Klausur 2018 GDGL PDF

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SoSe 2018 Martin Brokate Frank Hofmaier...

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Technische Universität München Zentrum Mathematik Gewöhnliche Differentialgleichungen (MA2005) – SoSe 2018 Modulplrüfung Prüfer: Prof. Dr. Martin Brokate – 20.7.2018 – 11:00 - 12:00 Uhr

Note

Punkte I

Punkte II

Allgemeine Hinweise: Die Prüfungszeit beträgt 60 Minuten, Hilfsmittel aller Art sind nicht zugelassen. Wenn nicht anders angegeben sind alle Rechnungen und Beweise ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben Sie nicht mit Bleistift und nicht mit roter oder grüner Farbe. Bitte beantworten Sie alle Fragen an der dafür vorgesehenen Stelle. Sollte der Platz nicht ausreichen, können Sie auf der Rückseite oder einem gesonderten Blatt fortfahren. In jedem Fall ist dies deutlich zu kennzeichnen. Zusätzliche Blätter müssen mit Name und Matrikelnummer versehen werden. Die Klausur besteht aus 5 Aufgaben. Die maximal erreichbare Punktezahl ist bei jeder Aufgabe oben rechts angegeben. Die Höchstpunktzahl der Prüfung beträgt 40 Punkte. Zum Bestehen müssen mindestens 17 Punkte erreicht werden.

Nur von der Aufsicht auszufüllen: Besondere Bemerkungen: Hörsaal verlassen von .................. bis .................. Vorzeitig abgegeben um .......................

Pkt.

Aufgabe 1

7

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems x˙ =

x2 , 1 + t2

x(0) =

und geben Sie deren maximales Definitionsintervall an.

2 π

Aufgabe 2 Vervollständigen Sie die folgende Definition. Es seien D ⊂ Rn offen, f : D → Rn stetig und x∗ ein Gleichgewichtspunkt von x˙ = f (x). Eine Funktion V : U → R, wobei U offen ist mit x∗ ∈ U , heißt strikte Ljapunov-Funktion für f in x∗ , wenn ...

Pkt. 6

Pkt.

Aufgabe 3 2

2

Gegeben ist f : R → R , f (x1 , x2 ) :=

cos x1 sin x2 !

. −(x1 + x2 ) Untersuchen Sie, ob der Gleichgewichtspunkt x∗ = 0 von x˙ = f (x) stabil ist, und ggf. ob dieser auch asymptotisch stabil oder gar exponentiell stabil ist.

7

Pkt.

Aufgabe 4

12

− t12 !

t2 2

Gegeben ist A : (0, ∞) → R , A(t) :=

. 2 0 Die Differentialgleichung x˙ = A(t)x hat unter anderem die Lösungen 2

xa : (0, ∞) → R , 2

xb : (0, ∞) → R , (Obiges brauchen Sie nicht nachzuprüfen!) a) Geben Sie alle Lösungen von x˙ = A(t)x an.

1 xa(t) = 2t

!

,

t xb (t) = 2 t

!

.

Fortsetzung von Aufgabe 4 b) Bestimmen Sie die zu t0 = 1 gehörige Fundamentalmatrix Φ(t, t0 ).

Fortsetzung von Aufgabe 4 c) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems x˙ = A(t)x +

0! t

,

!

0 x(1) = 0

.

Pkt.

Aufgabe 5 Die Differentialgleichung x˙ = x(1 − x) besitzt unter anderem den Gleichgewichtspunkt x∗ = 1 und die Lösungen 1 , xa : R → R , xa(t) = 1 + e−t xb : (− ln 2 , ∞) → R , (Obiges brauchen Sie nicht nachzuprüfen!) Zeigen Sie, dass x∗ asymptotisch stabil ist.

xb (t) =

2 . 2 − e−t

8

Fortsetzung von Aufgabe 5 (Hier haben Sie zusätzlichen Platz, falls nötig.)...