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introduzione alla logica filosofica anno 2020/2021 primo anno...

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Breve introduzione alla logica Alessio Plebe [email protected]

2020–2021

1

Logica e linguaggio

La logica nasce all’interno della filosofia, quale tentativo di spiegare come funziona il linguaggio umano, limitatamente ad uno dei suoi usi pi` u nobili: il ragionare. Ne e` il fondatore Aristotele, e il suo impianto logicoe` stato talmente mirabile e convincente da costituire il rifermento quasi indiscusso per quasi due millenni, fino all’800. Questa breve introduzione non entra in merito del percorso storico che ha avuto la logica, pertanto non diremo nulla riguardo all’impianto aristotelico, saltando direttamente alla forma contemporanea della logica, che ha avuto una sua prima svolta a met`a dell’800 con l’inglese George Boole, per trovare il suo assetto attuale a cavallo del diciannovesimo e ventesimo secolo, con i contributi di Gottlob Frege, Bertrand Russell e David Hilbert. La fisionomia che assume la logica, una volta prese le distanze da Aristotele,e` sempre pi`u matematica, inizialmente prendendo a prestito, con Boole, strumenti dell’algebra, successivamente sviluppa un suo proprio insieme di operazioni e regole. In questo modo, la logica e` anche diventata una branca della matematica, cae un dominio di valori numerici, solo due possibili valori, vero e falso. Verso ratterizzata dall’avere, anzich´ l’inizio del secolo scorso la logica era diventata addirittura una delle componenti principali della matematica. Per questo oggi, quando si parla di logica, spesso si usa specificare se si tratti si logica matematica oppure di logica a non esiste una distinzione netta per quanto riguarda gli strumenti che si utilizzano, quanto filosofica. In realt` piuttosto le finalit`a. Come tipico della matematica, viene considerato un particolare pregio di ognuno dei suoi strumenti l’astrattezza, ovvero l’essere sviluppato senza riferimento ad alcun dominio di applicazione, pertanto u svariati, spesso come supporto ad altre branche della stessa la logica matematica viene impiegata negli ambiti pi` matematica. La logica filosofica persiste invece ad avere in mente un ambito di applicazione ben chiaro, lo stesso di Aristotele: l’esplicarsi del ragionamento nel linguaggio umano. Anche in filosofia della scienza l’impiego della logicae `principalmente quello filosofico, considerando che qualunque genere di spiegazione le scienze offrano di fenomeni naturali, non puo’ che essere veicolato tramite espressioni del linguaggio naturale, e pertanto la logica (filosofica) dovrebbe essere lo strumento principe per verificare la correttezza delle spiegazioni. Tuttavia, il confine con la logica matematica puo’ diventare ancor upi` sfumato, in quanto diversi ambiti scientifici esprimono spiegazioni in termini matematici. Pensiamo alla fisica, in cui moli fenomeni trovano la loro spiegazione principale in alcune equazioni fondamentali che ne descrivono il funzionamento, e la dipendenza dai diversi fattori causali. Pur se ogni formulazione matematica applicata a fatti del mondo puo’ anche essere espressa in parole, evidentemente la natura matematica della logica contemporanea la rende idonea a poter intervenire direttamente, sulla validit` a di spiegazioni in formato matematico. Sia nel suo versante matematico che filosofico, la logicae `diventata oggi un campo talmente ampio e diversificato, per cui si parla spesso di “logica X” dove “X” e` un qualche attributo che corrisponde ad una specializzazione della logica diventata campo di studi autonomo. Per fase qualche esempio, esiste la logica modale che si occupa di espressioni linguistiche in cui compaiono parole che esprimono necessit` a o possibilit`a; la logica deontica che si prende cura di espressioni con parole che riguardano obblighi e permessi; la logica temporale che tenta di dar conto di ragionamenti in cui si usano verbi in vari tempi, passato presente, futuro. Questa breve introduzione non toccher`a nessuna di queste logiche, per cos`ı dire specializzate, ma si limiter`a alle sole sue componenti basilari.

1.1

Elementi del linguaggio

L’aggancio della logica al linguaggio naturale passa per un certo numero di elementi definiti in modo preciso, il principale e` la proposizione, che puo’ essere definita come una qualunque espressione linguistica di cui sia sensato dire se sia vera o falsa. Anzitutto questo e` possibile solamente per frasi grammaticalmente complete, del tipo: Elisa e ` bionda oggi piove i gatti sono felini

mentre non avrebbe senso chiedersi se siano vere o false espressioni come queste: andiamo verso ieri i cani e il verde

Non tutte le espressioni linguistiche grammaticalmente corrette e complete sono proposizioni, abbiamo infatti frasi interrogative e esclamative:

1

mi offri da bere? porca miseria evviva!

di cui, nuovamente, chiedersi se vere o false ha poco senso. Esistono poi delle varianti della proposizione definite anch’esse in modo preciso dalla logica. Una distinzione sottile e` quella tra proposizione ed enunciato. Quest’ultimoe` una singola e precisa forma linguistica che esprima una determinata proposizione, la quale invece si riferisce al contenuto logico, in maniera indipendente dalle varianti linguistiche con cui puo’ essere espressa. Se prendiamo, per esempio, queste tre frasi: Elisa e ` bionda Elisa ha i capelli biondi i capelli di Elisa sono biondi

corrispondono a tre diversi enunciati, ma ad un’unica proposizione, in quanto esprimono la stessa situazione logica su cui si puo’ sindacare se sia vera (nel caso di Elsa effettivamente bionda) oppure false (se per esempio a. Non solo fosse mora). Infine, una asserzione e` una proposizione di cui, chi la pronuncia, ne afferma la verit` quindi esprime uno stato di cose che potrebbe essere vero o falso, ma ci aggiunge il suo essere vero. Un enunciato, per essere una frase compiuta, e` composto da diverse parole, che in logica vengono genericamente designati come termini. Quanto la logica si interessi alla natura dei vari termini,e`diversificato. Una parte della logica, quella trattata nella prossima sezione, non si interesse al merito dei singoli termini, fatta eccezione u proposizioni. In linguistica questi termini fanno parte della categoria per alcuni che servono a legare tra loro pi` detta dei sincategorematici, privi di un proprio significato, ma che ne assumono uno mettendo insieme altri teru illustri, dotati di senso proprio, come nomi e verbi, trovano mini, come il caso delle preposizioni. I termini pi` a trattata in §3. attenzione in un altro tipo di logica, che verr`

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Logica delle proposizioni

La parte della logica nota come logica delle proposizioni, o anche logica dei connettivi adotta come suoi elementi di analisi le intere proposizioni, nel senso preciso definito in §1.1, e presta attenzione a quei soli termini u proposizioni sincategorematici del linguaggio denominati, appunto, connettivi. Tali termini mettono assieme pi` a deriva semplicemente dal considerare che in una normale proposizione atomiche. La definizione di questa entit` u semplici, per esempio nella frase: del linguaggio possono essere individuate delle proposizioni pi` oggi non piove e allora andiamo al mare e ci facciamo una nuotata

si possono individuare queste tre proposizioni: oggi non piove andiamo al mare ci facciamo una nuotata

Tornando alla proposizione atomica, essa e` definita come una proposizione in cui non sia possibile individuarne di pi`u semplici al suo interno, e le proposizioni non atomiche sono dette proposizioni composte. A mettere assieme pi`u proposizioni atomiche in una proposizioni composta ci pensano quei termini chiamati connettivi, che la logica interpreta come fossero delle operazioni, che in base alla verit` a o falsit`a delle proposizioni atomiche, danno una risultante verit` a o falsit`a della proposizione composta. Per esprimere in maniera concisa queste operazioni, si usano, come in matematica, variabili designate da una singola lettera, che corrispondono a proposizioni atomiche. Siccome in matematica esiste da tempo una convenzione di denominare variabili reali con le lettere x, y, z; indici interi con i. j, l, m, n, allora per le proposizioni sie `affermato l’uso di lettere che partono dalla “p”: p, q , r, . . . Le operazioni vengono scritte frapponendo tra le variabili il segno di operazione, e siccome le operazioni di base hanno due operandi, questi sono p e q, con in mezzo il simbolo che corrisponde al connettivo. I principali connettivi sono illustrati nella Tab. 1. La negazione, ¬,e`un connettivo in senso improprio, in quanto non mette assieme sue proposizioni atomiche, ma semplicemente ne nega una. Per gli altri, congiunzione, e sempre disgiunzione e implicazione, e` semplice tenere a mente il loro funzionamento, considerando che c’` un caso diverso dagli altri, avendo presente quello, gli atri vengono di conseguenza. La forma completa per a, introdotte da Ludwig Wittgenstein: si descrivere il funzionamento di un connettivo e` tramite le tabelle di verit` mettono in colonna i valori degli operandi p e q, e a destra il risultato dell’operazione. Siccome ogni variabile pu`o avere solamente due valori, vero o falso, ci sono in tutto quattro combinazioni possibili. 2

forma linguistica

operazione

simbolo

negazione

non

¬

congiunzione

e

∧

disgiunzione

o

∨

implicazione

se ...allora

→

p

¬p

V F

F V

come funziona ¬p e` vero se p e` falso, e viceversa p ∧ q e` vero se sia p che q sono veri, altrimentie` falso p ∨ q e` falso se sia p che q sono falsi, altrimenti `e vero p → q e` falso se p e` vero mentre q e` falso, in tutti gli altri casie`vero

p

q

p∧q

p

q

p∨q

p

q

p→q

V V F F

V F V F

V F F F

V V F F

V F V F

V V V F

V V F F

V F V F

V F V V

a. Tabella 1: I principali connettivi logici, in alto la loro descrizione, in basso le loro tabelle della verit`

negazione ∼ Carnap, Tarski, Quine, Church, Putnam

congiunzione ¬

Heyting, Kleene, Smullyan

&

∧

Kleene, Boolos

Heyting, Tarski, Putnam, Hintikka, Smullyan

→

implicazione ⊃

Tarski, Quine, Boolos

Heyting, Carnap, Kleene, Putnam, Hintikka, Smullyan

Tabella 2: Varianti nei simboli dei connettivi u rigorose, anche nell’uso dei simboCuriosamente, anche se la logica dovrebbe essere una delle discipline pi` li, c’`e una discreta liceit`a nell’assegnazione dei simboli ai diversi connettivi, insolita per la matematica, dove, per esempio, non e` usuale definire un simbolo alternativo al + per l’addizione. I motivi sono storici, diversi studiosi in contemporanea hanno contribuito alla formazione della logica odierna, e le loro diverse notazioni continuano a trovare i favori di qualcuno. Una rassegna dei possibili simbolie` prodotta nella Tab. 2, qui di seguito verranno sempre usati solo quelli visibili in Tab. 1.

2.1

Connettivi e parole

Si e` detto che i connettivi negli enunciati sono costituiti da specifici termini sincategorematici, per esempio nella lingua italiana il connettivo logico congiunzione viene svolto dalla parola “e”, chiamata allo stesso modo anche in senso grammaticale. Allo stesso modo il ruolo di connettivo logico disgiunzionee` svolto, in italiano, dalla parola “o”. Occorre pero` fare attenzione che gli usi linguistici delle parolee`spesso ben pi`u variegato rispetto alla funzione che viene attribuita in logica, e` il caso dei connettivi. Vi sono molti casi in cui la congiunzione compare nel suo ruolo di connettivo logico, come nella frase: all’universit` a si studia e in palestra si fa ginnastica

la cui verit`a dipende dal fatto che siano contemporaneamente vere le due proposizioni atomiche legate dalla “e”: all’universit` a si studia in palestra si fa ginnastica

Un caso meno immediato e` il seguente: questo vino e` morbido e profumato

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dove non sono esplicitate due proposizioni atomiche, ma e` facile vedere che la forma logica p ∧ q si ottiene distribuendo il soggetto su due proposizioni: p = questo vino e` morbido q = questo vino e` profumato

Lo stesso procedimento puo’ essere adottato distribuendo anzich´e il soggetto il predicato, nel caso: Elisa e Maria sono studentesse

risolto con: p = Elisa e ` studentessa q = Maria e ` studentessa

Ma vi sono casi in cui l’uso di “e” non e` davvero riconducibile a quello di congiunzione logica, eccone uno: Elisa e Maria sono sorelle

adesso l’applicazione dello stratagemma precedente, di ottenere due proposizioni atomiche distribuendo il predicato, darebbe: p = Elisa e ` sorella q = Maria e ` sorella

che potrebbe essere tranquillamente vera nel caso in cui Elisa sia sorella di qualcuno e Maria di qualcun altro e non imparentate tra loro, mentre la proposizione Elisa e Maria sono sorelle vorrebbe veicolare la relazione di fratellanza proprio tra Elisa e Maria. Anche nel caso della disgiunzione si possono trovare degli usi che differiscono dal modo di funzionamento previsto dalla sua tabella di verit` a, per esempio pronunciando la frase: e, col limone o col latte vorrei una tazza di t`

a se il cameriere gli servisse il te’ con limone l’avventore di un bar non troverebbe soddisfatto il suo valore di verit` e anche latte, chiaramente il senso della parola “o” in questo contestoe `che se una proposizione e` vera, l’altra deve essere falsa per avere risultato complessivo vero. Ovvero, nel te’ ci puo’ andare il latte, ci puo’ andare il limone, ma non entrambi.

2.2

L’implicazione materiale

E’ opportuno soffermarsi su un connettivo particolarmente importante nella filosofia della scienza: l’implicazione. E’ anzitutto diverso da congiunzione e disgiunzione nel non essere simmetrico. Mentre, per esempio, p ∨ q ha lo stesso valore di q ∨ p, l’implicazione p → q pu` o avere valore diverso da q → p. Pertanto nell’implicazione i due operandi vendono denominati in modo distinto, con il primo termine chiamato antecedente e il secondo cona, seguente. Inoltre, il modo di funzionare dell’implicazione come operatore logico suscita facilmente perplessit` a, risulta sempre vero nel caso per diversi motivi. Il primo e` che, come si puo’ vedere dalla sua tabella della verit` in cui p sia falso. Sono quindi sicuramente vere proposizioni come: se la terra e ` piatta le mele sono indigeste se la neve ` e calda la filosofia aiuta a dimagrire

pur non essendo particolarmente sensate. Il secondo aspetto, che emerge dagli stessi esempi appena fatti,e ` che l’implicazione non presuppone nessun nesso causale tra antecedente e conseguente. Questa caratteristica diverge dall’uso della parola “implicare” nel linguaggio comune, dove invece si presuppone che se una prima cosa “implica” una seconda, deve contenere in se stessa delle motivazioni, dei fattori, che inducono a realizzarsi la seconda. Per sottolineare come l’operatore logico → non faccia nessuna di queste assunzioni, viene talvolta chiamato implicazione materiale.

2.3

Equivalenze logiche

La caratteristica appena notata dell’implicazione, di risultare sempre vera nel caso in cui l’antecedente sia falso, a di esprimere un certo connettivo facendo uso di altri. Infatti, porta ad una considerazione aggiuntiva, la possibilit` `e possibile esprimere la propriet`a appena detta dell’implicazione con queste parole: l’implicazione ` e vera se l’antecedente e ` falso, oppure se il conseguente `e vero

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ma questa frase fa a sua volta uso di un connettivo, la disgiunzione, e la negazione, e puo’ essere formalizzata come ¬p ∨ q, formula che risulta quindi equivalente all’implicazione. E’ possibile vedere che l’implicazione ammette tutte le seguenti equivalenze: ¬p ∨ q ¬ (p ∧ ¬q) ¬q → ¬p

a, a titolo di esercizio. Si suggerisce al lettore di verificarlo compilando le tabelle di verit` Questa caratteristica e` comune ad ogni connettivo, passando per esempio alla congiunzione, si nota chee ` possibile commentare il suo funzionamento con queste parole: la congiunzione risulta sempre falsa quando il primo o il secondo degli operandi e falso della congiunzione `

che corrispondono alla forma ¬ (¬p ∨ ¬q).

2.4

Proposizioni composte

u semplice Le tabelle di verit`a dei connettivi riguardano due operandi, uno solo nel casi di ¬, si tratta della forma pi` con cui si possono comporre proposizioni atomiche. Stabilito il funzionamento di queste operazioni elementari, `e possibile comporre la forma logica di proposizioni composte in cui vi sia un numero arbitrario di proposizioni atomiche. Vediamo un esempio: e vento vado a sciare, e in tal caso debbo fare se ricevo lo stipendio e non c’` benzina

in cui si possono individuare le seguenti proposizioni atomiche, a cui assegniamo una variabile: p= q= r= s=

ricevo lo stipendio c’` e vento vado a sciare faccio benzina

La forma logica dell’intera proposizione complessae`la seguente: ((p ∧ ¬q) → r) ∧ (r → s) a di questa in cui vi e` una congiuzione principale, che connette due implicazioni. Ed ecco la tabella della verit` proposizione: p

q

r

s

((p ∧ ¬q) → r) ∧ (r → s)

V V V V V V V V F F F F F F F F

V V V V F F F F V V V V F F F F

V V F F V V F F V V F F V V F F

V F V F V F V F V F V F V F V F

V F V V V F F F V F V V V F V V

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Stavolta, essendoci 4 proposizioni atomiche, le combinazioni possibili diventano 24 = 16, quelle raggruppate nella tabella. Ognuno dei 16 casi e` risolto tenendo presente il funzionamento di ogni connettivo. Prendiamo per esempio il secondo caso, essendo p e q veri, allora risulta falsa p ∧ ¬q. Questa congiunzione ha il ruolo di antecedente nell’implicazione (p ∧ ¬q) → r, che avendo antecedente falso,e `sicuramente vera. Quindi il lato sinistro della congiunzione principale risulta vero. Diversamente la seconda implicazione ha antecedente r vero e il risultato copmlessivo, essendo la ma conseguente s falso, pertanto l’implicazione risulta falsa. Ecco perch´ congiunzione di un termine vero e di uno falso,e` falso.

3

Predicati e quantificazione

Mentre la logica delle proposizioni non entra nel dettaglio dei termini di proposizioni atomiche, che vengono trattate come variabili di cui tutto quel che conta e` solo se siano vere o false, la logica dei predicati si occupa di a dare una formalizzazione delle proposizioni atomiche, basata sull’idea di predicato, l’attribuzione di una propriet` ad un oggetto. Scaturita da un’intuizione di Gottlob Frege, cos`ıcome i connettivi trovano in logica un trattamento analogo alle operazioni algebriche, i predicati hanno trovato la miglior analogia matematica nella funzione. Una ordinaria funzione algebrica f (x) restituisce un valore numerico che dipende dall’argomento x, lo stesso vale per o valere solamente vero o falso. il predicato, con la differenza che il valore restituitoe`di tipo logico, ovvero pu` Riprendendo l’esempio con cui si e` iniziato: Elisa e ` bionda

la sua forma logica e` la seguente: b (Elisa) in cui b(·) e` il predicato “essere biondo”, che ha un argomento, l’oggetto a cui si attribuisce questa caratteristica. Il valore di b(Elisa pu`o essere vero, nel caso in cui Elisa sia bionda, oppure falso. I predicati di questo tipo riguardano un solo argomento alla volta, e fermandosi qui si ha la logica monadiu generali, con un numero maggiore di ca, o degli attributi. Si possono prendere in considerazione predicati pi` ar...