Integrale indefinito esercizi 1 PDF

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L’Integrale Indefinito - Esercizi Andrea Scozzari Prima di presentare gli esercizi, di seguito si riporta la tabella degli intregrali fondamentali: integrale R dx R n R x1 dx R xxdx e dx R √ 1 2 dx ) R (1−x 1 dx R (1+x2 ) R sin xdx R cos1 xdx dx cos2 x

soluzione x+c xn+1 + c (n 6= −1) n+1 ln |x| + c ex + c arcsin x + c arctan x + c − cos x + c sin x + c tan x + c

Risolvere i seguenti integrali: R x 1. x+1 dx. Per ricondurre il calcolo dell’integrale al calcolo di un integrale gi`a noto, un metodo particolarmente frequente consiste nel decomporre la funzione integranda nella somma di due o pi` u funzioni. Una tecnica molto semplice `e la seguente; si somma e si sottrae una stessa quantit`a al numeratore della funzione integranda. In questo caso si somma e si sottrae 1, ottenendo: Z Z Z Z Z x+1−1 1 1 x dx = dx = (1 − )dx = 1dx − dx. x+1 x+1 x+1 x+1 R 1 Se consideriamo x+1 dx, si osserva che il numeratore della funzione integranda `e la derivata prima della funzione a denominatore, ossia, f ′ (x) = dxd (x + 1) = 1. Pertanto, R ′ (x) dx, che a sua volta `e riconquesto integrale `e riconducibile ad una forma del tipo ff (x) R 1 ducibile alla forma: x dx. Dunque, utilizzando la tabella degli integrali noti risulta: Z Z Z 1 1 dx = x − log |x + 1| + c. (1 − )dx = 1dx − x+1 x+1 **** 1

2.

R

1 dx. x2 +4x+5

Anche in questo caso possiamo escogitare un piccolo “accorgimento” per ricondurci al calcolo di un integrale noto. Consideriamo il denominatore della funzione integranda, x2 + 4x+ 5 che possiamo scrivere anche come: (x2 + 4x+ 4) + 1. Si osserva che (x2 + 4x + 4) `e il quadrato del binomio (x + 2)2 , pertanto l’integrale diventa: Z Z 1 1 dx = dx. 2 x + 4x + 5 (x + 2)2 + 1 Osserviamo che se indichiamo con f (x) = (x + 2), la sua derivata prima risulta f ′ (x) = 1. Pertanto, l’integrale assume la forma: Z Z Z 1 f ′ (x) 1 dx. dx = dx = 2 2 f (x)2 + 1 (x + 2) + 1 f (x) + 1 R Dalla tabella precedente l’integrale cos`ı riscritto `e della forma: x21+1 dx, da cui: Z 1 dx = arctan f (x) + c = arctan(x + 2) + c. f (x)2 + 1 **** 3.

R

1 dx. 4x−3

Anche in questo caso dobbiamo trasformare la funzione integranda. Un modo alternativo per affettuare tali trasformazioni, oltre a quello di sommare e sottrarre una stessa quantit`a, `e quello di moltiplicare e dividere per una stessa quantit`a, ossia: Z Z 4 1 1 dx = dx. 4x − 3 4 4x − 3 Se consideriamo la funzione a denominatore della funzione integranda e calcoliamo la derivata prima si ha: dxd (4x − 3) = f ′ (x) = 4. Pertanto, la funzione pu`o essere riscritta nella forma: Z ′ Z 1 f (x) 4 1 dx. dx = f (x) 4x − 3 4 4 R Questo integrale `e noto, ed `e inoltre riconducibile alla forma: 1x dx, da cui: 1 4

Z

4 1 dx = 4x − 3 4

Z

f ′ (x) 1 1 dx = log |f (x)| + c = log |4x − 3| + c. 4 f (x) 4

2

**** 4.

R

x dx. x−1

Questo `e un integrale della stessa forma dell’integrale nell’esercizio n.1. Infatti, se aggiungiamo e togliamo 1 a numeratore della funzione integranda si ha: Z Z Z x x−1+1 1 dx. dx = dx = 1dx + x−1 x−1 x−1 Ragionando, dunque, allo stesso modo si ottiene: Z Z 1 = x + log |x − 1| + c. 1dx + x−1 **** 5.

R

x4 + 5x3 − x2 + 4x + 3 dx.

Questo `e un integrale molto semplice che pu` o essere risolto semplicemente applicando la propriet`a di linearit` a degli integrali. Pertanto, l’integrale dato pu` o essere riscritto: Z

4

3

2

x + 5x − x + 4x + 3 dx =

Z

4

x dx + 5

Z

3

x dx −

Z

2

x dx + 4

Z

xdx +

R Questi sono tutti integrali nella forma: xn dx, pertanto: Z x5 x2 x4 x3 x4 + 5x3 − x2 + 4x + 3 dx = + 4 + 3x + c. +5 − 2 3 4 5

3

Z

3 dx....