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Introducción+a+las+cónicas+ Por: Sandra Elvia Pérez Márquez

Las cónicas fueron descubiertas a partir de los cortes de un cono por medio de un plano, lo interesante de estas curvas son las propiedades que cada una de ellas posee.

Parábola( Seguramente alguna vez has escuchado hablar de las antenas parabólicas, es más, es muy probable que las conozcas al menos de lejos. Este tipo de antenas son muy utilizadas en las comunicaciones, ya que poseen la propiedad de enviar y recibir señales a través del foco.

Figura 1. Parkes 1 (Kelly, 2006).

Una antena parabólica se basa en las propiedades de la parábola. Al respecto Ruiz (2008) dice:

“Una parábola es una curva constituida por puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz (p. 266)”.

Figura 2. Elementos de la parábola.

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Elipse(

¿Recuerdas que alguna vez en la primaria te dijeron que los planetas giraban alrededor del sol? Johannes Kepler descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen el sol como uno de sus focos.

Figura 3. Solar sys2 (NASA, s.f.).

“Una elipse es una curva formada por puntos del plano para los cuales es constante la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos” (Ruiz, 2008, p. 308).

Figura 4. Elementos de la elipse.

( 2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Hipérbola(

Los sistemas modernos de navegación utilizan las propiedades de la hipérbola para localizar la posición de un barco o de un avión a través del sonido.

Figura 5. PS Uri 1 (Bregazzi, 2008).

De acuerdo con Ruiz (2008):

“Una hipérbola es una curva formada por puntos del plano para los cuales es constante la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos” (p. 342).

Figura 6. Elementos de la hipérbola.

3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Circunferencia( ¿Te puedes imaginar un mundo sin la circunferencia?, ¿cómo serían las llantas de los carros?

Fue una de las figuras más utilizadas por los aztecas, por ejemplo, en su calendario. Hoy en día la podemos observar casi en cualquier lugar. Figura 8. Front tire and 17 inch Wheel of FUGA (TTTNIS, 2009). Figura 7. Mayan Calander Stock Photo (Victor Habbick, 2009).

“Una circunferencia es una curva formada por puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro” (Ruiz, 2008, p. 308).

El punto fijo es llamado centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.

Figura 9. Elementos de la circunferencia.

Ecuación(general(de(segundo(grado( Por lo anterior, es evidente que las cónicas son parte de nuestras vidas. Para poder utilizar cada una de sus propiedades es importante identificarlas y diferenciarlas entre sí. Matemáticamente una cónica tiene la siguiente ecuación:

4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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A esta ecuación se le llama ecuación general de segundo grado. A través de ella se puede obtener cualquier tipo de cónica con sólo modificar sus coeficientes. En la tabla 1 observa algunos ejemplos:

Ecuación

Coeficientes

Gráfica

A=3

Hipérbola

3x 2 + 8xy − 2 y 2 − x + y + 6 = 0

B=8 C=-2 D=-1 E=1 F=6 A=2

Parábola

2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 − x + y + 6 = 0

B=4 C=2 D=-1 E=1 F=6 A=4 B=4

Elipse

4 x2 + 4 xy + 2 y 2 + x − y − 6 = 0

C=2 D=1 E=-1 F=-6

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A=4 B=0

Circunferencia

4x 2 + 4 y 2 + x − y − 6 = 0

C=4 D=1 E=-1 F=-6

Tabla 1. Ejemplos de cónicas.

Compara los valores de los coeficientes de la hipérbola y de la parábola, ¿cuáles son los coeficientes que cambiaron? Ahora compara los coeficientes de la elipse y de la circunferencia, ¿cuáles son los coeficientes que cambiaron?

¡Claro! Los coeficientes que cambian son solamente A, B y C.

Discriminante(de(la(ecuación(general(de(segundo(grado( Debido a que al modificar los coeficientes A, B y C de la ecuación general de segundo grado se obtienen diferentes cónicas, es posible determinar, mediante un análisis, las relaciones entre A, B y C, así como qué tipo de cónica está representando la ecuación general de segundo grado. Las constantes A, B y C están relacionadas mediante la expresión:

Esta expresión se conoce como discriminante de la ecuación de segundo grado.

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Calcula el discriminante de las ecuaciones que están en la tabla 1 y trata de establecer qué parámetros debe tener para distinguir si se trata de una parábola, una hipérbola, una elipse o una circunferencia. En la tabla 2 se muestran los cálculos de cada discriminante.

Ecuación Hipérbola

3x 2 + 8xy − 2 y 2 − x + y + 6 = 0

2x + 4 xy + 2 y 2 − x + y + 6 = 0

C=-2

A=2, B=4, C=2

Elipse 2

4 x + 4 xy + 2 y 2 + x − y − 6 = 0 4x + 4y 2 + x − y − 6 = 0

B 2 − 4AC = ( 4) 2 − 4(2)( 2) = 0

2

A=4,

B=4, C=2

B 2 − 4 AC = (4) − 4(4)( 2) = −16

A=4,

B=0, C=4

B 2 − 4 AC = (0) 2 − 4(4)( 4) = −64

Circunferencia 2

B 2 − 4AC = (8) − 4(3)(−2) = 88 2

A=3, B=8,

Parábola 2

Discriminante B 2 − 4 AC

Coeficientes

Tabla 2. Cálculos de cada discriminante.

Observa los valores del discriminante para cada gráfica y reflexiona sobre la forma de distinguir el tipo de cónica, tómate unos minutos.

¿Listo(a)?, ¿ya lo tienes? Toma nota de tus conclusiones y continúa con la lectura para saber si tus observaciones coincidieron o no.

Observaciones:( • • •

Cuando el valor del discriminante es positivo (se obtiene una hipérbola). Si el valor del discriminante es igual a cero (se tiene una parábola). Si el valor del discriminante es negativo (se trata de una elipse o de una circunferencia).

Utiliza otra vez la observación para poder definir si es una elipse o una circunferencia. ¿Cómo son los valores de los coeficientes de A y C en la circunferencia?, ¿cuál es el valor de B en la circunferencia? Efectivamente, los coeficientes A y C en una circunferencia son iguales y el valor de B es igual a cero. En el caso de la elipse, A y C siempre son distintos. 7 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Nota: la circunferencia se considera como un caso especial de la elipse, pero debido a la importancia que tiene se estudia de una manera particular.

En la tabla 3 se muestra, con base en el discriminante B 2 − 4 AC , cómo puedes determinar qué tipo de cónica es. Observa que aun cuando el discriminante es positivo, negativo o cero, pueden darse casos en que la ecuación general de segundo grado no represente la gráfica de una cónica. Condición

Gráfica

a)

B 2 − 4 AC > 0

Hipérbola o su caso degenerado dos rectas que se cruzan.

b)

B 2 − 4 AC = 0

Parábola o su caso degenerado dos rectas paralelas.

c)

B2 − 4 AC < 0

Elipse, circunferencia o su caso degenerado un punto.

Tabla 3. Condiciones que generan las diferentes gráficas de las cónicas.

¿Qué(es(un(caso(degenerado?(

Un caso degenerado es cuando, a pesar de tener una ecuación de segundo grado, al construir la gráfica en lugar de obtener una cónica, se tienen dos rectas que se cruzan (como en el caso de la hipérbola) o dos rectas paralelas (como en el caso de la parábola). Para la elipse o la circunferencia su caso degenerado es un punto.

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En la tabla 4 observa unos ejemplos.

Ecuación

Coeficientes

Gráfica

Dos rectas que se cruzan (caso degenerado de la hipérbola)

2 x 2 − 3xy − 2 y 2 + x + 8 y − 6 = 0 Discriminante

B 2 − 4AC = (− 3) 2 − 4(2)( −2) = 25 Como puedes observar, al calcular el discriminante el valor obtenido es mayor que cero, lo que indica que es una hipérbola, sin embargo, al graficar lo que se obtiene es un par de rectas que se cruzan.

A=2 B=-3 C=-2 D=1 E=8 F=-6

Dos rectas paralelas (caso degenerado de la parábola)

x 2 − 2 xy + y 2 + x − y − 6 = 0 Discriminante

B − 4 AC = (− 2) − 4(1)(1) = 0 2

2

En este caso al calcular el discriminante el valor obtenido es cero, lo que indica que es una parábola, sin embargo, al graficar lo que se obtiene es un par de rectas paralelas.

A=2 B=4 C=2 D=-1 E=1 F=6

Tabla 4. Ejemplos de casos degenerados.

Como puedes darte cuenta, identificar qué tipo de cónica es la que contiene una ecuación de segundo grado se realiza mediante la evaluación del discriminante, pero si quieres asegurar si te trata de una cónica o su caso degenerado, será necesario que grafiques.

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Referencias* Ruiz, J. (2008). Geometría Analítica. México: Grupo Editorial Patria.

Referencias*de*las*imágenes** Bregazzi, H. (2008). PS Uri 1. Recuperada de http://www.sxc.hu/photo/1084691 (imagen publicada bajo licencia Royalty free de acuerdo a http://www.sxc.hu/help/7_2). Kelly, O. (2006). Parkes 1. Recuperada de http://www.sxc.hu/photo/529700 (imagen publicada bajo licencia Royalty free de acuerdo a http://www.sxc.hu/help/7_2). NASA. (s.f.). Solar sys2. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Solar_sys2.png (imagen publicada bajo licencia de dominio público de acuerdo a http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). TTTNIS. (2009). Front tire and 17 inch Wheel of NISSAN FUGA. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Front_tire_and_17_inch_wheel_o f_NISSAN_FUGA.jpg (imagen publicada bajo licencia de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). Victor Habbick (2012). Mayan Calander Stock Photo. Recuperada de http://www.freedigitalphotos.net/images/Legends_and_fairy_ta_g415Mayan_Calander_p73281.html (Imagen publicada bajo licencia Public Domain, de acuerdo a: https://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain)

*Bibliografía* Fuller, G. & Tarwater, D. (1999). Geometría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, trads.). México: Pearson Educación. Kindle, J. H. (1999). Geometría Analítica (L. Gutiérrez y A. Gutiérrez, trads.). México: McGraw-Hill. Martínez, M. A. (1996). Geometría Analítica. México: McGraw-Hill.

10 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato....