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INTRODUCCIÓN DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL INGENIERÍA DE FLUIDOS R. Torres

Introducción DFC • Las ecuaciones de la mecánica de fluidos son de esas ecuaciones que ni de lejos pueden ser resueltas de manera general.

• Diferentes aproximaciones para obtener soluciones – Simplificaciones – Análisis dimensional – Experimentación

R. Torres (UPC)

Introducción DFC: aproximaciones a la solución • Simplificaciones – Sin dejar de ser importantes, no permiten la obtención de soluciones para muchos casos de interés en ingeniería como es el caso… – del estudio de flujos complejos debidos a la turbulencia, por ejemplo, o bien… – dominios computacionales y geometrías complejas que exigen… – niveles de detalle que obligan a dejar de lado las simplificaciones. – Los métodos analítico se limitan a problemas muy simplificados en geometrías sencillas. Incluso cuando esto ocurre, si las propiedades no son constantes es imposible encontrar soluciones cerradas.

– Incluso cuando se dispones de soluciones analíticas, en ocasiones son tan complejas que su utilidad en la práctica es nula

R. Torres (UPC)

Introducción DFC: aproximaciones a la solución • Análisis dimensional – Extraordinaria herramienta de análisis de la física en general y de la mecánica de fluidos en particular. – La identificación de las variables de influencia, su agrupación en grupos adimensionales, la metodología idónea para optimizar los recursos experimentales así como compactar los resultados de los ensayos, son algunas de sus características más remarcables.

R. Torres (UPC)

Introducción DFC: aproximaciones a la solución • Análisis dimensional – Extraordinaria herramienta de análisis de la física en general y de la mecánica de fluidos en particular. – La identificación de las variables de influencia, su agrupación en grupos adimensionales, la metodología idónea para optimizar los recursos experimentales así como compactar los resultados de los ensayos, son algunas de sus características más remarcables. – Del análisis dimensional se establecen las relaciones de semejanza (geométrica, cinemática y dinámica) que permiten la extrapolación de los resultados obtenidos sobre modelos a escala, a prototipos a escala real aun cuando es imposible, en la práctica, asegurar las condiciones de semejanza total.

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Introducción DFC: aproximaciones a la solución • Experimentación – La validez de los resultados (siendo éstos un conjunto limitado de observaciones) está limitado por la resolución y exactitud de los medios instrumentales disponibles y…

– No sólo de las prestaciones de esos intrumentos sino de su disponibilidad. – En cualquier caso, la programación, el diseño y la ejecución de los ensayos exigen grandes recursos de tiempo, infraestructura humana y material, y de dinero.

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Introducción DFC: aproximaciones a la solución • Dinámica de fluidos computacional (DFC) – Complementariamente, la evolución de los ordenadores ha permitido desde hace ya tiempo poner a disposición de la comunidad interesada de nuevas técnicas de análisis que tienen por objetivo la resolución de las ecuaciones del flujo haciendo uso de herramientas numéricas que discretizan el dominio de solución espacial y temporalmente. – Etapas • Definición del problema • Discretización • Fase de análisis • Resolución

• Valoración resultados

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Introducción DFC: aproximaciones a la solución • Dinámica de fluidos computacional (DFC)

(Cont.)

– Los métodos numéricos y las simulaciones computacionales incorporan siempre un cierto grado de incertidumbre. Hay que aprender a gestionar y controlar dicha incertidumbre para valorar correctamente los resultados de los experimentos numérico computacionales. – Las soluciones exactas incorporan aproximaciones. Una solución aproximada de un problema físico real suele ser más precisa que la solución exacta de un model matemático poco elaborado (por ejemplo cuando se omiten términos no lineales que complican en general enormemente las manipulaciones matemáticas).

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Introducción DFC: aproximaciones a la solución • Dinámica de fluidos computacional (DFC)

(Cont.)

– Dado que el CFD nunca son completamente exactos, se debe ser muy cuidadoso a la hora de interpretar los resultados debido a • Errores de discretización: intrínseco a todos los métodos numéricos y son el resultado de discretizar el continuo en un número finito de localizaciones espaciales o nodos. • Errores en los datos de entrada: desconocimiento exacto de ciertas propiedades del flujo y del fluido. • Errores en las CI y en las CC: en muchas ocasiones sólo se dispone de información aproximada o parcial de las propiedades en los contornos. • Errores de modelización: los flujo complejos incorporan físicas no bien explicadas como turbulencia, flujos multifásicos, flujos geofísicos y atmosféricos… Que pueden repercutir negativamente en la calidad de las soluciones R. Torres (UPC)

Introducción DFC: aproximaciones a la solución • Dinámica de fluidos computacional (DFC)

(Cont.)

– Pero también pesentan un buen número de ventajas • Pueden ser generados rápidamente, sin costes apreciables y producen información completa y detallada de todas las variables de interés.

• A la hora de realizar análisis paramétricos para el estudio sistemático de la influencia de alguna variable de interés (habitual en ingeniería) así como dar respuesta al “y si…”, no hay mejor alternativa que las simulaciones numéricas computacionales. • Son capaces de simular condiciones reales sin necesidad de recurrir a modelos a escala. • Puede simular condiciones ideales imposibles de realizar en la práctica y así estudiar sólo el efecto de ciertos parámetros relevantes

• Permite explorar situaciones y eventos irrealizables en la práctica como explosiones o fallos en centrales nucleares.

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ETAPAS CFD TERMOFLUIDODINÁMICA COMPUTACIONAL APLICADA

R. Torres

CFD: etapas 1. Definición del problema – Selección del modelo matemático (Navier-Stokes) y valoración de su límite de aceptación. – Introducción de la geometría.

2. Discretización – Discretización del espacio: traducir la geometría en números • El conjunto de puntos que reemplaza el espacio continuo real por un número finito de puntos del espacio se denomina malla o grid. • Su importancia es tal que conviene no olvidar que deben calcularse los valores de las variables de interés en esos puntos de malla.

– Discretización del modelo: traducir el modelo en números • Deben traducirse todos los operadores matemáticos en operaciones aritméticas con los valores de los puntos de malla. • Diferencias finitas (DF), volúmenes finitos (VF), elmentos finitos (EF)…

CFD: etapas 3. Análisis – Ahora se dispone de un conjunto de relaciones algebraicas entre puntos de malla vecinos, una por cada nodo, denominadas esquema numérico. – Dicho esquema debe asegurar unos mínimos de exactitud.

4. Resolución – Obtención de los valores de las variables de flujo en los puntos de malla. – Dependiendo del tipo de problema se requiren técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias o sistemas algebraicos de ecuaciones. – Al final toca resolver algún tipo de sistema de ecuaciones algebraicas que son en general de tamaño considerable.

5. Valoración de resultados – La cantidad de información puede ser enorme. – Importante la experiencia del usuario.

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CFD Etapas: primeras consideraciones • Los métodos numéricos transforman las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) en un sistema de ecuaciones algebraico. – Las EDPs son idóneas para describir el “transporte” de masa, momento y energía. De hecho, en el análisis de flujos (transporte) de fluidos (gases y líquidos), las ecuaciones del movimiento, la de continuidad y la de la energía se pueden combinar en una sola ecuación de conservación. – Las ecuaciones de NS son un sistema de EDPs sin solución general

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CFD Etapas : primeras consideraciones • Clasificación de EDPs – Consideremos la EDP lineal de 2º orden siguiente

Donde A, B…F son funciones de (x,y) pero no de u (esta u puede ser la T, la densidad, la velocidad, la presión etc)

– Si en un punto (x0,y0) se cumple que • B2 - 4AC < 0 • B2 - 4AC = 0 • B2 – 4AC > 0

la ecuación es elíptica es parabólica es hiperbólica

– Dicha clasificación permite sugerir qué métodos de resolución son adecuados así como criterios para valorar si el problema está bien planteado R. Torres (UPC)

CFD Etapas : primeras consideraciones • Ejemplos EDPs – Ecuación de Laplace = ecuación del calor con propiedades constantes y sin término de generación es elíptica. Es el prototipo de elíptica – Ecuación de Poisson es elíptica Las ecuaciones elípticas modeliz

os estacionarios (no evolutivos)

– Ecuación general del calor es parabólica (tb si la generación = 0) Las ecuaciones parabólicas modelizan procesos evolutivos (no estacionarios) de fenómenos termodinámicos, de conducción de calor, de difusión de masa etc y transmiten instantáneamente las perturbaciones al medio!!??

– Ecuación de ondas es hiperbólica. La mayoría de las leyes de conservación son hiperbólicas y admiten soluciones discontinuas (como ondas de choque). Es el prototipo de ecuación hiperbólica (la ecuaciones de Euler son de este tipo)

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CFD Etapas : primeras consideraciones • Condiciones de contorno básicas – Dirichlet: se especifica la función u(x,t) en el contorno o frontera

Ts1

– Neumann: se especifica la derivada de u(x,t)

T(x) k

Ts2

qcond = Qcond /A = -k dT/dx

– Robin: se especifican el valor de la función y el de la derivada

Ts k Conducción

h

T∞

dT

( )

h (T∞-Ts) = -k

dx

x=x0

Convección x=x0

Existen otras CC como cuando se especifican efectos radiativos en procesos de transferencia de calor R. Torres (UPC)

CFD Modelo matemático: leyes de conservación • Las leyes de conservación son el concepto clave detrás de las leyes de la mecánica de fluidos. • Ciertas magnitudes como la presión, la temperatura o la entropía, no satisfacen leyes de conservación • Pueden establecerse ecuaciones para esas magnitudes pero no son leyes de conservación.

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CFD Leyes de conservación: ec. convección-difusión • Atención a la física del transporte de magnitud U – Dos formas: • Contribución convectiva • Contribución difusiva (agitación molecular)

  FC  U c

• El término de flujo convectivo representa la cantidad de U transportada por el flujo c.

• La contribución difusiva es debida a los efectos macroscópicos de la agitación térmica molecular y está presente incluso en flujos en reposo.

 FD  u

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CFD Leyes de conservación: ec. convección-difusión • La estructura de esta ecuación es el núcleo de todos los modelos matemáticos relacionados con fenómenos de flujo. • La ecuación para U=ρ.u es

  (  u)     (  u c )  QV    QS  (u ) t Término evolutivo

Término convectivo

Término de fuentes

Término difusivo

Importante Algunos esquemas numéricos pueden presentar problemas a la hora de resolver ecuaciones de tipo convección-difusión

CFD Leyes de conservación: ec. convección-difusión • La importancia de esta discusión estriba en que un esquema numérico ajustado a la resolución de una ecuación difusiva (como la de Laplace o Poisson) fracasará cuando se utilice en la resolución de un problema dominado por la convección. • Las soluciones dependen de las intesidades relativas de ambos fenómenos. Número de Peclet

Pe 

Cref Lref 

• Cuando Pe > 1, algunos esquemas numéricos presentan problemas de inestabilidad (estabilización numérica). R. Torres (UPC)

CFD Ecuación de convección 1D lineal

  ( u)    (  u c )  QV    Q S  (u) t

• Dejando de lado cualquier complejidad no esencial, el transporte convectivo de u a una velocidad a viene dado por

u u a 0 t x • La solución, por tanto, es idéntica a una ecuación de ondas.

Importante equivalencia convección pura-propagación de ondas Las perturbaciones ocasionadas en el medio no alcanzan todos los puntos simultáneamente sino que se propagan a una velocidad finita R. Torres (UPC)

CFD Ecuación difusión dependiente del tiempo

  ( u)    ( u c )  QV    QS  (u) t

• En ausencia de convección es

u  2u  2 t x • Cuando esta ecuación se aplica a la temperatura resulta la ecuación de Fourier. • La solución es

u ( x, t )  uˆ e

jkx

e

k 2t

Importante − Una onda cuya amplitud decrece exponencialmente (claro, si k...