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Nombre: Paul Flores Curso: 4to “A”

Introducción Una ecuación diferencial es aquella que relaciona las variables independientes con la vari able sus derivadas con respecto a una o más variable s independientes. Las ecuaciones dife renciales ju fundamental tanto en la pro pia Matemática com o en otras cie ncias com o la Física, Químic Biol ogía, etc. Si y = f (x ) es un a función dada, su derivad a respect o de la variable independien int erpretar com o el ritmo de cambio d e la variabl e y respect o de la varia ble x. Por ejempl o, es que en un proceso económico, las va riables in volucradas y sus ritmos de variación estén relacio por medi o de los principios económicos que gobiern an dicho proces o. Al ex presar tal conexió mat emáticos el re sult ado es, co n fre cuencia, una ecu ación difer encial. A dif erencia de l al gebraicas, en una ecua ción difer encial la incóg nita es una función (en oc asiones del tiem po), Una ecuación diferencial es aquélla que relaciona una o va rias varia bles indepe ndi entes, un di chas varia bles (que es la función incógnit a) y las derivadas de dicha funci ón hasta un ci erto or Obj etivos Obj etivo general: Apr ender acer ca del método de s ustitución en e cuaciones difere ncial es y como poder aplicarla s. Obj etivos esp ecíficos: Saber cómo apli car el método de sustitución en ec uaci ones difer enciales con ej ercicios pr áctic os Saber un método n uevo para poder resolver ecuació n diferencial. Ma rco Teórico Para resol ver una ecuación d iferencial, primer o identif icamos como una ecuació n de cie rto ti por ej emplo), y a conti nuación desarro llamos un procedimiento forma do por pas os matem áticos tipo de la ecu ación que produzc a una func ión su ficientemente diferenciable la cual satisf aga l menudo comenzamo s transformand o una ecuación difer encial dada a e n otr a ecuació n dif erencial sustitución. Ecuaciones Homog éne as. Cuando una fu nci ón f tiene la propiedad f ( tx,t y ) =tª f ( x ,y ) , pa real a se dice que f es una fu nci ón homogéne a de grado a .

Suponga

que

se

desea

transformar

la

ecuación

dife rencial

de

primer

orden

 que si se res uelv e para du/ dx, tiene la forma:

 Si de esta última ecuación se puede determinar una solución u=f(x), entonces una s ec uación difere ncial original e s y=g(x,f(x)).

Por ejemplo: f (x ,y ) = x3 + y 3

Es homog énea de grado 3 por que:

Mi entras que f (x,y ) =x3 +y 3 +1 no es homogénea. Una ecuación dif erencial de prim er orden M (x,y )dx +N ( x,y )dy = 0 (1.1) Es homog énea si los c oeficientes M y N a la vez son funciones homogéneas del mism o gr palabras la ecua ción (1) es hom ogénea si: M ( tx,ty ) = tª M ( x ,y ) N ( tx,ty ) = t ª N (x ,y ) Ade más si M y N son funcion es homogéneas d e gr ado a , también es posi ble escribir: M (x ,y ) =xª M (l,u ) } :.u = y N ( x,y ) =x ª N (l,u ) x ó M (x ,y ) = yª M (v,1) } :.v = x N (x,y )= yª N (v,1 ) La s pro piedades anteriores parece n indicar las sustituci ones que se puede n ha cer para r ec uación difer encial homo génea. En forma esp ecifica, algun as de la s sustituciones y =u / donde u y v son nuevas v ariables dependient es, esto reducir á una ecuación h omogénea a u di ferencial d e variables separa bles de primer or den. Por lo tanto las s ustituciones s ugeridas será n las siguientes: y = ux => dy = udx + xdu x = vy => dx = vdy + y dv...