Investigacion documental del tema 3 y subtemas lineas de influencia PDF

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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LOS RIOS.

NOMBRE DEL ALUMNO: JUAN PABLO GUZMAN ARCOS. CATEDRATICO: ING. CLAUDIA ESTELA ADRIANO CASTRO. CARRERA: ING. CIVIL. 6º SEMESTRE “A”. ASIGNATURA: ANALISIS ESTRUCTURAL. TRABAJO: INVESTIGACION DOCUMENTAL DEL TEMA 3 Y SUBTEMAS.

3.2. Definición y propiedades de la línea de influencia 3.3. Método de Müller Breslau aplicado a vigas simples. 3.4. Serie de sobrecargas aisladas.

1

3.2- LÍNEAS DE INFLUENCIA 6 . 1 CONSIDERACIONES GENERALES Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas, la generalización a otros tipos de estructuras es casi inmediata y no requiere de nuevos conceptos a los necesarios en nuestro tratamiento. La posibilidad de cargas móviles implica la necesidad de obtener: a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para distintos puntos de aplicación de la misma. b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una sección dada Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas la secciones de la viga, o por lo menos, en varias secciones características según las circunstancias. El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes grúa, etc., donde las cargas móviles (p) tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes (g). 6 . 2 DEFINICIÓN DE LÍNEAS DE INFLUENCIA Definiremos como líneas de influencia de una solicitación (o deformación), en la sección A-A, a un diagrama tal, que su ordenada en un punto i mida, en una determinada escala, el valor de la solicitación en la sección A-A (o de la deformación), cuando en el punto i de referencia actúa una carga de valor unitario. P =1 A

Mf

i

A i

En el caso de la figura, diremos que Mf(A) es la Línea de Influencia del momento flector en A, si se cumple que la ordenada i representa el valor del momento flector en A para una carga P = 1 aplicada en el punto i. Mf (A) = i * (escala de L. de

I.) para P = 1 aplicada en i Si P  1 se cumplirá: Mf (A) = P * i * (escala de L. de I.) Esto mismo puede aplicarse para otros estados de carga y otras solicitaciones, reacciones , deformaciones, etc. 6 . 3 LINEAS DE INFLUENCIA EN SISTEMAS ISOSTÁTICOS

Recordemos algunos elementos básicos aplicados en sistemas isostáticos simples a fin de apreciar las similitudes y diferencias con el tratamiento que daremos a las vigas hiperestáticas. Nada mejor para esto que la aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales, en el método de la Cadena Cinemática en una viga isostática de dos tramos para distintos casos de solicitaciones, o Método Analítico.

2

Pág 3

6 . 3 . 1 LÍNEA DE INFLUENCIA DE UNA REACCIÓN P=1 A RA

i l P=1

S

B

C l/32/3 l

RA

i

 A

Deseamos la L. de I. de RA que denominamos con  RA. Eliminamos el apoyo A, colocamos el esfuerzo correspondiente al vínculo suprimido, y damos un desplazamiento A en el apoyo al mecanismo formado. Por aplicación de P.T.V.:  R A .  1tn.i  0 A

R A   1tn.  RA  i i 

RA

A

carga

unitaria aplicada en i, donde

Donde vemos que RA es proporcional a la coordenada i o sea que i en una determinada escala puede representar el valor de RA para una

1 A

se puede incorporar como factor de escala.

6 . 3 . 2 LÍNEA DE INFLUENCIA DEL MOMENTO FLECTOR

A

P=1 Hi

C

B

H

P=1 MfH

+

i

Mf

H

H

Deseamos la L. de I. del MfH en la sección HH. Para ello eliminamos el vínculo que transmite el momento en dicha sección introduciendo una articulación. A la cadena cinemática formada, doy un desplazamiento virtual y aplico el P.T.V despues de explicitar el MfH en la sección (+ tracción abajo).  Mf H .H 1tn.i  0 Mf H   1tn.i 

 MfH  i A

Con las mismas condiciones anteriores podemos decir que el diagrama cinemático es en una determinada escala la línea de influencia buscada. 6 . 3 . 2 LÍNEA DE INFLUENCIA DEL ESFUERZO DE CORTE

P=1 Hi

A

H

C

B

H

para el esfuerzo de corte QH eliminamos un vínculo al introducir en H-H un mecnismo como el siguiente: Q H

(+)

+

i

(-)

QH

(-)

Q

H

QH

Q H

Aplicando el P.T.V.: Q H . H 1tn.i  0 3

Pág 4

Q H

i

1tn.   QH   i  H

 

4

Pág 3

6 . 3 . 2 LÍNEA DE INFLUENCIA DEL ESFUERZO NORMAL En este caso se introduce un mecanismo que no transmite esfuerzos normales:

x P 1

a

B

H

NH H

2

C

acción (+) Tr

RC

NH

NH

NH

 1 C1

A

RA L

a

N

(+)

H

a 



C2

H

 '

 1cos 

l

cos  (-)

i

Se pued en halla r los

centros de rotación, y el deplazamiento de H en la dirección de NH por aplicación del P.T.V. y la teoría de Cadena Cinemática. Analicémoslo aeste caso en forma analítica, que permite una buena visualización del problema:  x RA 1t * l  x 1t1  l  l para P = 1t entre 0  x  a N   1t  RAcos  N H x   x  0  N H  0 1t * cos  H a l  x  a  N H  l cos  para P = 1t entre a  x  l N H  RA cos  l



x N



  

x

 a  NH

3

 1

a

l

cos 

Pág 4

H  1t1   cos  l

4

Pág 5

   x  l  N H  0 Métodos análogos a los problemas isostáticos aparecen en los casos hiperestáticos, con algunas variantes. Desarrollaremos alguno de estos métodos en los próximos puntos. 6 . 4 LÍNEA DE INFLUENCIA EN SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Analicemos por distintos métodos, una viga continua de cuatro tramos (grado 3 de hiperestaticidad) 6 . 4 . 1 MÉTODO POR PUNTOS Es un método cuya explicación es inmediata, basada en la aplicación de la definición de L. de I. Supongamos que la L de I del Momento flector en A-A (MfA). Dividamos cada tramo de la viga en partes iguales (cuyo largo dependerá de la precisión requerida) que en nuestro caso es igual a 6 partes. 6

0

0'

123

4

1' 2'3'

4'5'

5

A

7A 6'

12

18

24

12'

18'

24'

10 11

5

Pág 6

Coloquemos P = 1tn en el punto 1. Calculamos el MfA para esa carga (1) y al valor (en una determinada escala) lo dibujamos debajo del punto 1 (1'). Corremos P = 1tn al punto 2. Calculamos el MfA para esa carga (2) y al valor lo dibujamos debajo del punto 2 (2'), y así sucesivamente para todos los puntos (3, 4,........, 23, 24). Unimos los puntos 0', 1', 2'....., 23', 24' mediante curvas o poligonales, y por la forma de su construcción esta curva o poligonal es la L de I buscada (MfA). El método puede ser largo, según el número de puntos elegidos, pues para cada uno es necesario resolver un hiperestático. Dichos cálculos se pueden facilitar con la utilización de computadora, utilización de la matriz  para los distintos estados de carga, o la utilización de condiciones de simetría, si la estructura fuera simétrica. 6 . 4 . 2 MÉTODO DE MÜLER-BRESLAU (Aplicación de Betti - Maxwell) 6 . 4 . 2 a Línea de influencia de deformaciones Sea la viga de la figura, y queremos calcular B (Línea de Influencia de la rotación del nudo B). Para ello aplicamos en el nudo B la carga correspondiente con la deformación cuya L de I se busca, en este caso un momento unitario M = 1. M=1 A

C

B

1

D

E

Mf

i B P=1 i

(elástica)

 B

Resolvemos la viga y con las solicitaciones hallamos la elástica para ese estado de cargas. Demostraremos que esta elástica es la L de I de la rotación B ( B). Para ello aplicamos P = 1 en un punto genérico i, hallamos la elástica y la rotación B para este estado de carga. Aplicamos el teorema de Maxwell entre estos dos estados de carga: ; siendo M = 1 tnm y P = 1tn M . B  P . i B 

1tm 1tnm . i B  i .Escala de L. de I.  B

Es decir que en una escala determinada, la primer elástica representa B para cada punto i, o sea es su Línea de Influencia. 6

Pág 7

A

P* = 1

C

B

D

Como un segundo ejemplo analicemos en la siguiente viga la L de I del descenso en el punto D (D). Siguiendo los mismos pasos, aplico

en

D

la

carga

P*=1,

correspondiente con D.

Mf

Aplicar P =1 en el punto i, hallo



i

la elástica, D y por el teorema de Maxwell:

(elástica)

P * D  P. i

P=1 A

D

C

B

 D  i Escala de L. de I  D

i

D

(elástica)

6 . 4 . 2 b Línea de influencia de una Reacción

A

B

RA

C

D

E

P* = 1

RA

i



i

(elástica)

Deseamos la L. de I. de la reacción RA (RA). Eliminamos el apoyo y aplicamos en ese punto una carga P* = 1. Hallamos las solicitaciones y la elástica, que demostramos es la L. de I. De RA (RA). P=1 i

RA

A  0

B

C

D

E

(elástica) 7

Pág 8

Aplicamos ahora un segundo estado de cargas P = 1 en un punto i, junto con el verdadero valor de la reacción RA para esta carga, por lo cual el descenso A debe ser igual a cero. Aplicando el teorema de Maxwell: P *. A

 R A .  P.  i  0

RA 

6 . 4 . 2 c Línea iA de influencia de una Solicitación A

Sea la viga con una sección A - A en la cual queremos la L. de I. del momento flector en A ( Mf A ).

M=1

 i

Mf A

R A  i Esc. de L. de I.   AR

1tn i 

(elástica)  P=1

En A eliminamos el vínculo que resiste el momento flector, es decir colocamos una articulación, y además aplicamos un par de momentos M = 1. Hallamos las solicitaciones y la elástica, que demostraremos es la L. de I. Mf . A

Para ello aplicamos en un punto genérico i una carga P = 1 y el valor del verdadero MfA que corresponde a la viga original para dicha carga. La viga con la carga P = 1 y Mf A se comportará como la original, que por no tener en A una articulación, no sufrirá en dicho punto una rotación relativa y por lo tanto A = 0.

i MfA (elástica)

A  0 Aplicando el Teorema de Maxwell: M.

 A  P. i



Mf .  0 A

Mf  A

1tn i 

Mf A

 i  Esc. de L. de I. 

MfA

Veamos ahora en la misma sección la L. de I. del esfuerzo de corte QA (QA). Aplicamos en A el mecanismo de 6 . 3 . 3, con un par de Q = Q=1 1. Hallamos las solicitaciones y la elástica i será la L. de I. buscada (QA). Aplico P =1 en i y en A el verdadero Q=1 valor de QA con lo cual el desplazamiento Q A relativo normal al eje de la barra en la  i (elástica) sección A será nulo (A = 0). Aplicando el Teorema de Maxwell: P = 1QA

Q*. A  P.i  Q A .  0 QA

A  0

(elástica)

1tn i QA   QA  i Esc. de L. de I.  Q A

8

Pág 9

6 . 4 . 2 d Línea de Influencia por superposición de efectos (Matriz )

9

Pág 10

Para aprender este método vamos a trabajar con una viga continua que posee cuatro tramos, o sea con tres incógnitas hiperestáticas ; en forma genérica idicamos que esa viga tiene un apoyo fijo y los demás A A X2

X1

X3

móviles. Por el método de las fuerzas, en función del isostático fundamental adoptado, en una sección genérica A, el momento viene dado por la expresión: MA MA X MA X MA X MA 0

1

1

2

Si quisiéramos conocer 

2

M

3

3

, deberíamos identificar en la expresión que factores dependen del estado A

de cargas. Ellos son: M A , X1 , X y X . Será entonces: 0

2

 

A



M

A



3

 X M A 

M0

1

1

MA  MA X2

2

X3

3

Para obtener las líneas de influencia de las incógnitas hiperestáticas utilizamos las propiedades de los coeficientes  vistos en el Capítulo 2 en el tema de Matriz . Recordemos que: n

  X i  10 i1   20 i2  ..........   n0 in j1

j0

ij

donde

Xi : incógnita hiperestática j0: término que depende de las cargas exteriores. ij =  ji: coeficiente independiente de las cargas exteriores. queremos la línea de influencia Xi en nuestra viga Si Xi  10 .i1  20 .i2  30 .i3 Analicemos por etapas las distintas L. de I. que pueden aparecer en nuestra estructura 0

1 X1

2 P

X2

3

4

j0

X3

Línea de influencia del término Definimos

el

isostático

fundamental con las incógnitas X 1, P=1 10

X 2, X 3(momento en los apoyos intermedios) aplicando articulación

20

en los apoyos 1, 2 y 3. Aparecen los  j0, rotaciones relativas en el apoyo

X1=1

 10

j

(corrimientos

correspondientes

con X j). De acuerdo con 6. 4. 2.a para la L. de I. de 10 (  10 ) debo calcular la

X2=1

 20

X3=1

elástica para la carga X1 = 1. En

Pág

forma similar se procede para 20 y 30.

Línea de influencia de una incógnita Xi

X1

De acuerdo copn lo visto: X1  10 11  20 12  30 13

X2

 X2           20 22 30 21 10 23

 X3             10 31 20 32 30 33

X3 Donde los diagramas X1 , X2 y

 X3 son combinaciones lineales de

Línea de influencia de una solicitación (Mf) A A



los  10 ,  20 , y  30.

Hallaremos la L. de I. del momento flector en el punto A ( Mf A ) del hiperestático. Sabemos del Capitulo II:

A

M1

MA MA X MA X MA X MA f

M

A

Mf

1

1 M A2

0

1

1

2

2

y por lo tanto será:  A  A   MA  X  

X1 X2

1

1

M0

1

3

3

MA   MA X2

2

X3

3

Donde serán:  A : L. de I del MA en el M0

isostático fundamental X1 , X2 y X3 : L. de I de la MA 0 3

1

incógnitas hiperestáticas ( X1, X 2 y X3 ) M A , M A y M A : Momento en

X 3 A

Mf 

Mf

A

respectivamente. : línea de influencia del MfA del hiperestático.

1

2

3

sección A del isostático para cargas X 1 = 1; X 2 = 1; X 3 = 1,

Análisis similares se pueden realizar para las reacciones de apoyo, los esfuerzos N y Q o deformaciones.

3.3- MÉTODO DE MÜLLER-BRESLAU Este principio puede enunciarse como sigue:

“Si una componente de esfuerzo interno o una componente de reacción se considera aplicada a lo largo de una pequeña distancia y que dicha aplicación flexione o desplace una estructura, la curva de la estructura flexionada o desplazada será, en escala proporcional, la línea de influencia para los esfuerzos o componentes de reacción”. Este principio se aplica a vigas, marcos continuos, estructuras articuladas y a estructuras estáticamente determinadas e indeterminadas. Sin embargo, para estructuras determinadas se limita a aquellas para las que es válido el principio de superposición. La línea de influencia de una reacción o de una acción tiene la misma forma que la viga deformada cuando se le impone un desplazamiento unitario correspondiente a la reacción o acción determinada. Consideremos la viga de la figura 4.1.1.

Figura 4.1.1

La línea de influencia de la reacción A se obtiene introduciendo la forma de la viga deformada es la línea de influencia de RA. Para introducir el desplazamiento unitario, se supone que se elimina la restricción a la deformación de la viga en el apoyo, y no se permite otro tipo de deformación, por ejemplo debido a la flexión o fuerza cortante. Por esta última razón la viga permanece recta. Lo anterior se ilustra a continuación:

La línea de influencia de la fuerza cortante en el punto C de la viga, se obtiene cortando la viga en ese punto, e introduciendo un desplazamiento unitario correspondiente a la fuerza cortante. La forma de la viga deformada es la línea de influencia de VC. En este caso no deben permitirse deformaciones por flexión o por desplazamiento de las reacciones.

a

b

La línea de influencia del momento flexionante en el punto C de la viga, se obtiene introduciendo una articulación en ese punto, como se muestra, e imponiendo un giro unitario, o sea, la deformación correspondiente a flexión. La forma de la viga deformada es la línea de influencia de MC. La primera condición implica que los dos tramos de la viga permanezcan unidos en el punto C.

C

Una demostración más formal del Principio de Müller-Breslau se incluye usando el Principio de Trabajo virtual. Supóngase que en la viga de la figura 4.1.1. se coloca una carga virtual unitaria en un punto cualquiera a una distancia X del origen de coordenadas. Si se impone a la viga un desplazamiento �RA en el apoyo A; el punto de aplicación de la carga unitaria sufrirá un desplazamiento Y. Al imponer el desplazamiento en el apoyo A, la reacción en A y a carga unitaria realizara un trabajo igual a la magnitud de las cargas por su desplazamiento. Por lo tanto, se puede escribir la ecuación: � � ��� = ((1)) (

Pero si el desplazamiento es unitario: � = ��

Esta ecuación indica que si se aplica una carga unitaria en un punto situado a una distancia X del origen, la ordenada de la viga desplazada en el punto de aplicación de la carga es igual a la reacción RA producida por la carga unita...