Integración por Sustitución Simple PDF

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Apuntes y ejercicios propuestos sobre el método de sustitución simple...

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Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias B´asicas Departamento de Matem´aticas C´alculo Integral (Econ´omicas)

Integraci´ on por sustituci´ on Definici´ on 1. Regla de sustituci´ on Si u = g(x) es una funci´on derivable cuyo rango es un intervalo I y f es continua sobre I, entonces Z Z ′ f (g (x)) g (x)dx = f (u)du Uso de la integraci´ on por sustituci´ on

R

f (x)dx

Paso 1. Se elige una sustituci´on u = u(x) que “simplifique” el integrando f (x). Paso 2. Se expresa toda la integral en t´erminos de u y du = u′ (x)dx. Esto significa que todos los t´erminos que contienen x y dx deben ser transformados en t´erminos que contienen u y du. Paso 3. Cuando termina el paso 2, la integral dada deber´a tener la forma Z Z f (x) dx = g(u) du Si es posible, se calcula esta integral transformada encontrando una antiderivada G(u) de g(u). Paso 4. Se reemplaza u por u(x) en G(u) para obtener una antiderivada G(u(x)) de f (x), de manera que Z f (x) dx = G (u(x)) + C Ejemplo 1: Eval´ ue

R√ 2x + 1dx.

Soluci´on: 1 Sea u = 2x + 1. Entonces du = 2 dx, de modo que dx = du. De esta forma, la regla de sustituci´on da 2 Z Z Z √ √ 1 1 2x + 1dx = u · du = u1/2 du 2 2 1 1 u3/2 + C = u3/2 + C = · 3 2 3/2 1 = (2x + 1)3/2 + C 3 Comprobando Sea

1 g(x) = (2x + 1)3/2 + C 3    √ 3 1 (2x + 1)1/2 (2) = 2x + 1 g ′ (x) = 3 2

Ejemplo 2: Encuentre Z

x √ dx. 1 − 4x2

Soluci´on: −1 du y Sea u = 1 − 4x2 . Entonces du = −8x dx, de manera que x dx = 8 Z Z −1 −1 1 √ du = √ dx = u−1/2 du u 8 8 1 − 4x2 Z x −1 √ −1 = (2 u) + C = 8 p 1 − 4x2 + C 1 4

Comprobando Sea g(x) = g ′ (x) =



−1 4

−1 p 1 − 4x2 + C 4

  x 1 −1 (−8x)(1 − 4x2 )−1/2 = √ (1 − 4x2 )−1/2 (−8x) = 8 2 1 − 4x2

Ejemplo 3: Halle Z

√ 2x + 7dx

Z

x3 ex

Soluci´on: 1 Sea u = 2x + 7. Entonces du = 2 dx, de modo que dx = du 2   Z Z √ √ 1 du 2x + 7dx = u 2 Z 1 u1/2 du = 2 1 u3/2 1 = + C = u3/2 + C 2 3/2 3 1 3/2 = (2x + 7) + C 3 Ejemplo 4: Halle 4 +2

dx

Soluci´on: 1 Sea u = x4 + 2. Entonces du = 4x3 dx, de modo que x3 dx = du 4   Z Z 1 4 du x3 ex −2 dx = eu 4 1 u = e +C 4 1 x4 +2 = e +C 4 Ejemplo 5: Halle Z

Soluci´on:

10x3 − 5x √ dx x4 − x2 + 6

Sea u = x4 − x2 + 6. Entonces du = 4x3 − 2x dx = 2(2x3 − x)dx entonces Z

1 du = 2x3 − x dx 2

Z Z 10x3 − 5x 5(2x3 − x) (2x3 − x) dx √ √ dx = dx = 5 √ 4 4 2 x − x2 + 6 x4 − x2 + 6 Z x −x +6Z 5 1 √ du = (u)−1/2 du =5 2 2 u 5 1 1/2 u + C = 5u1/2 + C = 2 1/2 p = 5 x4 − x2 + 6 + C

Ejemplo 6: Se estima que el precio p (d´olares) de cada unidad de un cierto art´ıculo cambia a una tasa de dp −135x = √ dx 9 + x2 donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el n´ umero de unidades compradas a ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades (x = 4) cuando el precio es de $30 por unidad. 2...