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GUIAS DE ESTUDIANTES PRIMER PERIODO

AREA MATEMATICA ASIGNATURA: ALGEBRA, GEOMETRIA, ESTADISTICA Y SABER MATEMATICAS

GRADO: 8º

2021

GRADO 8

MATEMATICAS

Tema: Comprensión y representación de los números racionales

GUIA 1 Asignatura: ALGEBRA

Aprendizaje: Reconocer la existencia de los números irracionales como números no racionales y describirlos de acuerdo con sus características y propiedades. Construir representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales. QUÉ VOY A APRENDER A Identificar las diferentes representaciones (decimales y no decimales) para argumentar por qué un número es o no racional.

los enteros además de muchos otros números. El diagrama muestra cómo este conjunto de números está "anidado": Números Enteros (Z)

CONCEPTOS BÁSICOS EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES Los números fraccionarios han existido desde antes que los números negativos y el cero. Los egipcios antiguos (a partir del siglo 21 AC) estudiaron las fracciones. Hoy en día, los números fraccionarios están incluidos en el conjunto de los números racionales, que son los números que se pueden escribir de la forma p/q donde p y q son enteros. Los números racionales pueden escribirse de muchas formas. Por 5

ejemplo, 17/3 también puede escribirse como 4 , 3 5.666…, o 5.6 . Sin importar la forma en que sea usado, ya que este número puede ser escrito como el cociente de dos enteros, el número es racional.

Nota que todos los enteros (y eso significa todos los números completos y números naturales) son números racionales porque pueden escribirse usando 1 como el denominador q. Por ejemplo, 3 puede escribirse como -3/1, por lo que también es un número racional. Hasta ahora, los tipos de números que hemos descrito forman una serie de conjuntos anidados. Empezamos con los números naturales, luego expandimos ese conjunto con el 0 para formar los números completos. Luego incluimos los números negativos con los números completos para crear los enteros. Ahora tenemos los números racionales, los cuales incluyen a todos

Números Racional es (Q)

Números Fracciona rios Números Decimale s

Números Naturales (N) El Cero Enteros Negativos

1, 2, 3,…. 0 …., -3, -2, -1

1/10, -1/2, 3/4, 1/2, etc. -3/2, -7/5, 9/8, Impropias 7/3, etc. 3.5, 16.863, Exactos 9.01, etc. Mixtos5.95633… Periódicos 3.555..., Puros 2.5959…. Propios

REPRESENTACIÓN DE LOS NUMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMERICA: Para representar los números racionales en la recta numérica, tienes que comparar los números dados, para lo cual deberás transformar de número decimal a fracción o de fracción a número decimal. Si tienes que transformar las fracciones a número decimal, puedes ubicar los números racionales en la recta numérica de la siguiente forma; si son números negativos y positivos dibuja una recta dividida en 2 mitades simétricas desde el origen, es decir, desde el número 0. A la izquierda del número 0 ubicas los números negativos y a la derecha los números positivos, de menor a mayor, manteniendo la misma distancia entre dos números consecutivos. Para ubicar los décimos se divide la distancia entre dos números consecutivos en 10 partes iguales. Los números decimales inexactos los puedes aproximar para que sea más fácil ubicarlos.

Una vez que ubiques todos los decimales en la recta numérica, puedes anotar los números racionales originales. Recuerda que, los números positivos mientras más cerca del cero menor será su valor y los números negativos mientras más cerca del cero mayor será su valor. Ejemplo: Representa los siguientes números racionales en la recta numérica;

cantidades y explica porque de tu selección, (analiza la solución del punto a). a) -2, Pertenece al conjunto de los enteros negativos, porque está completo y en la recta numérica se ubica a la izquierda del cero; y también pertenece al conjunto de los racionales, pues todo número entero puede expresarse como un racional, colocándole la unidad como denominador. b) 1.5,

c) -1/3, Primero debes transformar las fracciones a números decimales y el número mixto a fracción impropia y luego a número decimal.

d) 9/2,

e) 0,

f)

16/3,

g) 5,

h) 15/3, Recuerda: Para transformar un número mixto a fracción impropia debes multiplicar el entero por el denominador y sumar el numerador, este resultado se escribe en el numerador y el denominador se mantiene igual. Ahora puedes mirar el punto exacto donde queda ubicado cada decimal, y en ese punto ubicar el número racional original; así:

SEGUIMIENTO Y TAREA 1.

Indica a que conjunto o subconjuntos pertenecen cada una de las siguientes

2. Ubica en la recta numérica cada una de las anteriores cantidades.

3. Relaciona mediante un diagrama los siguientes conjuntos numéricos: decimales, enteros, racionales, fraccionarios, naturales.

4. Teniendo en cuenta los conjuntos numéricos vistos, selecciona las opciones que considera correctas:

e) f) g)

a)

5. Selecciona la secuencia de números que está ordenada en forma descendente: a) 5, 23/5, 2/1, 1/2, 0, -1/3, -1, -16/3, -11/2

b)

b) -11/2, -16/3, -1, -1/3, 0, 1/2, 2/1, 23/5, 5

c)

c) -11/2, -16/3, -1/3, -1, 5, 23/5, 2/1, 1/2, 0

d)

d) 5, 0, 23/5, 2/1, 1/2, -1/3, -16/3, -11/2, -1

NOTA: En los siguientes enlaces y textos pueden ampliar la información presentada en esta guía: https://edu.gcfglobal.org/es/los-numeros/evaluacion/1/ https://www.google.com/search?q=como+representar+en+la+recta+numerica+a+los+racionales&oq=como+repre sentar+en+la+recta+numerica+a+los+racionales&aqs=chrome..69i57.16220j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8

GRADO 8

MATEMATICAS

Tema: fracciones y números decimales

GUIA 2 Asignatura: ALGEBRA

Aprendizaje: Reconocer la existencia de los números irracionales como números no racionales y describirlos de acuerdo con sus características y propiedades. Construir representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales. QUÉ VOY A APRENDER

decimal, se puede expresar como numero decimal dividiendo el numerador entre el

En esta guía encontrarás los elementos necesarios para que puedas construir varias representaciones (geométrica, decimales o no decimales) de un mismo número racional o irracional.

denominador. Ejemplo:

CONCEPTOS BÁSICOS FRACCIONES Y NUMEROS DECIMALES Una fracción decimal es aquella cuyo denominador se puede expresar como una potencia de 10, ejemplo: 12 250 8 304 , 𝑒𝑡𝑐. , , , 10 100 1000 10000 Las fracciones decimales se pueden expresar como números decimales efectuando la división que corresponde a la fracción, ejemplo:

12 10

=

1, 2. Además, cualquier fracción, aunque no sea

1 4

= 0.25

Un numero decimal está conformado por una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma; las cifras decimales son las que se encuentran a la derecha de la coma. Así, en 1,2 el 1 es la parte entera y 2 la parte decimal: Parte entera→1,2← parte decimal Para escribirlos, se escribe primero la parte entera seguida de una coma y después la parte decimal. Ejemplo: 42 unidades y 12 milésimas = 42,012. Para leerlos existen dos modos diferentes:  Se lee primero la parte entera indicando las unidades que son y a continuación la cantidad decimal indicando el orden de la última cifra decimal. Ejemplo: 34.5 → 34 unidades y 5 décimas

34.56 → 34 unidades y 56 centésimas 34.567 → 34 unidades y 567 milésimas  Leer la parte entera y la parte decimal separadas por la palabra coma. Ejemplo: 34.5 → Treinta y cuatro coma cinco 34.56 → Treinta y cuatro coma cincuenta y seis 34.567 → Treinta y cuatro coma quinientos sesenta y siente Según la estructura de la parte decimal del numero racional se puede clasificar en exacta, periódica pura o periódica mixta. Una expresión decimal es exacta si la cantidad de decimales es finita. Ejemplo: 3.5, 16.863, 9.01 Es periódica pura cuando tiene una o varias cifras decimales que se repiten indefinidamente, las cuales se denominan periodo. Ejemplo:  2.595959…= 2. 59 3.555…= 3.5 Una expresión decimal es periódica mixta si tiene una parte decimal fija, conocida como anteperiodo, y otra que se repite indefinidamente. Ejemplo: 5.95633333…= 5.9563 ; en este caso, 5 es la parte entera, 956 es el anteperiodo y 3 es el periodo. PASO DE LA EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL A LA FRACCIONARIA Todo número decimal exacto o periódico se puede escribir en forma de fracción. La fracción que se obtiene se conoce como fracción generatriz. Para ello, se puede utilizar la siguiente formula:

Ejemplo 1: halla la fracción generatriz cuya  , el cual es un decimal expresión decimal es 1.23 periódico puro:

= 1. 23

123−1

122; Por lo tanto, la fracción = 99  es 122 . generatriz de 1.23 99

99

Ejemplo 2: expresa como numero fraccionario el decimal 1.46 , el cual es un decimal periódico mixto: 1.46 =

146−14 90

=

132 90

=

66 45

=

22

15

; Por lo tanto, la

fracción generatriz de 1.46 es 15 22

Ejemplo 3: expresa como numero fraccionario el decimal 3.25, el cual es un decimal exacto: Por ser un decimal exacto, no se le aplica la misma fórmula; simplemente, como numerador se escribe el numero sin el punto decimal y como denominador se escribe la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el 325

número, así: 100 =

65 20

generatriz de 3.25 es

=

13 4

13 ; por 4

lo tanto, la fracción

. Nótese que se escribió

como denominador el 100, por que 3.25 tiene dos cifras decimales. SEGUIMIENTO Y TAREA 1. Escribe cada número fraccionario en forma decimal. Indica que tipo de decimal es cada uno y, si existen, la parte entera, el anteperiodo y el periodo (analiza la solución del punto a): a)

12 9

= 1,333 ….; es un decimal periódico

puro, el 1 es la parte entera y el 3 es el periodo. b)

34

c)

127

d)

59

e)

13

f)

5

12

20 3

14 6

2. Encuentra la fracción generatriz de los siguientes decimales (analiza la solución del punto a): a) 0.4666…=

46−4 90

=

42 90

21

= 45 =

7 ; por lo 15 7

la fracción generatriz de 0.4666… es

15

tanto,

.

b) 10.583333… d) 2.95 e) 5.9563333…

GRADO 8

f) 2.59595959… f) 3.5 3. Selecciona las opciones que consideres correctas: a) 4.565656…, es un decimal periódico mixto. b) 1.333…, es un decimal periódico puro. c) 4.5, es un decimal periódico puro d) 1.3, es un decimal exacto. e) 0.47777 es un decimal exacto

MATEMATICAS

Tema: Comprensión y representación de los números irracionales

GUIA 3 Asignatura: ALGEBRA

Aprendizaje: Reconocer la existencia de los números irracionales como números no racionales y describirlos de acuerdo con sus características y propiedades. Construir representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales. QUÉ VOY A APRENDER En esta guía encontrarás los elementos necesarios para que puedas conocer y utilizar procedimientos geométricos o aritméticos para construir algunos números irracionales y ubicarlos en la recta numérica. CONCEPTOS BÁSICOS CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Los números cuya expresión decimal no es exacta ni periódica, se llaman números irracionales y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. Un número irracional no puede expresarse como el cociente de dos números enteros a/b, con 𝟑 b≠0. Por ejemplo, números como √𝟐, √𝟑, √𝟕 , e, π son números irracionales. Los números irracionales surgen por la imposibilidad de resolver en los racionales (Q) ciertos problemas. Por ejemplo, si se quiere calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado

de lado 1, esto no es posible hacerlo en el conjunto de los números racionales, ya que por el Teorema de Pitágoras, llamando d a la longitud buscada, se ha de cumplir que: d2 = 12 + 12 = √2, de donde, d = √2 que no es un número racional puesto que no se puede expresar como una fracción, en otras palabras, la expresión decimal √2 tiene infinitas cifras en la parte decimal sin regularidad alguna. El conjunto de los números irracionales se representa por la letra (I) y está formado por todos los números decimales cuya parte decimal tienen infinitas cifras no periódicas, es decir, por todos los números que no se pueden representar por el cociente de dos números enteros. Es inmediato que no existe ningún número que sea racional e irracional, es decir, el conjunto de los Irracionales no está contenido en el conjunto de los racionales (Q C I =Ø). LOS NUMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMERICA Todos los números irracionales se pueden hacer corresponder con puntos en la recta numérica. En general, representar un número con infinitas

cifras decimales no periódicos es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. Sin embargo, con la ayuda del Teorema de Pitágoras no es difícil representar geométricamente muchos números irracionales como √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, etc. Ejemplo 1: para representar el número √2 en la recta numérica, se realizan los siguientes pasos: 1. Se construye en la recta numérica un triángulo rectángulo cuya hipotenusa OP tenga como medida √2. 2. Con centro en 0 y radio OP, se traza un arco que corte la recta numérica. 3. Se localiza √2 en el punto de corte del arco y la recta:

queda igual, si la cifra es 5, 6, 7, 8 ó 9, se aumenta en una cifra. OPERACIONES CON APROXIMACIONES Con los números irracionales se opera de la misma forma que con los racionales. Ejemplo: calcula la suma de √𝟐 + √𝟓 con una aproximación de cuatro cifras decimales, por redondeo. Solución: √𝟐 = 1.41421356… y √𝟓 = 2.23606…, entonces, √𝟐 + √𝟓 = 1.4142 + 2.2360 = 3.6502. SEGUIMIENTO Y TAREA 1. Aproxima cada número irracional dado a las décimas, empleando la aproximación por redondeo (analiza la solución del punto a): a) √11 = 3,31662479 = 3,3 aproximadamente b) π = 3,141592654 =

APROXIMACIÓN DE UN NUMERO DECIMAL Un numero irracional tiene un número ilimitado de cifras decimales; por lo tanto, es imposible escribir su valor exacto. Para manejar estos números se utilizan aproximaciones. Ejemplo: el número √𝟑 = 1.73205… es un número irracional. ¿Qué aproximaciones se pueden elegir? Hay tres aproximaciones:  Elegir los valores inferiores al valor de √𝟑: 1, 1.7, 1.732… Se tiene así las aproximaciones por defecto.  Elegir los valores superiores al valor de √𝟑: 2, 1.8, 1.74, 1.733,… Se tiene así las aproximaciones por exceso.  Elegir la aproximación por defecto, si se suprime una cifra menor que 5, y la aproximación por exceso, si es mayor o igual que 5: 2, 1.7, 1.73, 1.732, 1.7321,… Se tiene así las aproximaciones por redondeo. Nota: en las aproximaciones por redondeo, si la cifra a redondear es 0, 1, 2, 3 o 4, la cifra

c) √𝟕 = 2,645751311 = d) √𝟐 = 1,414213562 = e) √𝟏𝟐 = 3,464101615 = f) √5 = 2,236067978 = 2. ubica en la recta numérica cada uno de los números irracionales del punto anterior, puedes usar el método geométrico o el método de la aproximación realizada:

3. Realiza cada una de las operaciones indicadas con números irracionales aproximados en el punto 1 (analiza la solución del punto a): a) √11 + π = 3,3 + 3,1 = 6,4 b) √𝟐 x √𝟕 = c) √𝟏𝟐 - √𝟕 =

a) -1.5 es un número racional (Q) b) π es un número irracional (I) c) √𝟏𝟐 d) 0 e) √𝟐𝟓 f) 3/4 g) 0.4

d) √𝟓 ÷ √𝟐 = e) √𝟐 + √𝟕 = f) √11 - √𝟏𝟐 = 4. clasifica los números dados en racionales e irracionales (analiza la solución de los puntos a y b):

GRADO 8

MATEMATICAS

Tema: Los números reales

GUIA 4 Asignatura: ALGEBRA

Aprendizaje: Reconocer la existencia de los números irracionales como números no racionales y describirlos de acuerdo con sus características y propiedades. Construir representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales. QUÉ VOY A APRENDER A justificar procedimientos aritméticos o geométricos con los cuales se representa números reales, para realizar comparaciones y operaciones entre ellos.

La relación que existe entre el conjunto de los números reales y los demás conjuntos numéricos se presenta así:

CONCEPTOS BÁSICOS EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES El conjunto de los números racionales unido con el conjunto de los números irracionales forman el conjunto de los números reales, el cual se designa por R. Es decir, los números R son una ampliación de los números racionales, que a su vez contienen a los enteros y a los naturales. Ejemplo: a que conjunto numérico pertenece cada número. a.

𝟏𝟐 𝟗

b. −√𝟔

c. 7

d. -11

a. Su expresión decimal es 1.4444, luego es un número racional periódico. b. −√𝟔 = -2.44948974… es un numero irracional. c. Es un numero entero positivo, natural y por lo tanto, racional. d. Es un número entero negativo y por lo tanto, racional.

Luego, todos los números dados son números reales.

REPRESENTACION DE LOS NUMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud unidad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional y viceversa. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real. Todo número real puede situarse sobre la recta real, dependiendo de cómo sea el número.  Si el número es irracional, se puede hacer una aproximación por redondeo y luego ubicarlo en la recta numérica o emplear el método geométrico mediante el teorema de Pitágoras visto en la sesión anterior.

 Si el número es un decimal exacto, se puede hacer una aproximación por redondeo y luego ubicarlo en la recta real.  Si el número es un decimal periódico, puede expresarse en forma de fracción y, de este modo, se sitúa fácilmente. En definitiva: Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de forma exacta, o bien con tanta aproximación como queramos. Los números reales es un conjunto denso, es decir, entre dos números reales, siempre hay otro número real (realmente hay infinitos números racionales e irracionales). ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS REALES Para todo número real a se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a = 0, a < 0 ó a > 0. Si a > 0, se dice que a es positivo. Si a < 0, se dice que a es negativo. Ejemplo: establece la relación de menor a mayor de las alturas de las siguientes montañas: Everest = 8,848km; Makalu = 8,481km; Kangchenjunga = 8,598km; Annapurna = 8,078km; Godwin-Austen = 8,611km. En este caso, aunque la parte entera es igual, los números difieren en la primera cifra decimal. Por lo tanto, 8,078 < 8,481 < 8,598 < 8,611 < 8,848. NOTACIÓN CIENTIFICA La notación científica de un número real es su expresión como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, por una potencia de 10. Escribir un número en notación científica es expresarlo de la forma 𝑎𝑥10𝑛 siendo “a” un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10 y “n” un número entero. Para expresar cantidades muy grandes en notación científica, se emplean potencias positivas de 10. Ejemplo: 34000000000 = 3.4𝑥1010 Para e...