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Elementare Zahlentheorie mit Maple (61113)

SoSe 2020

Klausur am 19.09.2020: Aufgabenstellungen

Die Lösungen aller Aufgaben müssen Sie begründen.

Aufgabe 1 Seien a, b ∈ N \ {1}. (a) Zeigen Sie, dass aus a3 | b2 folgt, dass a | b gilt. (b) Zeigen Sie, dass aus a2 | b3 nicht unbedingt a | b folgt. [8 + 2 = 10 Punkte]

Aufgabe 2 Berechnen Sie alle Lösungen der Linearen Kongruenz 246X ≡ 18(mod303). [10 Punkte]

Aufgabe 3 Zeigen Sie: Sind m, n ∈ N mit m, n > 1 und gilt ggT(m, n) = 1, dann gilt mn | mϕ(n) + nϕ(m) − 1. [10 Punkte]

Aufgabe 4 Sei n ∈ N. Zeigen Sie: (a) Gilt n ≡ 1(mod3) und n ≡ 3(mod5), dann folgt n ≡ 13(mod15). (b) Gilt σ(n) = n + 1, dann ist n eine Primzahl. (c) Gilt ϕ(n) = ϕ(2n), dann ist n ungerade. [3 + 3 + 4 = 10 Punkte]

Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass 4 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen nicht alle Summe von zwei Quadraten sein können. [10 Punkte]

c FernUniversität in Hagen, 2020 

Klausuraufgaben

EZ+M KL

Aufgabe 6 Es gilt 2 · 5 = 10 = (3 + i)(3 − i). Warum ist das kein Widerspruch dazu, dass die Primfaktorzerlegung in Z[i] eindeutig ist? Wie lautet die Zerlegung von 10 in Primfaktoren in Z[i]? [10 Punkte]

Aufgabe 7 (a) Der Maple-Befehl ifactors gibt für eine ganze Zahl z 6∈ {0, 1, −1} als Eingabe eine Liste aus, deren erstes Element das Vorzeichen der Zahl (also ±1) ist. Das zweite Listenelement ist wieder eine Liste. Ist |z| = pe11 · . . . · perr die kanonische Primfaktorzerlegung von |z |, dann ist diese Liste von der Form [[p1 , e1 ], . . . , [pr , er ]]. Auch diese Liste besteht also wieder aus Listen. Sie sehen hier ein Worksheet mit drei Beispielen für 120 = 23 · 31 · 51 , −15 = −31 · 51 und 43 = 431 :

Schreiben Sie eine Maple-Prozedur Primzahlliste, die als Eingabe eine natürliche Zahl n > 1 bekommt (das muss hier nicht getestet werden) und als Ergebnis, das in anderen Prozeduren verwendet werden kann, eine Liste mit allen Primfaktoren von n bereitstellt. Das Ergebnis der Prozedur bei Eingabe der Zahl 120 soll also zum Beispiel [2, 3, 5] sein. Benutzen Sie dazu den Befehl ifactors. (b) Die NumberTheory-Bibliothek von Maple enthält den Befehl SumOfSquares, mit dessen Hilfe sich eine natürliche Zahl als Summe von zwei Quadraten darstellen lässt, sofern das möglich ist. Bei Eingabe einer natürlichen Zahl n ist die Ausgabe eine Menge, deren Elemente zweielementige Listen von der Form [a, b] sind, so dass a, b ∈ N0 und n = a2 +b2 gilt. Sie sehen hier ein Beispiel-Worksheet für die Zahlen 41 (es gibt eine Möglichkeit, die Zahl als Summe von zwei Quadraten zu schreiben), 43 (die Zahl ist nicht Summe von zwei Quadraten) und 14381 (es gibt zwei verschiedenen Möglichkeiten, die Zahl als Summe von zwei Quadraten zu schreiben):

c FernUniversität in Hagen, 2020 

Klausuraufgaben

EZ+M KL

Schreiben Sie eine Maple-Prozedur Summe2Quadrate, die als Eingabe eine Primzahl p bekommt, für die p ≡ 1(mod4) gilt, und die „Fehler“ auf den Bildschirm ausgibt, wenn p keine Primzahl ist oder wenn nicht p ≡ 1(mod4) gilt und die sonst als Ergebnis, das in anderen Prozeduren verwendet werden kann, eine Liste [a, b] hat, so dass a, b ∈ N0 und p = a2 + b2 gilt. Dabei soll der Befehl SumOfSquares benutzt werden. [5 + 5 = 10 Punkte]

Aufgabe 8 Die folgende Prozedur verwendet die beiden Prozeduren aus Aufgabe 7.

(a) Vollziehen Sie die Prozedur anhand der Eingabe a = −3 und b = 5 nach (für die Ausgabe der Prozeduren Primzahlliste und Summe2Quadrate dürfen Sie geeignete Annahmen machen). (b) Begründen Sie, warum jeder Gauß’sche Primteiler der Zahl a +ib assoziiert zu einem Element der Ausgabemenge M ist. [7 + 3 = 10 Punkte] c FernUniversität in Hagen, 2020 ...