Insiemi Aperti Chiusi - Appunti 2,3 PDF

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lezioni su insiemi ...

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7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE’ APERTI NE’ CHIUSI Sia E un insieme numerico, sia cioè

.

Si dice che E è un insieme “APERTO” se tutti i suoi punti sono interni. Esempi



•

Ogni intervallo aperto (dove l’aggettivo “aperto” è usato qui per indicare “privato degli estremi”) è anche un insieme “aperto” nel senso della definizione appena posta. Infatti abbiamo osservato in precedenza che ogni punto di un intervallo aperto è interno ad .

Invece un intervallo chiuso (qui l’aggettivo “chiuso” è usato per indicare “estremi inclusi”) NON è un insieme “aperto”, nel senso sopra specificato, perché non tutti i suoi punti sono interni: infatti, a e b non lo sono. • Il complementare rispetto a dell’insieme degli interi relativi è un insieme aperto •

In matematica, oltre che di insiemi “aperti”, si parla anche di insiemi “chiusi”. “Chiuso”, però, in questa accezione, NON è il contrario di “aperto”!!! Si pone infatti la seguente definizione: Un insieme si dice “CHIUSO” se non ha punti di accumulazione, oppure, nel caso ne abbia, questi appartengono tutti all’insieme stesso Esempi



•

Ogni intervallo chiuso (dove l’aggettivo “chiuso” è usato qui per indicare “estremi inclusi”) è anche un insieme “chiuso” nel senso della definizione appena posta. Infatti i punti di accumulazione di sono per l’appunto tutti e soli i punti di

•

Invece l’intervallo aperto (l’aggettivo “aperto” è qui usato nel senso di “privato degli estremi”) NON è un insieme “chiuso” nel senso sopra precisato, perché ammette come punti di accumulazione anche gli estremi a, b, che non appartengono all’intervallo.

•

non è chiuso, perché non contiene quello che è il suo unico punto di accumulazione, ossia il punto 0; e non è nemmeno aperto, come abbiamo visto in precedenza. è un insieme chiuso.

•

L’unico suo punto di accumulazione (il punto 0) appartiene infatti all’insieme. •

L’insieme dei numeri Naturali

è chiuso perché non ha punti di accumulazione.

L’esempio dell’insieme F mostra che esistono insiemi che non sono né “aperti” né “chiusi”; d’altronde, un intervallo con un estremo incluso e l’altro escluso, come , non è né “aperto” né “chiuso”. L’insieme e l’insieme vuoto sono gli unici due sottoinsiemi di aventi la proprietà di essere, simultaneamente, sia “aperti” che “chiusi”. Si potrebbe dimostrare il seguente TEOREMA: un sottoinsieme di è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto.

8. ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE, MASSIMO E MINIMO (RELATIVI O ASSOLUTI) DI UNA FUNZIONE 

Estremo superiore, estremo inferiore di una funzione su di un insieme Massimo e minimo assoluti di una funzione su di un insieme

Data una funzione , detto D il suo dominio, e indicato con E un sottoinsieme di D ( ), quando parliamo di “ESTREMO SUPERIORE (risp.: INFERIORE) DELLA SULL’INSIEME E”, intendiamo riferirci all’estremo superiore (risp.: inferiore) dell’insieme , dove il simbolo indica l’insieme delle immagini dei punti di E attraverso la (in altre parole: l’insieme dei valori assunti dalla , al variare di x in E). Dunque: = ESTREMO SUPERIORE della funzione

sull’insieme

= ESTREMO INFERIORE della funzione

sull’insieme

Quando diciamo semplicemente “ l’estremo superiore (risp. inferiore) della ”, sottintendiamo di prendere , cioè sottintendiamo che l’insieme di riferimento sia l’intero dominio della funzione. Analogamente, si dirà “MASSIMO (risp.: MINIMO) DELLA IN E, il massimo (risp.: il minimo), QUALORA ESISTA, dell’insieme . Si preferisce, tuttavia, parlare di “MASSIMO ASSOLUTO” (risp.: “MINIMO ASSOLUTO”) per evitare possibili equivoci con la locuzione “massimo relativo” (risp. “minimo relativo”), che ha un altro significato di cui ci occuperemo successivamente. Se si scrive “ massimo (risp.: minimo) assoluto per la funzione ”, senza citare un particolare insieme, si intende che l’insieme di riferimento sia l’intero dominio della (ossia:

).

E’ importante l’osservazione seguente: affermare che una funzione ammette come massimo assoluto, su di un insieme E, un certo numero M, comporta che ; infatti, il massimo di un insieme è l’estremo superiore dell’insieme, QUALORA QUESTO SIA FINITO ED APPARTENGA ALL’INSIEME. Ma se , ciò significa che M è immagine, attraverso la , di almeno un punto di E, cioè che M è un valore che viene EFFETTIVAMENTE ASSUNTO dalla , in corrispondenza di un certo appartenente ad E. In definitiva, possiamo scrivere che è il massimo assoluto di

sull’insieme

Riguardo all’ascissa che “genera” il massimo assoluto, essa viene detta “punto di massimo assoluto per la su E”. Insomma:

♪ “MASSIMO ASSOLUTO” è un’ORDINATA, ♫ “PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO” è l’ASCISSA a cui corrisponde quell’ordinata (tale ascissa può eventualmente non essere unica). Analogamente per il minimo: affermare che una funzione ammette come minimo assoluto, su di un insieme E, un certo numero m, comporta che ; infatti, il minimo di un insieme è l’estremo inferiore dell’insieme, QUALORA QUESTO SIA FINITO ED APPARTENGA ALL’INSIEME. Ma se , ciò significa che m è immagine, attraverso la , di almeno un punto di E,

cioè che m è un valore che viene EFFETTIVAMENTE ASSUNTO dalla in corrispondenza di un certo appartenente ad E. In definitiva, possiamo scrivere che m è il minimo assoluto di su

,

Riguardo all’ascissa che “genera” il minimo assoluto, essa viene detta “punto di minimo assoluto per la su E”. Insomma: “minimo assoluto” è un’ordinata, “punto di minimo assoluto” è l’ascissa a cui corrisponde quell’ordinata (tale ascissa può eventualmente non essere unica). Una funzione ammette sempre, su di un dato insieme E, estremo superiore e inferiore (eventualmente infiniti), ma potrebbe non ammettere massimo assoluto e/o minimo assoluto. Gli esempi successivi dovrebbero chiarire bene quanto detto.

Nella figura qui a fianco, è il massimo assoluto per la funzione rappresentata, sull’insieme . è il punto di massimo assoluto. è il minimo assoluto della è il punto di minimo assoluto.

su

.

La funzione rappresentata nella figura qui a fianco ammette massimo assoluto sul suo dominio : Il punto di massimo assoluto è quindi l’ascissa

. .

Invece questa funzione non ammette minimo assoluto nel suo dominio: il suo estremo inferiore è 0, che però non è un valore assunto dalla funzione, quindi non ne è il minimo. I valori assunti dalla funzione costituiscono l’intervallo semiaperto : . La funzione

ha come grafico una “parabola col buco”. L’insieme dei valori assunti dalla funzione sul suo dominio è l’intervallo . Abbiamo , e la funzione non ammette né massimo assoluto, né minimo assoluto, sul suo dominio. Invece la stessa funzione

:



sull’insieme ha come massimo 3 e come minimo 0;



sull’insieme

ha

come estremo superiore 3 (ma non ha massimo), e come minimo 0; 

sull’insieme ha come estremo superiore 4 (ma non ha massimo), e come minimo 3;



sull’insieme ha come estremo superiore 4 (ma non ha massimo), e come minimo 1.



Massimi e minimi relativi di una funzione Passiamo ora a descrivere cosa si intende per “punto di massimo (risp.: minimo) RELATIVO”, di una funzione .

 Si dice che il valore è un "massimo (minimo) relativo" per la funzione . Dunque: quando si dice "PUNTO DI MASSIMO (MINIMO) relativo" si intende parlare di un'ASCISSA, mentre quando si dice "MASSIMO (MINIMO) relativo" ci si riferisce ad un'ORDINATA. Nella figura qui a fianco, e sono punti di massimo relativo, e è anche il punto di massimo assoluto.

La funzione proposta come esempio non è definita con , dove abbiamo un “buco” .

I massimi relativi sono e ; quest’ultima ordinata costituisce anche il massimo assoluto. I punti di minimo relativo sono i minimi relativi sono e

e ; .

Non esiste un punto di minimo assoluto per la funzione rappresentata in figura: si ha soltanto un "estremo inferiore", che è poi, con espressione grossolana, l’ordinata del “buco ” che si ha in corrispondenza dell’ascissa a. La funzione

ammette infiniti punti di massimo relativo: tutte le ascisse .

I corrispondenti massimi relativi valgono tutti 1. Ammette anche infiniti punti di minimo relativo: le ascisse

. I corrispondenti minimi relativi valgono tutti –1. Il massimo assoluto della funzione sul suo dominio è 1 (e viene assunto infinite volte!). Il minimo assoluto è , che viene assunto infinite volte.

La funzione , raffigurata qui a fianco, non ammette né massimo assoluto, né minimo assoluto (ammette come estremo superiore e come estremo inferiore ), ma ammette un massimo relativo e un minimo relativo. Si dimostra che: il punto di massimo relativo è il punto di minimo relativo è

(il massimo relativo è (il minimo relativo è

Potremmo dire che “massimo relativo” e “minimo relativo” sono concetti di carattere “LOCALE”, mentre “massimo assoluto” e “minimo assoluto” sono concetti di carattere “GLOBALE”.

);...