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UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

INFORME INTÉRVALOS DE TOLERANCIA NO PARAMÉTRICOS

Profesora: Jennyfer Portilla Yela Métodos estadísticos

Santiago de Cali Abril de 2019

INTÉRVALOS DE TOLERANCIA NO PARAMÉTRICOS Facultad de ingeniería, Universidad del Valle, Santiago de Cali - Colombia Resumen El presente informe muestra la información recolectada y comprendida acerca de intervalos de tolerancia para datos no paramétricos, a la que se llegó mediante investigación secundaria. Se partió del significado de la estimación por intervalos como importante herramienta de la estadística. Posteriormente, se desprende el significado de la estadística no paramétrica, donde la variable de interés de la población no tiene una distribución normal o la muestra no sea tan grande para aproximarse a ella. Después de haber esclarecido el concepto de no paramétrico, se realizó lo mismo con el de intervalos de tolerancia. Estos establecen el rango en el que se encontrará la variable de estudio de una proporción determinada de la población, con un nivel de confianza dado. Finalmente, se utilizaron ambos conceptos para explicar que un intervalo de tolerancia no paramétrico es un intervalo con límites en los que no se asume normalidad y que representa a una porción dada de la población. Introducción Una de las herramientas más importantes que ofrece la estadística es la estimación por intervalos. Cuando se busca conocer alguna característica de interés sobre una población que se está estudiando, se realiza una estimación de dicha característica a partir, solamente, de una parte del total de la población, debido a la alta complejidad y costo que tiene, casi siempre, observar a cada uno de sus elementos. Es decir, se apunta a un valor que no es exactamente el de la población, pero que se aproxima a este, con algún nivel de confianza. Lo anterior demuestra que existe incertidumbre de que el valor estimado no revele el valor que se busca sobre la población. Dicha incertidumbre se disminuye al realizar una estimación por intervalo, que consiste en indicar dos valores entre los que probablemente se encuentra el de la población, para así tener más posibilidades de dar con él. La estadística ofrece tres tipos de estos intervalos que se utilizan según los requerimientos de lo que se quiere estimar. Por sus crecientes aplicaciones en la industria, control de calidad y monitoreo ambiental (Krishnamoorthy, K. y Mathew, T. 2009), que demuestran el valor de que se conozca y se reflexione sobre el tema, en los siguientes párrafos se hablará de uno de los intervalos menos estudiados en el aprendizaje general de la materia métodos estadísticos , el intervalo de tolerancia; aplicado al caso de los datos no paramétricos, que tienen un importante campo de aplicaciones y son el objetivo de estudio del informe.

1. Estadística no paramétrica En la rama de la estadística inferencial (que es la que abarca las estimaciones sobre características poblacionales a partir de una muestra) pueden encontrarse dos subdivisiones, la estadística paramétrica y la estadística no paramétrica. La primera contiene todos los métodos y pruebas que se hacen cuando la población puede asumirse normal; esta característica es la principal diferencia entre las dos subdivisiones. Cuando es desconocida la distribución a la que se acoge la población y el tamaño de muestra no es lo suficientemente grande para asumir que se aproxima a la normal (este es un requisito de la estadística paramétrica), o se trabaja con variables nominales u ordinales, se recurre a los métodos estadísticos no paramétricos, también llamados métodos de distribución libre, para hacer estimaciones. El «no paramétricos» de su nombre se refiere a que no deben cumplirse unos criterios paramétricos, como tener distribución normal, un tamaño de muestra grande y variables a intervalo o razón, entre otros, que son condiciones para que los métodos paramétricos sean válidos. Así, los no paramétricos pueden aplicarse en muchos más casos conservando su validez, pues exigen pocas condiciones. Sin embargo, estas no están libres de no necesitar que se cumplan alguno supuestos para poder ser aplicadas. Las pruebas no paramétricas requieren, fundamentalmente, que las muestras vengan de una misma distribución y que esta sea continua. Dichos supuestos son básicos y mucho menos numerosos que los que deben cumplirse para hacer un uso efectivo de su rama compañera en la estadística inferencial. 2. Intérvalos de tolerancia no paramétricos En la estadística se utilizan tres tipos de intervalo para sacar conclusiones acerca de las poblaciones de estudio. Uno de ellos es el intervalo de tolerancia, el cual responde a la necesidad de saber qué parte de la población se encuentra representada en el intervalo escogido. El intervalo no se utiliza especialmente para hacer una estimación acerca de parámetros de la población, sino para garantizar que será efectivo al utilizarse varias veces en diferentes muestras. Para formalizar un poco más el concepto, se puede decir que un intervalo de tolerancia está hecho de dos valores que contienen un parámetro de la población, dentro de los cuales se encuentra una proporción dada de la población a un nivel de confianza dado. El intervalo de tolerancia será no paramétrico cuando no se asuma normalidad de la variable de estudio (datos no paramétricos). Para su construcción, se proporciona un valor de confiabilidad (1-⍺) y la proporción de la población que se quiere representar en el intervalo. Estos dos valores suelen elegirse cercanos a uno (dependiendo de la situación que se vaya a estudiar y las necesidades), pues se quiere saber que gran parte de la población está descrita en el intervalo y que para diferentes muestras va a contener el dato que se busca estimar. Después, se procede a determinar estadísticos de orden que permitan trabajar con los datos no paramétricos, teniendo en cuenta el tamaño de la muestra y los dos valores porcentuales dados inicialmente. El cálculo manual para construir estos intervalos es de una alta complejidad y en sus aplicaciones se utilizan opciones computacionales para hacerlo; por ello, y porque el objetivo del informe es fundamentalmente presentar los conceptos para saber

qué es un intervalo de tolerancia no paramétrico, se omite la explicación matemática de su construcción (véase la sección 8.4 del libro Statistical Tolerance Regions. Theory, Applications and Computation de Krishnamoorthy y Mathew para conocer una explicación del cálculo de los intervalos). Como existe para los demás tipos de intervalo, este puede darse en tres tipos: unilateral superior, unilateral inferior y bilateral. El primero expresa el valor máximo que toma el parámetro buscado con un nivel dado de confiabilidad para una proporción de la población. El segundo dice que cierta proporción de la población presenta como mínimo el valor del intervalo para el parámetro buscado, con un nivel dado de confiabilidad. El tercer tipo de intervalo muestra dos valores entre los cuales, para una cierta proporción de la población, se encuentra el parámetro que se quiere estimar, a un nivel dado de confiabilidad. El ejemplo más común del uso de este tipo de intervalo es en la industria de manufactura. En ella aparece la necesidad de cumplir unos requerimientos de calidad que tienen los clientes de las piezas que se fabrican. Si el intervalo de tolerancia que describe una de las características de la forma del producto (bien sea la longitud, resistencia, peso, algún diámetro, etc.), se calcula para una parte grande la población, con un alto nivel de confianza, y este es bastante más amplio que el que requiere el cliente, habrá alta probabilidad de que las piezas producidas no cumplan con las características. A continuación presentaremos un ejemplo numérico para comprender mejor el uso y la interpretación de los intervalos de tolerancia no paramétricos: Ejemplo:Un fabricante desea evaluar la variabilidad de su proceso de blanqueo del papel. El fabricante recoge 200 muestras de pulpa de forma aleatoria y registra el nivel de brillo. El fabricante desea calcular un rango dentro del cual se pueda esperar que se encuentre el brillo de al menos 99% de los lotes. Intervalo de tolerancia: Brillo Método Distribución

Weibull

Nivel de confianza

95%

Porcentaje de población en el intervalo 99% Estadísticas Variable N Media Desv.Est. Brillo 200 82.757

3.358

Parámetros de distribución Variable Forma Escala Brillo 30.171 84.252

Intervalo de tolerancia de 95% Método de Variable

Weibull

Método no paramétrico

Confianza lograda

Brillo (69.059, 89.684) (70.570, 90.050)

59.54%

El nivel de confianza alcanzado se aplica sólo al método no paramétrico. Interpretar los resultados La gráfica de probabilidad muestra que los puntos graficados se encuentran a lo largo de la línea ajustada de la distribución de Weibull, lo que indica que los datos siguen una distribución de Weibull. Además, el valor p de la prueba de bondad de ajuste es 0.178, que es mayor que el nivel de significancia de 0.05. Puesto que usted no puede concluir que los datos no siguen la distribución de Weibull, puede utilizar el intervalo para la distribución de Weibull. El intervalo de Weibull va desde aproximadamente 69.1 hasta 89.7, así que el fabricante puede estar 95% seguro de que al menos el 99% de todos los lotes de pulpa estarán dentro de este intervalo. Para todos los lotes de pulpa, el nivel medio de brillo es aproximadamente 82.8.

Conclusiones De acuerdo con la información comprendida de la anterior investigación secundaria, se concluye que los intervalos de tolerancia no paramétricos representan la proporción de la población que se encuentra en el intervalo escogido cuando la variable de interés que no se distribuye normal. Adicionalmente, para poder utilizar este tipo de intervalos se deben cumplir dos condiciones fundamentales que son: las muestras vengan de una misma distribución y que esta sea continua.

Por otro lado, se observó que estos intervalos mediante los ejemplos presentados en el informe y la bibliografía de Krishnamoorthy, K. y Mathew, T. Statistical Tolerance Regions. Theory, Applications and Computation tienen importantes aplicaciones en la industria manufacturera, como por ejemplo para el control de calidad de estas empresas, y como una manera de poder asegurar la interpretación de uno de los mayores problemas para la humanidad, que es el cambio climático. Se propone indagar profundamente sobre los intervalos de tolerancia no paramétricos por la libertad (pocas condiciones para su uso) que ofrecen para asegurar la confianza en la representación de la población en los estimadores calculados. Además, porque permite tener una herramienta segura para diversas aplicaciones que en el presente y en el futuro, son y serán importantes para el desarrollo de la sociedad. En vista del mejoramiento continuo de la calidad de las empresas, la solución y predicción certera de los cambios climáticos en el planeta. Bibliografía Krishnamoorthy, K. y Mathew, T. (2009) Statistical Tolerance Regions. Theory, Applications and Computation (Regiones de tolerancia estadísticas. Teoría, aplicaciones y computación). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Encontrado en: https://epdf.tips/queue/statistical-tolerance-regions-theory-applications-and-computation-wile y-series-i.html Mark, J. Nelson (agosto de 2011). You might want a tolerance interval (Podrías querer un intervalo de tolerancia). Recuperado http://www.kmjn.org/notes/tolerance_intervals.html Molina, M. (junio de 2013). Los parientes pobres. [Entrada de un blog] Ciencia sin seso… locura doble. Píldoras sobre medicina basada en pruebas. Recuperado de: https://www.cienciasinseso.com/tag/intervalo-de-tolerancia/ NIST/SEMATECH (2003). Tolerance intervals for a normal distribution. e-Handbook of Statistical Methods (Manual electrónico de métodos estadísticos). Recuperado de: https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc263.htm Rojas Dávila, M. A. (2003). Estadística no paramétrica. Técnicas Estadísticas Paramétricas y No Paramétricas Equivalentes: Resultados Comparativos Por Simulación. (pp. 33-34). Tesis de grado. Escuela Superior Politécnica del Litoral, Guayaquil, Ecuador. De: http://www.iuma.ulpgc.es/~nunez/mastertecnologiastelecomunicacion/RecursosGenerales/Te sisEstadisticaParametricayNoParametrica.pdf Ejemplo numérico de los intervalos de tolerancia no paramétricos. https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/quality-and-process-improve ment/quality-tools/how-to/tolerance-intervals-nonnormal-distribution/before-you-start/examp le/...