = (VI) – (VD)

La resta también puede ser z = (VD) – (VI) MULTIPLICACIÓN ENTRE LAS VARIABLES z = (VI) * (VD)

Δz = z

√(

)( 2

Δ(VI ) Δ (VD) + (VI ) (VD )

)

2

DIVISIÓN ENTRE LAS VARIABLES z=

(VI ) (VD )

Δz = z

√(

La división puede ser también z =

)( 2

Δ(VI ) Δ (VD) + (VI ) (VD )

)

2

(VD) ( VI )

POTENCIA DE UNA VARIABLE z=( VI )n

(

Δ(VI ) ∆z =n (VI ) z

)

 Método: Regla de las Derivadas Parciales. Pagina /

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA Si suponemos que el error Δxi de las variables xi es suficientemente pequeño, puede demostrarse que el error Δ ´y

| |

Δ ´y =

| |

∂f ∂f Δ x 1+ ∂ x i ´x ∂ x2 1

viene dado aproximadamente por:

| |

Δ x1 +…+

´x 2

∂f Δ xn ∂ x 2 ´x n

Δ xi

Observé que todos los términos deben tomarse en valor absoluto, los

se

consideran positivos. NOTA:

∂f ∂ xi

es la derivada parcial de f

derivar la función

f

respecto de la variable xi; esto significa

respecto de xi tratando las demás variables como si fueran

constantes. ´x i

El subíndice

que aparece junto a las derivadas parciales indica que una vez

realizada la derivada parcial deben sustituirse en el resultado los correspondientes ´x i .

valores de Ejemplo 1:

Si un magnitud física y está determinada por la ecuación: a1

donde Δ x1

a2

y

son constantes sin error, además de

y =a1 x 1−a 2 x 2 ,

x1

x2

y

y Δ x 2 respectivamente, calcular la expresión del error de

son

y .

Solución: Las derivadas parciales son: ∂y =a , y ∂ x1 1 Δ y=|a1|Δ x 1 +

Por tanto:

∂y =−a 2 ∂ x2

|a 2| Δ x 2

Regla del Neperiano. La regla de las derivadas parciales es válida siempre. Sin embargo, cuando la función

f

sólo tiene productos, divisiones o potencias (o es una combinación

de estas operaciones), una forma alternativa de calcular el error de

y

es

proceder de la siguiente manera: Se determina el logaritmo neperiano de los dos miembros de la ecuación y=f (x 1 , x 2 ,… , x n)

:

lny=lnf (x 1 , x 2 ,… , x n) Pagina /

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA Se toman diferenciales de ambos miembros de la ecuación anterior. Se identifican los elementos diferenciales con los errores de las variables ( dy → ∆ y , d xi → ∆ x ¿ , y se sustituyen los valores correspondientes de

y

y

x i (o

´y y ´x i ) en la expresión final.

Aplicamos logaritmos neperianos a la expresión del volumen del cilindro π 2 3 V = D H [m ] . 4

lnV =ln

π +2 ln D+lnH 4 Diferenciándola obtenemos

ΔV

de la siguiente expresión:

ΔD ΔH ΔV + =2 H D V PRÁCTICA DE LABORATORIO N° 6 Realizar los cálculos necesarios para la propagación de errores en los siguientes casos: Problema 1. Medidas de los lados de una caja es: h=4.25 ± 0.05 [cm ] b=15.4 ± 0.1 [ cm ] a=8.16 ± 0.05 [cm ] Respectivamente. Hallar el volumen de la caja y el error de la medida indirecta. Solución.Trasformamos al sistema internacional. h=0.0425± 0.0005 [ m] b=0.1540 ±0. 00 1 0[ m ] a=0.0 816 ± 0.00 05[ m ] Pagina /

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA Volumen de la caja: 3

V =h∗b∗a=0.0 425∗0.15 4 0∗0.0816=0.000 5 3 4072[ m ]

Calculando el error de la medida ( ΔV ) por el método de las derivadas parciales:

|∂V∂a |∆ a+|∂V∂b |∆ b+|∂V∂h |∆ h [m ] |∂V∂a |=a∗b∗h= b∗h;|∂∂Va |=a∗b∗h=a∗h ;|∂∂Va |=a∗b∗h=a∗b ΔV =

3

ΔV =( b∗h ) ∆ a+( a∗h ) ∆ b+ ( a∗b ) ∆ h

Reemplazando los valores: Δ V =( 0.1540∗0.0425) 0.0005+( 0.0816∗0.0425) 0.0010+ ( 0.0816∗0.1540) 0.0005

ΔV =0.0000032725 +0.000003468 + 0.0000062832 [ m3 ] ΔV =0.0000130237 [ m

3

]

Se obtiene el resultado final: V =0.00053 ± 0.00001[ m3 ] Problema 2. Con los datos del ejemplo 2, resuelto en clases, determinar el volumen de la esfera y el error del volumen. La fórmula del volumen de la esfera debe estar en función del diámetro. Ejemplo 2 de la clase. Supongamos que se ha medido el diámetro de una esfera con una precisión de 1 cm. Siendo D=150 ± 1 [cm]. Calcular el volumen de la esfera y su error. Considerar: Pagina /

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA V esf =

4 3 3 π r [m ] 3 Solución.- El volumen de la esfera tomando en cuenta el diámetro en lugar del radio es 1 1 V esf = π d 3 = π (1.5)3=1.767145868[m 3] 6 6 Calculando el error de la medida indirecta volumen ( ΔV ):  Método: de las derivadas parciales.

|∂∂ VD|∆ D[ m ]

ΔV =

3

| |

2 1 ∂V 1 3 = π d =3 π d3 −1 = π d 2 ∂D 6 6

Reemplazando los valores:

| | (

ΔV =

2

)

2 π ¿(1.5) πd 3 ∆ D= ∗0.01=0.035342917 ≅ 0.04[ m ] 2 2

Se obtiene el resultado final: 3

V =1.77 ± 0.04 [m ]

Problema 3. Un móvil recorre la distancia de una milla, con un error ± 0.02 [milla] en un tiempo de

2.83 minutos y un error de ± 0.01 minutos. Calcular la velocidad media

( [ ]) V=

x m t s

del móvil y su error, en unidades del S.I. x=1 ±0.02 [ milla ] t=2.83 ±0.01 [min] Datos en el sistema internacional: 1[ milla ]=1609.344[ m ] 0.02 [milla ]=32.187[ m ] 2.83[ min] =169.8 [s ] 0.01 [ min ]=0.6 [ s] x=1609 ±32 [ m ] t=169.8 ±0.6 [ s ] Pagina /

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA Calculando la velocidad media:

[ ]

x 1609 m V= = =9.475853946 t 169.8 s Calculando el error de la velocidad media:

|∂V∂x |∆ x +| ∂∂Vt | ∆ t[ ms ] |∂V∂x |= tx = 1 xt = 1t [ 1s ] ΔV =

1−1

Reemplazando los valores:

|∂V∂t |= tx =x t

−1

=−1 x t−1−1=−x t−2=

[]

−x x m = t 2 t 2 s2

1 1609 ( 1t ) ∆ x+( tx ) ∆ t= ( 169.8 ) 32+ ( 169.8 )0.6= 0.221940591 [ ms ]

ΔV =

2

2

Se obtiene el resultado final:

[ ]

V =9.5± 0.2

m s

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