Investigación de Operaciones - Apuntes ejercicios resueltos PDF

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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS DE OPERACIONES INTEGRANTES: ENRIQUE HUGO CASTRO YANDRI GABRIEL HERRERA ALVAREZ HUGO JAIME PAREDES ARELLANO DOCENTE: ECON. TAPIA TORAL MAURO CARLOS PARALELO: 5 CICLO: CII ejercicio 13 Para la de los productos, los precios altos provocan una en la demanda,...

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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES “TRABAJO GRUPAL”

INTEGRANTES: ENRIQUE HUGO CASTRO JIMÉNEZ YANDRI GABRIEL HERRERA ALVAREZ HUGO JAIME PAREDES ARELLANO DOCENTE: ECON. TAPIA TORAL MAURO CARLOS PARALELO: 5/ 5 CICLO: 2017-2018 CII

2017-2018

Pág. 22- ejercicio 13 Para la mayoría de los productos, los precios altos provocan una disminución en la demanda, mientras que los precios bajos la aumentan. Sea d = demanda anual para un producto en unidades p = unidad por precio Suponga que una empresa acepta la siguiente relación precio-demanda como realista: d = 800 10p Donde p debe estar entre $20 y $70. a.

¿Cuántas unidades puede vender la empresa a un precio de $20 por

unidad? ¿Y a un precio de $70 por unidad?

d = 800-10 p Precios de $70 d=800-10(70) d=800-700 d=100

Precios de $20 d=800-10(20) d=800-200 d=600

b.

Muestre el modelo matemático para el ingreso total (IT), que es la demanda

anual multiplicada por el precio unitario. IT=P.Q

IT=P.Q

IT=20(600)

IT=70(100)

IT= 12.000

IT= 7.000

c.

Con base en otras consideraciones, la gerencia de la empresa sólo

considerará alternativas de precio de $30, $40 y $50. Utilice su modelo del inciso b) para determinar la alternativa de precio que maximizará los ingresos totales.

Precios de $40 d=800-10(40) d=800-400 d=400

Precios de $50 d=800-10(50) d=800-500 d=300

IT=P.Q

IT=P.Q

IT=P.Q

IT=30(500)

IT=40(400)

IT=50(300)

IT= 15.000

IT= 16.000

IT= 15.000

Precios de $30 d=800-10(30) d=800-300 d=500

A un precio de $40 se tiene una demanda de 400 productos y una ganancia de $16.000. d.

¿Cuáles son la demanda esperada anual y los ingresos totales con base en el

precio que usted recomendó?

A un precio de $40, se obtendrá una demanda anual de 400 unidades generando una utilidad máxima de $16.000

Pág. 24- ejercicio 17 Con frecuencia los modelos de sistemas de inventario con frecuencia consideran las relaciones que existen entre un inventario inicial, el volumen de producción, la demanda o ventas y un inventario final. Para un periodo de producción determinado, sea s j−1

= inventario final del periodo anterior (inventario inicial para el

periodo j) xj

= cantidad de producción en el periodo j

d j = demanda en el periodo j s j = inventario final para el periodo j

a.

Formule la relación matemática o el modelo que muestre el inventario final

como una función del inventario inicial, la producción y la demanda. s j−1 + s j−x j +d j=¿

b.

Z

¿Qué restricción debe añadirse si la capacidad de producción para el

periodo j está dada por c j ? 

c.

x j +d j ≤ c j

¿Qué restricción debe añadirse si los requerimientos de inventario para el

periodo j exigen un inventario final de al menos 

s j−1 + s j ≤ i j

ij ?

Pág. 64- ejercicio 15 Supóngase que los administradores de par, Inc., enfrentan cada una de las siguientes situaciones: Funcionobjetivo original 10 x 1+9 x 2= Z a.

El departamento de contabilidad modifica su estimación de la contribución

que hace a las utilidades la bolsa de lujo y la fija en $18 por bolsa. Funcion objetivo 10 x 1+ 18 x 2= Z

x 1=300 x 2=420

Funcion objetivo10 ( 300 )+18 ( 420 )=10.560

Punto óptimo

Se obtiene una contribución máxima de utilidades de $10.560 cuando se producen 300 unidades de bolsas estándar y 420 unidades de la bolsa de lujo b.

Se encuentra ahora disponible un nuevo material de costo reducido para la

bolsa estándar, y puede aumentarse la contribución a las utilidades por cada bolsa estándar, a 20 por bolsa. (Supóngase que la contribución a las utilidades de la bolsa de lujo es el valor original de $9). Funcion objetivo 20 x 1+ 9 x2 =Z

x 1=540 x 2=252

Funcion objetivo20 ( 540 )+9 ( 252 ) =13068 Con el aumento del margen de contribución del modelo estándar a $20 y manteniendo fijo el valor de los modelos lujosos en $ 9 se obtiene una utilidad máxima de $13.068 cuando se producen 540 unidades del modelo estándar y 252 unidades del modelo lujoso.

c.

Ahora hay disponible un nuevo equipo de costura que aumentaría la

capacidad de la operación de costura a 150 horas. (Supóngase que

10 x1 +9 x 2 es

la función objetivo apropiado. Funcion objetivo 10 x 1+9 x2=Z x 1=540

x 2=252 Funcion objetivo 10 ( 540 )+9 ( 252 ) =7667

Al ser la costura un costo irrelevante su aumento de horas no afecto al punto óptimo que se obtuvo en el primer ejercicio de per inc. Por tanto la máxima utilidad es de $7.667 donde se producen 540 unidades del modelo estándar y 252 del modelo lujoso.

Pág. 65- ejercicio 18 La firma Erlanger Manufacturing Company fabrica dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $25 (dolares) por cada unidad que se venda del producto 1, y $30 por cada unidad de obra por hora para los productos en cada uno de tres departamentos: PRODUCTO 2

DEPARTAMENTO A DEPARTAMENTO B

PRODUCTO 1 1,50 2,00

DEPARTAMENTO C

0,25

0,25

3,00 1,00

Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 450 horas en el departamento A, 350 horas en el departamento B, y 50 horas en el departamento C. suponiendo que a la empresa le interesa maximizar las utilidades, responda lo siguiente: a.

¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? Función objetivo 25 x1 + 30 x 2=Z

Sujeto a restricciones: Depto. A

3 x +3 x ≤ 450 2 2 1

(300; 150)

Depto. B 2 x 1 + 1 x 2 ≤350

(175; 350)

Depto. C 0.25 x1 + 0.25 x 2 ≤ 50

(200; 200)

No negatividad : x 1 ; x 2 ≥0

b.

obtenga la solución óptima. ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada

producto, y cuál es la utilidad que se proyecta?

3 x +3 x ≤ 450 2 2 1

(1)

2 x 1 + x 2 ≤ 350

(-3)

3 x +3 x 2 ≤ 450 2 1 -6 x 1−3 x2 ≤−1050 9 x / ¿ / ¿−600 2 1

-

x 1=133.33

3 ( 133.33 ) +3 x2 ≤ 450 2 x 2=

250 3

x 2=83.33 Función objetivo 25 x1 +30 x 2=Z 25 (133.33 )+ 30 (83.33 )=5833.15 c.

Punto optimo

¿Cuál es el tiempo programado de producción y el tiempo de holgura en

cada departamento? Depto. A

3 (133.33 )+3(83.33 )≤ 450 2

-excedente y holgura

Depto. B

2(133.33)+1(83.33)≤ 350

- excedente y holgura

Depto. C

0.25 (133.33 )+ 0.25 (83.33 )≤ 117

excedente de 67

Pág. 65- ejercicio 19 La Yard Care, Inc., fabrica diversos productos de jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos. Cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materia primas conocidas como K40 y K50. Durante el periodo de fabricación actual existen disponibles 900 libras de K40 y 400 libras de K50. Cada libra de producto llamado “Jardín Verde” utiliza 3/5 de libra de K40 y 2/5 de K50. Cada libra del producto designado como “Atención al Jardín” utiliza ¾ de libra de K40 y ¼ de K50. Además, un determinado limite sobre la disponibilidad en materiales de empaque restringe la producción de “Atención al Jardín” a un máximo de 500 libras. Función Objetivo Max. X1 X2

3 x1 +3 x 2=Z

= Jardín verde = Atención de jardín

Sujeto a restricciones

K 40 : 3/5 x1 +3 /4 x 2 ≤ 900

K 50:2 /5 x 1+ 1/4 x 2 ≤ 400 Empaque : x 2 ≤ 500

Nonegatividad : x 1 ; x 2 ≥0 a.

Si la contribución a las utilidades para ambos productos es de $3 (dólares)

por libra, ¿Cuántas libras debe fabricar la compañía de cada producto? 2/5 x 1 +1/4 x2 ≤ 400 x 2 ≤ 500

y=500

Función objetivo 20 x1 + 30 x 2 = Z

2/5 x 1 +1/4 ( 500 ) ≤ 400 2/5 x 1=400−125 2/5 x 1=275 x 1=¿ 687.5

3 (687.5 ) +3 ( 500 ) =3.532,5 b.

¿Debe preocuparle a la compañía que la disponibilidad de materiales de

empaque esté restringiendo la producción de “Atención al jardín”? ¿Qué sucedería con las cantidades de producción y con las utilidades esperadas si la empresa pudiera eliminar la restricción sobre la cantidad de Atención al Jardín que se puede fabricar? Se deben producir 687.5 libras del fertilizante jardín verde y 500 libras del fertilizante atención de jardín para obtener $3532.5 de utilidad.

Pág. 65- ejercicio 20 Investment Advisors, Inc., es una empresa de corretaje que administra carteras de acciones para diversos clientes. Un nuevo cliente ha solicitado a la empresa manejar una cartera de inversiones de $80000. Como estrategia inicial de inversión, al cliente le gustaría restringir la cartera a una mezcla de las siguientes acciones: INDICE DE RIESGO POR ACCION

PRECIO POR ACCION

RENDIMIENTO ANUAL ESTIMADO POR ACCION

U.S. OIL

$

25,00

$

3,00

0,5

HUB PROPERTIES

$

50,00

$

5,00

0,25

ACCION

El índice de riesgo por acciones es una calificación sobre el riesgo relativo de las dos alternativas de inversión. Para los datos que se proporcionan, se considera que la inversión en U.S. Oíl es la más riesgosa. Al limitar el riesgo total de la cartera la empresa de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones que pudieran potencialmente producir altos rendimientos, pero que también implican altos riesgos. Para esta cartera se ha fijado un límite superior de 1000 acciones pertenecientes a la U.S. Oíl, que son las más riesgosas. ¿Cuántas acciones de cada tipo se deben comprar con objeto de maximizar el rendimiento anual total? Función objetivo Max. 3 x 1+5 x 2=Z X 1 = U.S. Oil

X 2=Hub properties Sujeto a restricciones Totalde cartera x1 + x 2 ≤ 80.000

Índice de riesgo 0.5 x1 +0.25 x 2 ≤ 700 Acciones U.S. Oíl x 1 ≤ 1000 Nonegatividad : x 1 ; x 2 ≥0

25 x1 + 50 x 2 ≤ 80.000 0.5 x1 +0.25 x 2 ≤ 700

25 x 1 +50 x2 ≤80.000  25 x 1−12.5 x 2 ≤−35.000  0+37.5 x 2=45.000 x2=1.200

0.5 x+ 0.25 ( 1.200 ) ≤ 700 (-50) 0.5 x=700 -300 0.5 x=400 x 1=800

0.5 x1 +0.25 x 2 ≤ 700 x 1 ≤ 1000

0.5 (1.000 )+0.25 x 2 ≤ 700 0.25 x2 =700−500 0.25 x2 =200 x 2=800 Funcion objetivo 3 x 1+5 x 2 = Z 3 ( 800 ) +5 ( 1.200 ) =8.400 Punto optimo 3 ( 1.000 ) +3 ( 800 ) =7.000

Para obtener una utilidad máxima de $8.400 se deben comprar 800 acciones de U.S. Oil y 1200 acciones de HubProperties.

Pág. 66- ejercicio 23 La firma Greentree Kennels, Inc., ofrece alojamiento nocturno para diversos tipos de mascotas. Una característica especial de Greentree es la calidad de la atención que se da a las mascotas, incluyendo excelentes alimentos. El alimento para perros de albergue se hace mezclando dos productos alimenticios caninos de alta calidad para obtener lo que en el albergue de denomina “dieta bien balanceada para perros”. Los datos de los dos alimentos son los siguientes: ALIMENTO PARA PERROS BARK BITS CANINE CHOW

$ $

COSTO POR ONZA 0,06 0,05

PROTEINAS (%)

GRASAS (%)

30 20

15 30

Si Greentree desea asegurarse de que los canes reciben cuando menos 5 onzas de proteínas y cuando menos 3 onzas de grasa al día, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los dos productos alimenticios para perros? Función Objetivo Min.

0,06 x 1+ 0,05 x 2=Z

X 1 = Bark Bits

X 2 = Canine Chow Sujeto a restricciones

Proteinas :0,3 x 1+ 0,2 x 2 ≥ 5

Grasas :0,15 x1 +0,3 x 2 ≥ 3 No negatividada : x1 ; x 2 ≥ 0 0.3 x1 +0.2 x 2 ≥ 5 (-2) 0.15 x1 +0.3 x 2 ≥ 3

0,3 x 1+ 0,2 x 2 ≥ 5  −0,3 x 1−0,6 x 2 ≥−6  0−0,4 x 2=−1 x 2=2,5

0,3 x1 + 0,2 (2,5 ) ≥5 0,3 x1 =5−0.5 0,3 x1 =4,5 x 1=15

Funcion objetivo0,06 x 1 +0,05 x 2=Z 0,06 ( 15 ) +0,05 (2,5 ) =1,025 Para obtener un costo mínimo de $1,025 se deben mezclar 15 onzas de Bark Bits y 2,5 onzas de CanineChow

Pág. 62- ejercicio 24 Jack Kammer ha estado tratando de determinar la cantidad correcta de fertilizante que debe aplicar a su jardín. Después de hacer que la agencia agrícola local analizará el suelo, se le aconsejó poner cuando menos 60 libras de nitrógeno, 24 libras de compuestos de Fósforo y 40 libras de compuestos de potasio durante la estación. Se debe aplicar en mayo 1/3 de la mezcla, 1/3 de la mezcla en Julio y 1/3 a finales de septiembre. Después de Verificar en las tiendas locales de descuento, Jack encuentra que en esos momentos una tienda tiene una venta especial de fertilizante empacado. Un tipo de los que están en venta es la mezcla 20-5-20 que contiene 20% de nitrógeno, 5% de fósforo y 20% de potasio y se vende a 4$ (dólares) la bolsa de 20 libras. El otro tipo que está en venta es una mezcla 10-10-5 que se vende en 5$ (dólares) la bolsa de 40 libras. A Jack le gustaría saber cuántas bolsas de una mezcla que satisfaga los requerimientos mínimos aconsejados por la agencia agrícola. Al igual que todos los propietarios de casa con jardines grandes, le gustaría gastar lo menos que fuera posible para mantener su jardín en buen estado ¿Qué es lo que debe hacer nuestro amigo?

Función Objetivo Ζ (Min)=

5 4 x1 + x2 20 40

Restricciones: 0,2 x 1 +0,1 x 2 ≥ 60

Alimentación mínima de nitrógeno en la mezcla

0,05 x1 +0,1 x 2 ≥ 24 Alimentación mínima de fósforo en la mezcla

0,2 x 1 +0,05 x 2 ≥ 40 Alimentación mínima de potasio en la mezcla x1 , x2 ≥ 0

Variables de no negatividad

900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

0

100

200

300

Restricciones limitantes:

−1 1

{

❑

0,2 x 1+0,1 x 2 ≥ 60 0,05 x 1+0,1 x 2 ≥ 24

−0,2 x 1−0,1 x 2 ≥ −60 0,05 x 1 +0,1 x2 ≥ 24 −0,15 x 1 ≥−36 −36 x1 ≥ −0,15 x 1 ≥ 240

}

400

{

500

600

}

0,2 x 1 +0,1 x 2 ≥ 60 0,05 x 1 +0,1 x2 ≥ 24

0,2 x 1 +0,1 x 2 ≥ 600, 0,2 (240 ) +0,1 x 2 ≥ 60 48 + 0,1 x 2 ≥ 60

0,1 x 2 ≥ 12 x2 ≥

12 0,1

x 2 ≥ 120

5 4 x1 + x 20 40 2 4 5 Ζ = ( 240 ) + ( 120 ) 20 40 Ζ =63 Ζ=

Para obtener la mezcla de fertilizantes de costo mínimo $63 dólares 240 libras de fertilizantes tipo “20-5-20” y 120 libras del fertilizante

Pág. 67- ejercicio 25 Car Phones Inc. Vende 2 modelos de teléfono para automóvil: el “x” e “y”. Los registros muestran que se invierte 3h de venta para cada modelo de teléfono “x” y 5 horas para cada modelo “y”. Para el siguiente período de 4 semanas existen un total disponible un total de 600h de tiempo de ventas. Además, las políticas de planeación de la empresa exigen objetivos de ventas de 25 unidades cuando menos para ambos modelos. a) Muestre la Región Factible para el problema de Car Phones. Inc.

Función objetivo: Ζ (Max)=40 x1 +50 x 2

Restricciones: 3 x1 +5 x 2 ≤ 600

Tiempo máximo de producción

x 1 ≥ 25

Requisito de venta Mínimo de x

x 2 ≥ 25

Requisito de venta Mínimo de y

x1 , x2 ≥ 0

Variables de no negatividad

350

300

250

200

150

100

50

0

0

50

100

150

200

250

b) Suponiendo que la compañía obtiene una contribución a las utilidades de $40 por cada modelo “x” y $50 por cada modelo “y” vendido. Cuál es la meta óptima de ventas para la compañía para el siguiente período de 4 semanas.

{

3 x 1 + 5 x2 ≤ 600 x2 ≥25

Restricciones limitantes:

x 2 ≥ 25

}

3 x1 +35 ≤ 600 3 x1 +5(25)≤ 600 3 x1 ≤ 475

Ζ =40 x 1+50 x 2 Ζ =40(158,33 )+ 50 (25) Ζ =7583,33

x1 ≤

475 3

x 1 ≤ 158,33

La meta óptima de ventas es vender 158 modelos de “x” y 25 modelos de “y” lo que nos deja una utilidad máxima de $7583.33 dólares. c)

Elabore una restricción y muestre una región factible, si los administradores incluyen la restricción de que Car Phones debe vender la misma cantidad de modelos “y” que de modelos “x”. 3 x1 + 5 x 2 ≤ 600

Tiempo máximo de producción

x 1 ≥ 25

Requisito de venta Mínimo de x

x 2 ≥ 25

Requisito de venta Mínimo de y

x 1= x 2

Requerimiento de venta nuevo

x1 , x2 ≥ 0

Variables de no negatividad

d) ¿Cuál es la nueva solución óptima si se incluye en el problema la restricción planteado en el inciso c? La meta óptima de ventas es vender 85 modelos de “x” y 85 modelos de “y” lo que nos deja una utilidad de $7714.2 dólares.

Pág. 67- ejercicio 27 La empresa Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. a) Determine cuantas unidades de cada fondo debe adquirir Innis para que el cliente pueda minimizar el índice de riesgo total de la carretera

Función objetivo: Ζ (Min)=8 x 1+3 x 2 Restricciones:

Fondos disponibles

5 x1 +4 x 2 ≥ 60.000

Ingreso anual

100 x2 ≥300.000

Unidades en fondo

x1 , x2 ≥ 0

Variables de no negatividad

16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0

0

5000

10000

15000

Restricciones limitantes:

20000

25000

{

50 x 1 +100 x 2 ≤1200.000 5 x1 + 4 x 2 ≥ 600.000

}

50 x1 +100 x 2 ≤ 1200.000 −1 10

❑

{

50 x1 +100 x 2 ≤ 1200.000 5 x 1+ 4 x 2 ≥60.000

}

−50 x 1−100 x 2=−1200.000 50 x 1 +40 x 2=600.000 −60 x 2=−600.000 −600.000 x 2= −60 x 2=10.000 Ζ =8 x1 +3 x 2

50 x1 +100 (10.000 )≤ 1200.000 50 x1 +1000.000 ≤1200.000 50 x1 ≤200.000

x1 ≤

2...