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214 CAPÍTULO 4 Análisis del equilibrio coplanarPARTE C: Análisis de armaduras planas4 Descripción de una armaduraUna armadura es una estructura compuesta de barras rectas y esbeltas que están unidas entre sí para formar un patrón triangular. Las armaduras suelen diseñarse para transmitir fuerzas sob...

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CAPÍTULO 4 Análisis del equilibrio coplanar

214

PARTE C: Análisis de armaduras planas 4.10

Descripción de una armadura

Una armadura es una estructura compuesta de barras rectas y esbeltas que están unidas entre sí para formar un patrón triangular. Las armaduras suelen diseñarse para transmitir fuerzas sobre claros relativamente largos; ejemplos comunes de éstas son las armaduras de puentes y las de techos. En la figura 4.15(a) se muestra una armadura común de un puente.

(a)

(b)

Fig. 4.15 El análisis de las armaduras se basa en las hipótesis siguientes:

P P

1. Los pesos de los miembros son despreciables. Una armadura se puede clasificar como una estructura de peso ligero, lo que significa que los pesos de sus miembros por lo general son mucho menores que las cargas para las que se diseña que soporte. 2. Todos los nodos están articulados. En la práctica, los miembros de cada nodo suelen remacharse o soldarse a una placa, denominada placa de unión, como se muestra en la figura 4.15(b). Sin embargo, si los miembros en un nodo están alineados de manera que sus ejes centroidales (ejes que pasan por los centroides de las áreas transversales de los miembros) se intersecan en un punto común, métodos avanzados de análisis indican que se justifica la hipótesis de una conexión articulada. 3. Las fuerzas aplicadas actúan en los nodos. Como los miembros de una armadura son esbeltos, pueden fallar por flexión cuando se someten a cargas aplicadas en ubicaciones diferentes a los nodos. Por tanto, las armaduras se diseñan de manera que las principales cargas aplicadas actúen en los nodos.

P P

P

P

Tensión P P

P P P Compresión

Fig. 4.16

P

Aunque estas hipótesis en apariencia pueden simplificar demasiado una situación real, conducen a resultados que son adecuados en la mayoría de las aplicaciones. Considerando las hipótesis, el diagrama de cuerpo libre para cualquier miembro de una armadura contendrá sólo dos fuerzas: las fuerzas ejercidas sobre el miembro por el pasador en cada extremo. Por tanto, cada miembro de una armadura es un cuerpo de dos fuerzas. Al tratar con la fuerza interna en un cuerpo de dos fuerzas, los ingenieros suelen distinguir entre tensión y compresión. En la figura 4.16 se muestran las fuerzas externas e internas en tensión y compresión. Las fuerzas de tensión alargan (estiran)

4.11 Método de los nodos el miembro, en tanto que las fuerzas de compresión lo comprimen (acortan). Como las fuerzas actúan a lo largo del eje longitudinal del miembro, con frecuencia se denominan fuerzas axiales. Observe que las fuerzas internas siempre ocurren en pares iguales y opuestos sobre las dos caras de una sección transversal interna. Las dos técnicas comunes para calcular las fuerzas internas en una armadura son el método de los nodos y el de las secciones, que se analizan en los apartados siguientes.

Método de los nodos

4.11

Al aplicar el método de los nodos para calcular las fuerzas en los miembros de una armadura, se aplican las ecuaciones de equilibrio a los nodos individuales (o pasadores) de la armadura. Dado que los miembros son cuerpos de dos fuerzas, las fuerzas en el DCL de un nodo son concurrentes. En consecuencia, para cada nodo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio independientes. Para ilustrar este método de análisis, considere la armadura que se muestra en la figura 4.17(a). El soporte consiste en un pasador en A y un rodillo en E (uno de los soportes suele diseñarse equivalente a un rodillo, a fin de permitir la elongación y contracción de la armadura por los cambios de temperatura). 8000 lb

8000 lb

3000 lb

3000 lb

y C

B

D

B

C

D

G

F

2

x 8 pies

A

H 6 pies

G 6 pies

F 6 pies

E

Ax = 0 1

6 pies

A

H

Ay = 7500 lb

Fig. 4.17

a.

NE = 3500 lb (b)

(a)

Reacciones en los soportes

En general, es buena idea iniciar el análisis determinando las reacciones en los soportes empleando el DCL de la armadura completa. El DCL de la armadura en la figura 14.17(b) contiene tres reacciones desconocidas: Ax, Ay y NE, que se pueden determinar a partir de las tres ecuaciones de equilibrio disponibles. Los resultados del cálculo se muestran en la figura 4.17(b). Observe que Ax, la reacción horizontal en A, es cero. Este resultado indica que la armadura estaría en equilibrio ante la carga dada incluso si el pasador en A se remplazara por un rodillo. Sin embargo, entonces se tendría una restricción impropia, debido a que la fuerza horizontal incidental ocasionaría que la armadura se moviera horizontalmente. Por tanto, se necesita un soporte de pasador en A (o B) para restringir de manera adecuada la armadura. En ocasiones el número de reacciones desconocidas sobre el DCL de la armadura completa es mayor que tres. En este caso, todas las reacciones no se pueden encontrar desde el inicio.

E

215

216

CAPÍTULO 4 Análisis del equilibrio coplanar

b.

Análisis de equilibrio de los nodos

Ahora se determinan las fuerzas en los miembros individuales de la armadura en la figura 4.17. Como la fuerza en un miembro es interna a la armadura, aparecerá en un DCL sólo si el DCL “corta” el miembro, separándolo así del resto de la armadura. Por ejemplo, para determinar la fuerza en los miembros AB y AH, se puede dibujar el DCL del nodo A; es decir, la parte de la armadura encerrada por la línea discontinua 1 en la figura 4.17(b). Este DCL, mostrado en la figura 4.18(a), contiene las reacciones externas Ax y Ay y las fuerzas en los miembros PAB y PAH (los subíndices identifican el miembro). Observe que se supuso que las fuerzas en los miembros son de tensión. Si la solución produce un valor negativo para una fuerza, la fuerza es de compresión. Al suponer que los miembros están en tensión, se utiliza una convención establecida en la que los resultados positivos indican tensión y los negativos compresión. 8000 lb B

PBC

y x

PAB PAB

PBH (b) DCL del nodo B

3 4 Ax = 0 A

PAH Ay = 7500 lb

(a) DCL del nodo A

Fig. 4.18 Al haber calculado con anterioridad Ax y Ay, las fuerzas PAB y PAH son las únicas incógnitas en el DCL para el nodo A. Por tanto, se pueden determinar a partir de las dos ecuaciones de equilibrio independientes para el nodo, como se indica a continuación.

Fy = 0

Fx = 0

+

+

4 PAB = 0 5 5 PAB = − (7500) = − 9375 lb 4 3 PAB + PAH + Ax = 0 5 3 (−9375) + PAH + 0 = 0 5 3 PAH = − (−9375) = 5625 lb 5

7500 +

4.11 Método de los nodos

217

El valor negativo de PAB indica que la fuerza en el miembro AB es de compresión; el valor positivo de PAH indica que la fuerza en el miembro AH es de tensión. Para calcular las fuerzas en los miembros BC y BH, se traza el DCL del nodo B: la parte de la armadura encerrada por la línea discontinua 2 en la figura 4.17(b). Este DCL se muestra en la figura 4.18(b). Observe que la fuerza PAB es igual y opuesta a la fuerza correspondiente en la figura 4.18(a) y que de nuevo se supuso que PBC y PBH están en tensión. Sabiendo que PAB = –9375 lb, PBC y PBH son las únicas incógnitas en este DCL. Las ecuaciones de equilibrio del nodo dan

Fx = 0

Fy = 0

+

+

3 PBC − PAB = 0 5 3 3 PBC = PAB = (−9375) = − 5625 lb 5 5 4 − PAB − PBH − 8000 = 0 5 4 PBH = − 8000 − PAB 5 4 = − 8000 − (−9375) = − 500 lb 5

Los valores negativos indican que tanto PBC como PBH son de compresión. Se podría continuar el procedimiento, moviéndonos de un nodo a otro, hasta determinar las fuerzas en todos los nodos. A fin de mostrar que esto es posible, se cuenta el número de incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio independientes: 13 fuerzas de miembro + 3 reacciones de soporte = 16 incógnitas 8 nodos, cada uno da 2 ecuaciones de equilibrio = 16 ecuaciones

¡Como el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, la armadura está estáticamente determinada! Las tres ecuaciones de equilibrio de la armadura completa no se contaron, ya que no son independientes de las ecuaciones de equilibrio de los nodos (recuerde que una estructura está en equilibrio si cada una de sus componentes está en equilibrio).

c.

8000 lb B

Análisis de equilibrio de pasadores

En ejemplo anterior, el DCL de un nodo contenía un parte finita de la armadura rodeando al nodo. Esto requirió “cortar” los miembros unidos al nodo, de manera que las fuerzas internas en los miembros aparecieran en el DCL. Un enfoque alternativo, preferido por muchos ingenieros, es trazar los diagramas de cuerpo libre de los “pasadores”, como se ilustra en la figura 4.19. En este caso, las fuerzas internas en los miembros aparecen como fuerzas que actúan sobre el pasador. Para todos los fines prácticos, los diagramas de cuerpo libre en las figuras 4.18 y 4.19 son idénticos. El DCL de un pasador es más fácil de dibujar, pero el DCL de un nodo es un poco más ilustrativo, en particular cuando se trata de determinar si las fuerzas en el miembro son de tensión o compresión.

PAB

PBC PBH

(b) DCL del pasador B PAB

3 Ax = 0 A

4

5 PAH Ay = 7500 lb

(a) DCL del pasador A

Fig. 4.19

218

CAPÍTULO 4 Análisis del equilibrio coplanar

d.

Miembros de fuerza cero

Existe un caso especial que ocurre con suficiente frecuencia para garantizar una atención especial. En la figura 4.20(a) se muestra el DCL para el nodo G de la armadura en la figura 4.17. Como no se aplican cargas externas en G, las ecuaciones de equilibrio del nodo ΣFx = 0 y ΣFy = 0 producen PGH = PGF y PGC = 0. Debido a que el miembro GC no soporta una fuerza, se denomina miembro de fuerza cero. Es fácil comprobar que los resultados no cambian si el miembro GC está inclinado respecto a GH y GF, como se muestra en la figura 4.20(b). Al analizar una armadura, con frecuencia es útil iniciar identificando los miembros de fuerza cero, con lo que se simplifica la solución.

PGC

PGH

PGF G (a) DCL del nodo G PGC

PGH

PGF G (b)

Fig. 4.20

Quizá se pregunte por qué un miembro, como el GC, se incluye en la armadura si no soporta una fuerza. La explicación es la misma que la dada para proporcionar un soporte de pasador, en vez de un rodillo, en A para la armadura en la figura 4.17(a): se necesita para asegurar la restricción apropiada del nodo G. Si el miembro GC se removiera, la armadura en teoría permanecería en equilibrio para las cargas mostradas.* Sin embargo, una carga vertical mínima aplicada al nodo en G ocasionaría que la armadura sea deformada excesivamente o incluso que colapsará. Además, es poco probable que las cargas mostradas en la figura 4.17(a) serán las únicas fuerzas que actúen sobre la armadura durante su vida útil. Si una carga vertical se aplica en el nodo G en un tiempo futuro, el miembro GC será esencial para el equilibrio.

*Las palabras en teoría se deben interpretar como “de acuerdo con las suposiciones”. En nuestro modelo matemático para una armadura se supone que los pesos de los miembros son despreciables. En la práctica, la fuerza en un miembro denominado de fuerza cero no es exactamente cero, sino que se determina por los pesos de los miembros.

4.18

Problema de ejemplo

Utilizando el método de los nodos, determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura que se muestra en la figura (a). Indique si los miembros están en tensión o compresión.

B

10 kN

y x 6m

3m

A

3m

C

D 60 kN (a)

Solución El DCL de la armadura completa se muestra en la figura (b). Las tres incógnitas (NA, Cx y Cy) se pueden calcular con las tres ecuaciones de equilibrio MC = 0

+

− NA (6) + 60(3) − 10(6) = 0 NA = 20 kN

Fy = 0

+

NA − 60 + C y = 0 C y = 60 − NA = 60 − 20 = 40 kN

+

Fx = 0

10 − C x = 0 C x = 10 kN

Ahora se procede al cálculo de las fuerzas internas analizando los diagramas de cuerpo libre de varios pasadores.

B

10 kN

6m

A NA

3m

Cx

3m D

C

60 kN

Cy

(b)

219

Método de análisis En el análisis siguiente, las reacciones externas se tratan como conocidas, debido a que ya se calcularon. Es conveniente suponer que la fuerza en cada miembro es de tensión. Por tanto, valores positivos de las fuerzas indican tensión y negativos, compresión. El DCL del pasador A, ilustrado en la figura (c), contiene dos incógnitas: PAB y PAD. Estas dos fuerzas se pueden calcular de inmediato, ya que para este DCL se dispone de dos ecuaciones de equilibrio independientes. El DCL del pasador D, en la figura (d), contiene las fuerzas PAD, PBD y PCD. Como el PAD ya se determinó, de nuevo se tienen dos ecuaciones que se pueden resolver para precisar las dos incógnitas. En la figura (e) se muestra el DCL del pasador C. Como el PCD ya se determinó, la única incógnita que queda es PBC, que se puede calcular con facilidad.

PAB A

5

2 1 1

PBD PAD

2 PBC

1 PCD

PCD

D

PAD

60 kN

NA = 20 kN

(d)

(c)

Cx = 10 kN C Cy = 40 kN (e)

Detalles matemáticos Del DCL del pasador A, figura (c), Fy = 0

+

1

PAB + NA = 0

√2

PAB = −√2(20) = − 28.3 kN PAB = 28.3 kN (compresión) +

Fx = 0

1 √2

Respuesta

PAB + PAD = 0

1 1 PAD = − PAB = − (−28.3) √2 √2 = 20.0 kN (tensión)

Respuesta

Del DCL del pasador D, figura (d), Fy = 0

+

2 √5

PBD − 60 = 0

PBD =

220

√5 (60) = 67.1 kN (tensión) 2

Respuesta

Fx = 0

+

− PAD +

1 √5

PCD = PAD − PCD = 20.0 −

PBD + PCD = 0 1 √5 1 √5

PBD (67.1) = − 10.0 kN

PCD = 10.0 kN (compresión)

Respuesta

Del DCL del pasador C, figura (e), Fy = 0

+

C y + PBC = 0 PBC = − C y = − 40 kN PBC = 40 kN (compresión)

Respuesta

Observe que la ecuación ΣFx = 0 da PCD = –10.0 kN, un valor que se determinó antes. Por tanto, esta ecuación no es independiente de las que se utilizan antes. La razón de la dependencia es que las reacciones externas se determinaron analizando el DCL de la armadura completa. Sin embargo, las ecuaciones para los pasadores y para la armadura completa no son independientes unas de otras.

Otros métodos de análisis En el análisis anterior, los pasadores se consideraron en el orden siguiente: A, D y C (el DCL del pasador B no se utilizó). Otra secuencia que se podría utilizar es 1. DCL del pasador A: se calcula PAB y PBD (igual que antes). 2. DCL del pasador B: con PAB ya calculada, se estiman PBD y PBC. 3. DCL del pasador C: se calcula PCD. En este análisis, el DCL del pasador D no se utiliza. Un procedimiento más sería calcular las tres reacciones externas y las fuerzas en los cinco miembros (un total de ocho incógnitas) empleando las ecuaciones de equilibrio para todos los pasadores (un total de ocho ecuaciones, dos para cada pasador).

221

CAPÍTULO 4 Análisis del equilibrio coplanar

224

8000 lb

8000 lb

4.146 Determine la fuerza en el miembro AD de la armadura.

C

4.147 Determine la fuerza en el miembro BE de la armadura.

15 pies15 pies B E

40 pies 300 kN

D

C

A 3m 25 pies

B

25 pies

D

E

Fig. P4.146

5m

400 kN A 3m

3m

Fig. P4.147

4.12

Método de las secciones

El análisis de armaduras mediante el método de los nodos se apoya en los diagramas de cuerpo libre de los nodos individuales. Analizar el diagrama de cuerpo libre de una parte de la armadura que contiene dos o más nodos se denomina método de las secciones. El DCL de un solo nodo resulta en un sistema de fuerzas coplanares concurrentes (dos ecuaciones de equilibrio independientes). Al aplicar el método de las secciones, el sistema de fuerzas por lo general será coplanar no concurrente (tres ecuaciones de equilibrio independientes). En el método de las secciones, se aísla una parte de la armadura en un DCL de manera que exponga las fuerzas que se deben calcular. Si el DCL para la parte aislada contiene tres incógnitas, todas ellas suelen calcularse a partir de las tres ecuaciones de equilibrio disponibles. Si el número de incógnitas excede tres, una o más de las incógnitas se deben encontrar analizando una parte diferente de la armadura. Si es hábil para formular y resolver ecuaciones de equilibrio, el único reto al emplear el método de las secciones es seleccionar una parte conveniente de la armadura para el DCL. Considere una vez más la armadura analizada en la sección anterior [su DCL se repite en la figura 4.21(a)]. Ahora se utiliza el método de las secciones para determinar las fuerzas en los miembros BC, HC, HG y DF: cada uno de los miembros está identificado por dos líneas paralelas cortas en la figura 4.21(a). Suponiendo que las reacciones externas ya se han calculado con anterioridad, el primer y más importante paso es la selección de la parte de la armadura que se analizará. Se observará que la sección identificada 1 en la figura 4.21(a) pasa por los miembros BC, HC y HG. Las fuerzas en estos tres miembros son las únicas incógnitas si el DCL se traza para la parte de la armadura que está aislada por esta sección. Observe que después de haber hecho la selección, la parte de la armadura a cada lado del corte se puede utilizar para el DCL. Las fuerzas dentro de los miembros ocurren en pares iguales y opuestos, por lo que se obtendrán los mismos resultados sin importar qué parte se analice. Por supuesto, si se puede elegir, uno naturalmente seleccionaría la parte menos complicada.

4.12 Método de las secciones 8000 lb

3000 lb 1

2

C

B

D

8 pies

Ax = 0

H

A

G

6 pies

6 pies

E

F 6 pies

6 pies

Ay = 7500 lb

NE = 3500 lb (a)

8000 lb PBC

B

5

4

D

H

y x

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3

6 pies A

PDC

PHC

8 pies Ax = 0

C

PHG

PEF

E

Ay = 7500 lb NE = 3500 lb (b)

(c)

Fig. 4.21

Para nuestra armadura, utilizar la parte a la izquierda o bien a la derecha de la sección 1 es igual de conveniente. Sin ninguna razón en particular, se elige analizar la parte izquierda, con su DCL ilustrado en la figura 4.21(b) (de nuevo se supuso que los miembros están en te...