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Materia: Métodos Probabilísticos Tutor Virtual: Ing. Carlos Chanta Actividad: Investigación de Distribución Multinomial.

Estudiante: Carnet 463739-2018

Nombre José Carlos Mejía Menjívar

San Salvador, 14 de septiembre 2020.

INTRODUCCION

La Distribución Multinomial es una distribución discreta multivariante, es una generalización de la Distribución Binomial cuando el experimento aleatorio considerado no tiene solo dos resultados posibles, éxito o fracaso, sino tres o más. A continuación se presenta información importante y básica para comprender la Distribución Multinomial, desde su historia, sus formulas y características principales, además se desarrollan dos ejercicios para lograr una mejor comprensión del tema.

OBJETIVO GENERAL  Aprender a utilizar la Distribución Multinomial para obtener probabilidades de experimentos donde cada intento tiene más de dos resultados posibles.

OBJETIVOS ESPECIFICOS  Conocer y saber utilizar la formula principal de la Distribución Multinomial.  Obtener la media y la varianza utilizando las variables de la Distribución Multinomial.

 Realizar ejercicios prácticos utilizando la Distribución Multinomial.

BREVE RESEÑA HISTORICA La Distribución Multinomial es enunciada por primera vez en 1713 con los aportes de Jacob Bernoulli. Jacob Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654, en Suiza. Hermano del también matemático, Johann Bernoulli y tío del científico Daniel Bernoulli. Se graduó en Teología en el año 1676 y hasta 1682 viajo por Francia, Inglaterra y los países nórdicos. Jacob Bernoulli se vio obligado a estudiar teología, pero se intereso en las matemáticas a pesar de la oposición de su padre. La obra más original de Bernoulli Ars Conjectandi, publicada póstumamente en 1713 contiene la teoría de combinaciones, las series exponenciales, los números de Bernoulli, el beneficio esperado de varios juegos de azar, la probabilidad como medida de confianza y la ley de grandes números. La Distribución Multinomial ocurre cuando en el experimento Binomial cada intento tiene más de dos resultados posibles. La Distribución Multinomial es esencialmente igual a la Binomial con la única diferencia de que cada prueba tiene más de dos posibles resultados mutuamente excluyentes.

FORMULA GENERAL. La Distribución Multinomial es una distribución de probabilidad conjunta para múltiples variables aleatorias (X1, X2, X3,…, Xn) discretas n! X X X P ( X 1 , X2 , … X K , n) = P1 P2 … P K X 1 ! X2 ! … X K ! 1

Donde: P ( X 1 , X 2 , … X K , n ) =¿

2

K

Probabilidad de que en “n” ensayos aparezcan X 1 objetos del primer tipo, X 2 objetos del segundo tipo…. y X K objetos del último tipo. n= X 1 + X 2 +… X K

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCION MULTINOMIAL

Cada una de las “n” variables, X 1 que forman una Multinomial M ( n , P 1 , … , PK ¿ siguen distribuciones binomiales. MEDIA (También llamada esperanza, valor esperado), es el número E[X] que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Es un concepto análogo a la media aritmética de un conjunto de datos. Media ( X i )=nPi

VARIANZA La varianza de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Var ( X i ) = nPi(1 − Pi)

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION MULTINOMIAL. 1. El experimento consiste en “n” pruebas idénticas. 2. Hay “k” posibles resultados de cada prueba. 3. Las probabilidades de los “k” resultados, denotados por P 1, P2, …Pk se mantienen constantes a lo largo de todas las pruebas, donde P 1+P2+…Pk =1 4. Las pruebas son independientes. 5. Las variables aleatorias de interés son las cuentas X 1, X2, …Xk en cada una de las k categorías de clasificación: P(X1, X2, …Xk) = (P1)x1(P2)x2…(Pk)xk Donde: Pi= Probabilidad del resultado i en una sola prueba. P1+P2+…Pk=1. n= Número de pruebas Xi= Número de veces que se ha dado el resultado i en n pruebas.

EJEMPLOS DE DISTRIBUCION MULTINOMIAL Ejemplo 1 Según una nueva ley se plantea la donación de órganos de los cuales existe una probabilidad de que el 15% estén en contra, el 40% sean indiferentes a la ley y el 45% estén a favor, si se estrae una muestra aleatoria de 20 sujetos. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 estén en contra, 10 sean indiferentes y 5 estén a favor? Solución: Datos: n=20 X1: en contra=0.15 X2: indiferente=0.40 X3: a favor=0.45 0.15 ¿ ¿ 0.40 ¿ ¿ 0.45 ¿ ¿ P ( X 1=5, X 2=10, X 3 =5; n=20 )=

20 ! =¿ 5 ! 10 ! 5 !

Ejemplo 2 Las probabilidades que un delegado llegue por aire, en autobús, en automóvil o en tren son, de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto y tren. Solución: Datos: n=9 X1= 4 por aire; P1=0.40 X2= 1 en autobús; P2=0.20 X3= 2 en auto; P3=0.30 X4=2 en tren; P4=0.10 P ( X 1=4, X 2=1, X 3=2, X 4 =2 ; n=9) =

0.40 ¿ ¿ 0.20 ¿ ¿ 0.30 ¿ ¿ 0.30 ¿ ¿ ¿¿

9! 4 ! 1! 2 ! 2!

CONCLUSIONES

 Podemos observar que las principales propiedades de la distribución Multinomial son: el experimento tiene más de dos tipos de resultados, las probabilidades de cada resultado son constantes, los ensayos o repeticiones del experimento son independientes, el número de repeticiones es constante, solo es aplicable a variables aleatorias discretas.  Se analizo e identifico la fórmula para calcular la media y la varianza utilizando la distribución Multinomial: Media ( X i )=nPi Var ( X i ) =nPi=( 1−Pi )  Se practico la distribución Multinomial desarrollando dos ejercicios.

BIBLIOGRAFIA

 Canavos GC. Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y Métodos. Madrid: McGraw-Hill; 1988. 

La distribución Multinomial. (2012). Recuperado 12 de septiembre de 2020,

de http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo3/B0C3 m1t7.htm 

Román Román, P. (s. f.). CALCULO DE PROBABILIDADES II. Recuperado 12 de septiembre de 2020, de https://www.ugr.es/~proman/ProbII/20122013/PDF/NuevoDirectorio/Tema4.pdf 

Flores Valencia, A. (2015, 10 octubre). EJERCICIOS DE DISTRIBUCION MULTINOMIAL. Recuperado 12 de septiembre de 2020, de https://es.slideshare.net/alexanderfloresvalencia/ejercicios-de-distribucinmultinomial...