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Material Complementario Matemática Básica Primer Semestre 2006

Autores: M Abdala, MC Silva, A Lizana, M Galaz & V Fazio

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

Material Complementario Matemática Básica 2006

UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO Introducción En esta Unidad recordaremos algunos conocimientos de Álgebra en los números Reales, algunas operaciones que se pueden realizar con las expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado. 1.

Término Algebraico:

Se llama término algebraico a una combinación de números (coeficiente) y letras (factor literal) que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y / o la división. Ejemplo 1. − 2b

Observación:

3 xy 4

6 a2 p ;

;

El término algebraico consta entonces de un coeficiente y un factor literal. Se le llama grado del término algebraico a la suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término.

Ejemplo 2. En el término literal, y el grado.

− 5x 2 y 5

identifique, signo, coeficiente, factor

Solución: Signo Coeficiente Factor literal Grado Observaciones:

1)

: negativo ( - ) :5 : x 2 y5 :7

Si el coeficiente no está escrito entonces es 1.

2)

Si no aparece el signo este es “+”.

3)

Si el grado no está escrito, entonces es 1.

Actividad: Identifica, el signo, el coeficiente, el factor literal y el grado, de los términos del Ejemplo 1. El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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2.

Expresión Algebraica:

Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de términos algebraicos. Si la expresión tiene sólo un término se llama monomio, si posee dos términos se llama binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o más se habla de polinomios. Ejemplos •

Binomios

• •

Trinomios : Polinomios :

Observación:

3.

:

3x 2 + 5 y

;

2− 3x

2x + 3y− z

;

a2 + 2ab − c3

3x 2 y 4 + 5xy + 6xz − 8 yz

;

x 2 + 3x − 2

El término polinomio se puede usar en forma general para cualquier expresión algebraica.

Términos Semejantes:

Son aquellos términos que poseen el mismo factor literal (en donde cada letra tiene el mismo exponente), pero distinto factor numérico o coeficiente. Ejemplo: xz 2

; − 3xz 2 ;

3 2 xz 4

Claramente se puede apreciar en el ejemplo que los términos anteriores son semejantes entre sí, ya que, solamente difieren en el factor numérico. Observación: Reducir una expresión algebraica, significa sumar y/o restar solamente los términos semejantes. Ejemplo:

5x 2 + 6x 2 − 3xy − 4x 2 + 2 xy − 3xz

En el ejemplo hay que reconocer los términos semejantes. En este sentido, tenemos tres términos diferentes ( x 2 ; xy ; xz ). Por lo tanto realizando la suma de los términos semejantes correspondiente tenemos como resultado lo siguiente: 7 x 2 − xy − 3xz

El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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4. Potencias. Definición: a n , se lee: “ a elevado a n “, donde n es el exponente ( n ∈ Z ), y a es la base ( a ∈ IR ). Propiedades de las Potencias. 1)

bm ⋅ bn = b m +n

: en el producto de potencias de igual base y distinto exponente, se suman los exponentes y se mantiene la base. Ejemplo 32 ⋅ 36 = 32 +6 = 38

m

2)

b = b m −n n b

si b ≠ 0 : en la división de potencias de igual base, se conserva

la base y se restan los exponentes Ejemplo 44 = 4 4− 2 = 4 2 = 16 42

3) (b m ) n = bm ⋅n : Cuando hay una potencia elevada a otra potencia, se debe multiplicar los exponentes conservando la base. Ejemplo (53 )2 = 53 ⋅2 = 56 m

4)

am ⎛a ⎞ ⎜ ⎟ = m b ⎝b ⎠

si b ≠ 0 : Un cuociente elevado a una potencia, es igual al

numerador y al denominador elevado a la misma potencia. Ejemplo 3

⎛ 2⎞ 23 8 ⎜ ⎟ = 3 = 3 27 ⎝ 3⎠

El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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5) b0 = 1 si b ≠ 0 cero es igual que 1

: Toda base distinta de cero, elevado a un exponente

Ejemplo 124 0 = 1

6)

n b− =

1 si b ≠ 0 bn

: Toda base distinta de cero, elevada a un exponente

negativo es igual que el recíproco del número elevado a esa potencia, pero positiva. Ejemplo 6− 3 =

1 1 = 3 216 6

Actividad: Inventa dos ejemplos para cada una de las propiedades antes mencionadas. ¿Puedes probar la propiedad número 5? 5.

Multiplicación de Polinomios.

Para la multiplicación de polinomios se aplican los propiedades de conmutatividad, asociatividad (de la adición y multiplicación en IR ) y la propiedad de la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. Para tal efecto se distinguirán tres casos: a) Monomio por monomio. Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales. Ejemplo:

( 2 x y ) ⋅( − 5 xy ) = −10 x 3

2

3

4

y5

b) Monomio por Polinomios: Se distribuye el monomio con respecto a cada término del polinomio, de este modo se obtiene una suma de monomios, en la cual si hay términos semejantes se deben reducir. Ejemplo:

3 a3 b (⋅ 3 a +2 b −3 ab) =9 a4 b +6 a3 b +9 a4 b2

c) Polinomio por Polinomio: Cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo polinomio, reduciendo a continuación los términos semejantes (si es que hubiesen). A este tipo de multiplicación se le llama multiplicación término a término. El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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(2 x3 − 6 y) ⋅( 3 x − 2 y + 4 xy) = 6 x4 − 4 x3 y +8 x4 y −18 xy +12 y2 − 24 xy2

Ejemplo:

Efectúe las siguientes operaciones.

Ejercicios: a)

3 a ⋅ ( a − 2b)

b)

− 5 x ⋅ (2 − 3 x 2 − 5 x)

c)

3 x2 (3 x6 − 2 x4 + x3 − 2 x + 3)

d)

− 6 x5 y 3 ( 3 x 2 y − 4 xy 4 − 2 x2 y2 )

e)

( 3 m2 − 2 mn + n6 ) ⋅13 m4 n2

f)

6 m2 ⋅(2 m − 5 n) − 3 m ⋅(6 m2 + 4 n)

g)

( x − y) ( x2 + xy + y 2 )

h)

( a + b) ⋅( a4 − a3 b + a2 b2 − ab3 + b4 )

6.

Productos Notables.

Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que se pueden desarrollar en forma directa y más rápida sin hacer la multiplicación término a término.

a)

Cuadrado de Binomio.

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. En lenguaje algebraico esto se expresa de la siguiente forma:

(a

± b) 2 = a2 ± 2 ab + b2

Ejemplo 1

(2 x + 5) 2 = 4 x2 + 20 x + 25 Ejemplo 2 2

1 y ⎞ ⎛1 − y ⎟ = 2 − + y2 ⎜ x 4x ⎠ ⎝ 2x El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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b)

Suma por Diferencia.

La suma por la diferencia de un binomio, es igual al cuadrado del primer término del binomio, menos el cuadrado del segundo. Algebraicamente esto se expresa como sigue: ( a + b) (a - b) = a2 - b2

Ejemplo 1

( x − 6) ⋅ ( x + 6 ) =

x2 − 36

Ejemplo 2 ⎛1 ⎜⎜ + ⎝x

c)

1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 2 − 2 y⎠ ⎝ x y⎠ x y

Binomios con Término Común.

Para multiplicar dos binomios que tienen un término común, el procedimiento es el siguiente: se eleva al cuadrado el término común, más la suma de los otros dos términos por el término común, más el producto de los dos términos no comunes. Algebraicamente esto se puede expresar como sigue:

(x

+ a ) ( x + b ) = x 2 + (a + b) x + ab

Ejemplo 1

( x + 5) ( x + 2 ) = x2 + 7 x + 10 Ejemplo 2

( a − 3) ( a + 2 ) = a2 − a − 6 Ejemplo 3 El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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(3 − 2 x) (2 − 2 x ) = 6 −10 x + 4 x2 Actividad:

7.

Resuelva los siguientes productos:

a)

( 2 p + q )2

b)

c)

(5 x 2 − 3 y) (5 x 2 + 3 y)

d)

(1− a) (1+ a) − (1− 2 a) (1 + 2 a)

e)

(3a 2 − 2b) (3 a 2 − 5 b)

f)

(4 a2 b − 3 a) (4 a 2 b + 9 a)

( 8 a2 b + 7 ab6 )2

g)

(2 x − a)(2 x − b)

h)

(4 r − 5 s) 2

i)

( 2 a − b) 2

j)

(3 a2 − 2 a)2

Factorización.

Factorizar una expresión algebraica (o suma y/o resta de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, es decir es el proceso inverso de la multiplicación o desarrollo de un producto. Distinguiremos los siguientes casos:

a)

Factor Común:

Monomio: en este caso se saca el término que es común en todos los términos del polinomio y el resultado se escribe como producto, por ejemplo: ac + ad = a ( c + d )

Binomio: En este caso se factoriza el binomio que sea común en toda la expresión algebraica y se expresa como producto, por ejemplo: ( a + b) c + ( a + b) d = (a + b)(c + d )

b)

Diferencia de dos Cuadrados.

Este procedimiento consiste en expresar como producto, la diferencia de dos términos que están al cuadrado, por ejemplo: El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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a

2

2

-b

= (a + b ) (a - b )

( 4a

Ejemplo:

2

)

− b 2 = ( 2a + b )( 2a − b )

c) Trinomio Cuadrado Perfecto. Recordemos que al desarrollar un cuadrado de binomio se obtiene como resultado un trinomio, este trinomio lo denominamos trinomio cuadrado perfecto y su factorización consiste en volver atrás recuperando el cuadrado del binomio a 2 ± 2 a b + b 2 = ( a ± b) 2 9 b2 + 30 b + 25 =(3 b + 5)2

Ejemplo:

Actividad:

8.

Factorice las siguientes expresiones.

a)

m2 + 3m

c)

x6 y9 z12 + x6 y8 z6 + x5 y8 z10

d)

a2 x2 y2 + b2 x2 y2 − 2 a2 − 2 b2

e)

3 + 15z + 4 y + 20 yz

f)

a 2 − 4 b2

g)

m 4 n6 − z 2

h)

x2 + 8x + 16

i)

4 t 2 + 12 t + 9

j)

a4 − 4 a2 b2 + 4b4

b)

t9 + t8 + t5

Fracciones Algebraicas.

Una fracción algebraica es el cuociente de dos expresiones algebraicas.

Ejemplos: 2a 3 3 ab

;

− 5xy 4 xy 4

;

6mp 8 xy

El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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9.

Simplificación de una Fracción Algebraica.

Para la simplificación de una fracción algebraica, es necesario que el numerador y el denominador tengan un factor común. En este sentido, distinguiremos dos casos. a)

Si el numerador y denominador son monomios, se cancelan los factores comunes.

Ejemplo 1 4 xy 3 2 xy

simplificando, queda: 2 y 2

Ejemplo 2 6 m2 p 2 q

en este ejemplo se debe factorizar y simplificar por 3 mp 2 q,

3 2

27mp q

es decir: 2

2

6m p q 3 2

27mp q

3mp q (2m ) 3mp 2 q(9 pq )

6m 2 p 2 q 2m = 3 2 9 pq 27mp q

∴

b)

2

=

Si el numerador y/o denominador son polinomios, es necesario factorizar el numerador y/o denominador y luego cancelar los factores comunes.

Ejemplo 1 x x − x2

En primer lugar se debe factorizar el denominador, lo

x ⋅ x (1 − x ) 1 la expresión (1 − x)

cual queda

ahora se cancelan el factor común quedando

El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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Ejemplo 2 16 a 2 + 4 a 4a 4 a ⋅ (4 a + 1) 4a

Al igual que en el ejemplo anterior se debe factorizar

cancelando los factores comunes la expresión final queda (4 a + 1)

Ejemplo 3

(

)(

) (

)

m 4 − n4 m 2 + n 2 ⋅ m 2 − n 2 = m2 − n2 = (m + n ) ⋅ (m − n ) = m2 + n 2 m2 + n 2

Actividad

10.

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a)

m3 − 2 m2 n + mn2 m3 − nm2

b)

c)

2 m3 − 18 m 2m 2 − 6

d)

(x − 5) 2

x − 25

4p 2 − 4p + 1 2 4p − 1

Operatoria Con Fracciones Algebraicas

Para sumar y/o restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas se aplican las propiedades de los números reales.

Ejemplo 1 Sume las siguientes expresiones

b2 a2 − = a+ b a +b

Solución: Tal como se hace en la suma de fracciones se debe encontrar el común denominador, en este caso los denominadores son iguales, por lo tanto el común denominador es a + b El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

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a2 −b 2 a+ b

Sumando tenemos

luego se factoriza el numerador

( a + b ) ⋅ (a − b ) . a+b

Cancelando, la expresión final queda ( a − b )

Ejemplo 2 Resuelva:

3a 6a + 15b ÷ = a + 5b a + 5b

Solución: En...