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SEP D.G.E.S.T. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL ALUMNO (A): ADILENE BAUTISTA CRUZ. NÚMERO DE CONTROL: 12500569 CATEDRÁTICO (A): ING.JOSÉ CARLOS DEL ANGEL CARRERA: ING. PETROLERA. MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES. SEMESTRE: 4° GRUPO: 1 TRABAJO: INVESTIGACIÓN DE LA UNIDAD 3: TRANSFORMADAS DE LAPLA...

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SEP

D.G.E.S.T.

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL

ALUMNO (A): ADILENE BAUTISTA CRUZ. NÚMERO DE CONTROL: 12500569 CATEDRÁTICO (A): ING.JOSÉ CARLOS DEL ANGEL CARRERA: ING. PETROLERA. MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES. SEMESTRE: 4°

GRUPO: 1

TRABAJO: INVESTIGACIÓN DE LA UNIDAD 3: TRANSFORMADAS DE LAPLACE

CERRO AZUL, VER., A 7 DE MAYO DEL 2014.

BAUTISTA CRUZ ADILENE.

ECUACIONES DIFERENCIALES.

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UNIDAD III: TRANSFORMADA DE LAPLACE. ÍNDICE: 3.1 TEORÍA PRELIMINAR...................................................................................... 3 3.1.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................. 3 3.1.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE LA EXISTENCIA PARA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE .......................................................................... 4 3.2 TRANSFORMADA DIRECTA ........................................................................... 4 3.3 TRANSFORMADA INVERSA ........................................................................... 4 3.4 PROPIEDADES TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................ 5 3.4.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS ................................................................................................................. 5 3.4.2 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO .................................................................. 6 3.4.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (LINEALIDAD, TRANSLACIÓN) ..................................................................................................... 7 3.4.4 TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS “TN” Y DIVIDIDAS ENTRE “T ............................................................................................................... 8 3.4.5 TRANSFORMADA DE DERIVADAS TEOREMAS ....................................... 8 3.4.6 TRANSFORMADA DE INTEGRALES TEOREMAS..................................... 9 3.4.7 TEOREMA DE CONVOLUCIÓN .................................................................. 10 3.4.8 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA .......... 10 3.4.9 FUNCIÓN DELTA DIRAC O FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO INSTANTÁNEO .................................................................................................... 11 3.4.10 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN DELTA DIRAC ....... 12 3.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRANSFORMADA DE LAPLACE ............... 13 3.6 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 15 BAUTISTA CRUZ ADILENE.

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UNIDAD III.- TRANSFORMADA DE LAPLACE.

3.1 TEORÍA PRELIMINAR. La transformada de Laplace recibe el nombre en honor al matemático Francés Pierre- Simon Laplace que la presento dentro de su teoría de probabilidad. La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una amplia variedad de problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales sean lineales, y primordialmente cuando se influyen funciones continuas. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas de la algebra, donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica la transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los originales.

3.1.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Sea definida en la función

Se define la transformada de la Laplace de definida por la integral.

, como

Deberá existir una integral impropia y dependiente del parámetro s, es decir, deberá ser convergente para ciertos valores de s. Sólo entonces podrá decirse que existe la transformada de Laplace de , o que es L transformable. El parámetro s se considera aquí real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes variables.

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3.1.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE LA EXISTENCIA PARA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. Antes de enunciar el teorema de la transformada de la Laplace de una función es preciso un concepto para el teorema de existencia de la TL(Transformada de Laplace) de una función. Orden exponencial: se dice que una función existen constantes positivos T y M tales que:

es de orden exponencial α si

En otras palabras, una función es de orden exponencial α, si se puede encontrar una función exponencial adecuada que esté por encima de la función a partir de un valor determinado para t. Teorema de la existencia de la TL: Si exponencial α entonces

es una función en .

y de orden

3.2 TRANSFORMADA DIRECTA. Utilizando la formula general:

3.3 TRANSFORMADA INVERSA. La Transformada Inversa de Laplace de una función F (s) es una función única , que es continua en [0, ∞), tal que satisface . En otras palabras, la transformada inversa de Laplace de una función F (s) es una función f (t) cuya TL sea F (s). Una función definida en un intervalo tiene una transformada inversa de Laplace si existe una función tal que Nota: A la transformada inversa de una función se le denota con la letra minúscula correspondiente a la de su transformada o utilizando el operador transformada inversa

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3.4 PROPIEDADES TRANSFORMADA DE LAPLACE. También, las propiedades básicas de la transformada de Laplace implican propiedades de la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si v y w tienen transformada inversa, se tiene:

3.4.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS. Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas. Decimos que una función

f : [a,b] -->

R

es continua a trozos si

1.- f está definida y es continua en todo X E [a,b] salvo en un número finito de puntos Xk para BAUTISTA CRUZ ADILENE.

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k= 1,2...n 2.- Para cada X E [a,b] los limites

Existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si X0 es uno de los extremos de [a,b].

3.4.2 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO.

Función escalón unitario o Heaviside es una función que se utiliza muy comúnmente en el estudio de análisis de señales se define a continuación:

Cuya grafica es la siguiente:

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Desplazamiento y amplitud de u(t) Sea la función

Donde A es una constante. Tal vez se trate de un caso especial de la función exponencial.

Donde α = 0 La función escalón indefinida queda t=0 su transformada de Laplace está dada por la expresión siguiente, la transformada obtenida es válida en todo el plano s excepto en el polo.

3.4.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (LINEALIDAD, TRANSLACIÓN). Sea reales.

funciones de orden exponencial en

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constantes

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3.4.4 TRANSFORMADA DE FUNCIONES “TN” Y DIVIDIDAS ENTRE “T”.

MULTIPLICADAS

− Multiplicación por tn.

 División por t:

3.4.5 TRANSFORMADA DE DERIVADAS TEOREMAS.

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En general, inducción. Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Se reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por s”, transformándose una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en una algebraica.

3.4.6 TRANSFORMADA DE INTEGRALES TEOREMAS. Sea

y definamos la función:

Que obviamente está bien definida y es continua para todo . La relación entre las Transformadas de Laplace de ambas funciones viene por lo siguiente:

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3.4.7 TEOREMA DE CONVOLUCIÓN. Un teorema muchas veces útil en la solución de transformadas de Laplace es el llamado: teorema de convolución. De seguro que cualquiera que se halla relacionado con la transformada de la Laplace fácilmente puede decir que la trasformada del producto de dos funciones no es igual al producto de sus transformadas. Sin embargo el teorema de convolución aplicando una sencilla formula hace que si sean el producto de sus transformadas. La convulación de dos funciones continúas por tramos de orden exponencial en es la función definida en por:

Estableciendo el siguiente teorema;

3.4.8 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA. Las funciones periódicas son bastante importantes en ingeniería debido a que su periodicidad las hace controlables. Sea una función periódica con periodo T. Entonces

Realizando cambios de variable en las integrales y usando que la función es periódica de periodo T. tomando diferentes límites se verifica para todo

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3.4.9 FUNCIÓN DELTA DIRAC O FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO INSTANTÁNEO. Se entiende por función impulso

Puede servir de modelo para representar una fuerza o excitación de magnitud constante

que actúa sobre un sistema durante un tiempo

, desde t=0,

proporcionando al sistema un impulso total unitario.

Utilizando la siguiente formula:

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3.4.10 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN DELTA DIRAC. Es posible obtener la transformada de Laplace de la Función Delta de Dirac con hipótesis formal de que: Teorema “Propiedades de la función delta” La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades:

El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac Para

Demostración Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario

De donde tememos que

Con lo cual

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3.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRANSFORMADA DE LAPLACE. La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones , periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo: Resuelva el siguiente problema de valor inicial

Solución Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que

Y al aplicar la transformada inversa

La gráfica de la solución

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se muestra en la figura1.

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Figura 1

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Bibliografía

Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales . 5° Edición. D.R.2011 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Ayres, F. Ecuaciones Diferenciales. Serie Schaum, McGraw-Hill, 1969. Derrick/ Grossman. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano, 1984.

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