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Investigacion#1 Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. Factor común El resultado de multiplicar un binomio la propiedad distributiva:

por un término

se obtiene aplicando

En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es , es decir, el producto de la base por la altura , y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y Cuadrado de un binomio Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Dos binomios con un término común Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

Tres binomios con término común Fórmula general:

Binomios con término común Fórmula general:

xn + (suma de términos no comunes agrupados de uno en uno)x n-1 + (suma de términos no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +… + (producto del número de términos) Producto de dos binomios conjugados Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

Agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia. En el caso , aparecen polinomios. Cuadrado de un polinomio Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Ejemplo:

Multiplicando los monomios:

Agrupando términos:

Luego:

Romper moldes .2 Cubo de un binomio Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente: El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo. El triple producto del primero por el cuadrado del segundo. El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Factorización Caso I - Factor común Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor común entre los factores

Factor común por agrupación de términos

Y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x. Factor común polinomio Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. Un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

Caso II - Factor común por agrupación de términos Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Un ejemplo numérico puede ser:

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría. Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro positivo.

O en una forma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.' Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo:

Ejemplo:

Caso VII - Suma o diferencia de potencias La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar): Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización. Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término (4x2):

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente:

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2:

: Queda así terminada la factorización: : Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

Caso X - Divisores binomios Su proceso consiste en los siguientes pasos. Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³

Suma de Cubos: a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) El cuadrado del 1er termino, [a²] [-] el producto de los 2 términos [ab] [ + ] El cuadrado del 2do termino; [b²] Diferencia de Cubos: a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b) El cuadrado del 1er termino, [a²] [ + ] El producto de los 2 términos [ab] [ + ] El cuadrado del 2do termino; [b²]

Investigación#2 ¿Qué es Razón?

En matemáticas la razón es una relación binaria entre magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b. En el caso de números toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal

Ejercicio: En una clase de un colegio cada pelota es utilizada por cada cinco niños, o sea que tenemos cinco veces más alumnos que pelotas de fútbol. Tenemos entonces en este ejemplo de razón que la relación entre alumnos – pelotas es 5 a 1. Esta razón se denota 5/1 y la podemos leer como: cinco es a uno. El valor de la razón la obtenemos dividiendo 5/1=5. Concluimos con este ejemplo de razón que existe el quíntuple de alumnos que de pelotas de fútbol.

¿Qué es proporción? Proporción es un término que procede del vocablo latino proportĭo. Se trata de la correspondencia, el equilibrio o la simetría que existe entre los componentes de un todo. La proporción puede calcularse entre los elementos y el todo o entre los propios elementos.

Ejercicio Si las pelotas son 7, ¿cuántos son los alumnos? Del ejemplo anterior de rezones sabemos que hay 5 alumnos por cada pelota de fútbol: 5/1. Entonces, si ahora tenemos siete pelotas significa que la cantidad de alumnos es de 35. 5--------35 1 ------- 7 La cantidad de balones de fútbol y alumnos guardan una relación que es proporcional. En este ejemplo las dos razones son proporcionales: 5/1 = 35/7 En todas las proporciones, el producto de los medios es igual al producto de los extremos: Producto de los medios: 1 x 35 = 35

Producto

de

los

extremos:

5

x

7

=

35

Para leerlo expresamos que 5 es a 1 como 35 es a 7.

¿Qué es porcentaje? El porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad Ejercicio:

Investigación # 3

Axiomas, teorema, sucesiones y progresiones Axiomas de Peano La intención de esta serie de entradas es simplemente explorar cómo, a partir de los Axiomas de Peano, pueden probarse las propiedades básicas de los números naturales.

Los axiomas de Peano Estos axiomas se refieren a ciertos objetos a los que llamaremos números naturales y tienen como elementos primitivos al número 0, que es un número natural, a la función sucesor, que indicamos con la letra S, y a las operaciones de suma y producto. Los axiomas son:

Axioma 0: El sucesor de un número natural es siempre un número natural, la suma y el producto de dos números naturales es siempre un número natural. Axioma 1: Para toda n, S (n) ≠0. Axioma 2: Si S(n) = S (m) entonces n = m. Axioma 3: n + 0 = n. Axioma 4: n + S(m) = S(n + m). Axioma 5: n.0 = 0. Axioma 6: n.S(m) = n.m + n. Axioma 7 (Esquema de inducción): Para cada fórmula P(n), si puede probarse que vale P(0) y también que vale "P(n) ⇒ P(S(n))" entonces P(n) vale para todo n.

Teoremas: Estos son algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano.

Teorema 1: 0 + n = n. Demostración: Aplicamos el esquema de inducción. Para n = 0 la afirmación vale por el axioma 3.

Tenemos que probar que "0 + n = n ⇒ 0 + S(n) = S(n)". Veamos que es así: Si 0 + n = n entonces 0 + S(n) = S(0 + n) = S(n).

Teorema 2: n + S(m) = m + S(n). Demostración: Hacemos inducción en m. Para m = 0 la afirmación vale porque: n + S(0) = S(n + 0) = S(n) = 0 + S(n), esto último por el teorema 1. Veamos que n + S(m) = m + S(n) implica n + S(S(m)) = S(m) + S(n). S(m) + S(n) = = S(m + S(n))

(ax. 4)

= S(n + S(m))

(hipótesis)

= n + S(S(m))

(ax. 4).

Teorema 3: n + m = m + n (Es decir, la suma es conmutativa). Demostración: Fijamos n y hacemos inducción en m. Para m = 0 vale ya que n + 0 = n = 0 + n, por axioma 3 y teorema 1. Tenemos que probar que n + m = m + n implica n + S(m) = S(m) + n, veamos que es así: n + S(m) = = S(n + m)

(ax. 4)

Teorema de la Inducción La inducción matemática: Es un procedimiento o método de demostración que se utiliza para probar y/o demostrar que algunas operaciones o proposiciones se verifican para cualquier número natural, es decir, (n N).

Principio de inducción matemática Si una propiedad p se cumple para un número natural k cualquiera, también se cumplirá para su sucesor k+1 y por consiguiente se cumplirá para cualquier número natural. Pasos para probar una proposición por inducción matemática 1.- Se prueba la proposición dada para n=1 2.- Se prueba para n=k, lo cual se acepta como verdadero por ser la hipótesis de la inducción. 3.- Si la propiedad se cumple para n=1 y para n=k, entonces se prueba para n=k+1. Ejemplo Pruebe por inducción matemática que 3+7+11+………..+4n-1= n (2n+1) Solución: Para n=1 4(1)-1=1[2(1)+1] 4-1=1(3) 3=3 Para n=k 3+7+11+……..+4k-1=k (2k+1)

hipótesis

Para n=k+1 3+7+11+……. +4k-1 +4(k+1)-1=k+1[2(k+1) +1] k (2k+1)+4k+4-1=k+1(2k+2+1) 2k2+k+4k+3=2k2+2k+k+2k+2+1 2k2+5k+3=2k2+5k+3 L.Q.Q.D. Teorema del binomio El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. La fórmula general del binomio sea igual de la siguiente forma (a+b): Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por sí mismo se obtienen las siguientes potencias:

(a+b)1= a+b (a+b)2= (a+b) (a+b)= a2 + 2ab + b2 (a+b)3= (a+b) (a+b) (a+b)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

De esto descrito se puede concluir que:

El desarrollo de (a+b)n tiene n+1 términos. Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término hasta cero en el último. Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno cada término, hasta n en el último. Por cada término la suma de los exponentes de a y b es n. El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n. El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente a dividido entre el número que indica el orden de ese término. Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. Algunas simetrías se pueden ver en el Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de (a+b)n.

A este tipo de números se les llama coeficientes binomiales, dado que cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1.

Cada elemento es la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y derecha en el renglón superior. Por ejemplo n=4, el segundo coeficiente 4 es la suma de los elementos 1 y 3 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior, y también el coeficiente 6 es la suma de los elementos 3 y 3 del renglón superior. Ejemplo Resolver por el teorema del binomio: (a + 2b)4 Solución n=4 Se utilizarán los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir: (a + 2b)4= 1(a)4 + 4(a)3 (2b)1 + 6(a)2 + 4(a)1 (2b)3 + 1(2b)4 Efectuándose las potencias, se tiene que: (a + 2b)4= 1.a4 + 4.a3.2b + 6.a2.4b2 + 4.a.8b3 + 1.16b4 Efectuando los productos: (a + 2b)4= a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4

Sucesión Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,si no es una sucesión finita

Ejemplos {1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita) {20, 25, 30, 35,...} también es una sucesión infinita {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita) {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás {1, 2, 4, 8, 16, 32,...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético {a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo" {0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo) En orden Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras! Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces). Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término. Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula! Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el: 10º término,

100º término, o n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos). Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término). Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}? Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo: Probamos la regla: 2n n

Término

Prueba

1

3

2n = 2×1 = 2

2

5

2n = 2×2 = 4

3

7

2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco: Probamos la regla: 2n+1 n Término

Regla

1 3

2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5

2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7

2n+1 = 2×3 + 1 = 7

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1 Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201 4.4 Notación Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así: Posición del término

Es normal usar xn para los términos: xn es el término n es la posición de ese término Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así: xn = 2n+1 Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir: x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21 ¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º? Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas: Tipos de sucesiones Sucesiones aritméticas El ejemplo que acabamos de usar, {3, 5, 7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Ejemplos 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, ...