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Modulo 7 - Semplici esercizi sui Limiti Andrea Scozzari Calcolare i seguenti limiti: 1 ; x→3 (2x−1)

1. lim

√ 2. lim (x + 2 x); x→+∞

3. lim

x→5



2 (x−5)2

4. lim

 +x ;

 sin( 1 )+2  x

x→+∞

x

;

1

5. lim x3 e x2 ; x→−∞

6. lim x→−2

ln(x+2) . (x+2)

1

Soluzioni Consiglio: Cercare di risolvere gli esercizi senza guardare prima le risposte! 1 `e una funzione razionale fratta il cui dominio `e dom f = 1. La funzione f (x) = (2x−1) 1 R\{ 2 }. Dunque la funzione `e definita per x = 3 ed `e anche continua in x = 3. Allora, dalla continuit`a della funzione, per calcolare il limite basta sostituire ad x nella funzione 1 il valore 3, ottenendo: (2x−1)

1 1 1 = = x→3 (2x − 1) (6 − 1) 5 lim

*** √ 2. La funzione f (x) = (x + 2 x) `e definita per tutti gli x non negativi, altrimenti si dovrebbe effettuare il calcolo di una radice quadrata di un numero negativo. Allora dom f = [0, +∞). Possiamo applicare la regola del limite di una somma di due funzioni, dove le due funzioni √ sono: la funzione h(x) = x che `e definita e continua su tutto R e la funzione g(x) = 2 x che `e definita e continua in [0, +∞). Allora, se x → +∞ avremo: √ √ lim (x + 2 x) = lim x + lim 2 x) = +∞

x→+∞

x→+∞

x→+∞

*** 3. la funzione di cui si vuole calcolare il limite pu`o essere vista come la somma delle due 2 funzioni f (x) = (x−5) 2 e g(x) = x. Applichiamo la regola del limite della somma di due 2 e una funzione o pi` u funzioni. Consideriamo, allora, la funzione f (x) = (x−5) 2 . Questa ` razionale fratta ed `e tale che dom f = R\{5}. Quindi 5 `e un punto di accumulazione per f (x). Al tendere di x a 5, il denominatore di f (x) tende a 0 e dunque il valore di tutta la frazione tender`a a +∞. La funzione g(x) essendo definita e continua in tutto R tende al valore 5 quando x tende a 5. Per cui si ha: lim

x→5



 2 + x = +∞ + 5 = +∞. 2 (x − 5) ***

4. La funzione

sin( 1 )+2 x x

la possiamo riscrivere come il prodotto di due funzioni: 1 1 (sin( ) + 2) · x x

Consideriamo per il momento solo la funzione sin x1 . Questa, a sua volta, pu`o vedersi come una funzione composta F (x) = f [g (x)] con f (t) = sin t e t = x1 . Allora, la funzione F (x) `e definita in tutto R tranne nel punto x = 0 in cui il denominatore di x1 (cio`e il denominatore dell’argomento della funzione sin(·)) non `e definito. Dato che anche la (singola) funzione 1 `e definita in tutto R\{0}, si ha che tutta la funzione (sin(x1) + 2) · x1 `e definita in R\{0}. x 2

Calcoliamo il limite applicando la propriet`a del limite del prodotto tra due o pi` u funzioni e ricordando che lim 1x = 0: x→+∞

lim

x→+∞

 sin( x1 ) + 2  x

= lim

x→+∞



1 1 1 1 (sin( )+2)· = lim (sin( )+2)· lim = (sin 0+2)·0 = 0. x→ + ∞ x→ + ∞ x x x x ***

1 x2

5. La funzione x3 e pu`o essere vista come il prodotto di due funzioni, ossia la funzione 1 h(x) = x3 e la funzione F (x) = ex2 , che a sua volta e` una funzione composta del tipo 1 F (x) = f [g(x)] con f (t) = et e t = x12 , il cui dominio ´e: dom e x2 = R\{0}. Dato che il polinomio di terzo grado x3 `e definito su tutto R, si ha che il dominio della funzione 1 x3 e x2 `e di conseguenza R\{0}. Applicando la regola del limite del prodotto tra funzioni, e ricordando che lim x12 = 0 si ha: x→±∞

1

1

lim x3 e x2 = lim x3 · lim e x2 = −∞ · e0 = −∞ · 1 = −∞.

x→−∞

x→−∞

x→−∞

*** x+2) che possiamo riscrivere come 6. Consideriamo il dominio della funzione f (x) = ln((x+2) 1 f (x) = ln(x + 2) · x+2 . Sappiamo che la funzione logaritmo e` definita quando il suo argomento `e strettamente maggiore di zero. Di conseguenza x + 2 > 0 se e solo se x > −2. 1 , il suo dominio `e: R\{−2}. Allora, per la funzione Per la funzione razionale fratta x+2 ln(x+2) f (x) = (x+2) si ha che dom f = (−2, +∞). Calcoliamo il limite per x → −2 dove −2 `e punto di accumulazione per f (x). Allora, dalla propriet`a del limite del prodotto tra due o pi` u funzioni, risulta:

lim

x→−2

1 ln(x + 2) 1 = ln 0 · + = −∞ · +∞ = −∞. = lim ln(x + 2) · lim x→−2 (x + 2) x→−2 (x + 2) 0

Si noti che l’espressione (−∞) · (+∞) NON `e una forma indeterminata.

3...