Klausur Statistik Sept 2016 PDF

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¨ T IN HAGEN FERNUNIVERSIT A ¨T FAKULT A WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

Lehrstuhl f¨ur Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine

Lehrstuhl f¨ur Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer

Klausur: Modul 32741 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik

Termin:

23. September 2016, 09.00 - 11.00 Uhr

Pru ¨ fer:

Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur 32741 1. Die Klausur besteht aus zwei Teilen, dem Aufgabenteil und dem Losungsteil. ¨ Weiterhin sind Aufgaben- und Lo¨sungsteil jeweils nach den zwei Kursen (42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis und 42221 Vertiefung der Statistik) des Moduls 32741 separat unterteilt. Nutzen Sie bei der L¨osung der Aufgaben fu ¨r jeden Klausurteil nur die entsprechenden Losungsbl atter zu dem jeweiligen ¨ ¨ Klausurteil! Zur leichteren Bearbeitung ko¨nnen Sie den Aufgaben- vom L¨osungsteil trennen. Trennen Sie jedoch nicht die Losungsbl ¨ ¨atter! WICHTIG: Nur der ungetrennte Losungsteil wird am Ende der Klausur ¨ eingesammelt! Sollten Sie doch einzelne oder mehrere L¨osungsbla¨tter vom L¨osungsteil getrennt haben, liegt es in Ihrer Verantwortung, diese zusammenzufu ¨ hren und bspw. geheftet als ’ein Ganzes’ abzugeben! Trennen Sie jedoch in jedem Fall vor der Abgabe den Aufgaben- vom Losungsteil. ¨ 2. Tragen Sie fu¨r beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) auf das Deckblatt der Lo¨sungsbo¨gen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 3. Es ko¨nnen insgesamt 100 Punkte erreicht werden. Bei Erreichen von 50 Punkten ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollsta ¨ndiges Klausurexemplar erhalten haben. 4. Bitte benutzen Sie fu ¨ r Ihre Rechnungen nur die beigef ¨ugten L¨osungsbo¨gen zu dem jeweiligen Klausurteil und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Fu¨r den Klausurteil Mathematik mu¨ssen die L¨osungen in den dafu ¨ r vorgesehenen Raum auf den Lo¨sungsbo¨gen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Ru ¨ckseiten oder die freien Bl¨atter am Ende und geben Sie einen deutlichen Hinweis auf die Aufgabenzugeh¨origkeit. Bedenken Sie bitte bei der Anfertigung Ihrer L¨osungen, dass vor allem der Lo¨sungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Bei einem mehrfach bearbeiteten Aufgabenteil wird lediglich die erste L¨osung bewertet. Nicht zu korrigierende L¨osungsteile sind zu entwerten. Fu¨r den Klausurteil Statistik mussen die L¨osungen in die entsprechenden ¨ K¨astchen auf dem Lo¨sungsbogen eingetragen werden. F¨ur jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begru¨ndung bzw. Interpretation ist auf dem L¨osungsbogen ein entsprechendes Ka¨stchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen k¨onnen nicht bewertet werden.

5. Fu¨r beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der folgenden Modellreihen angeh¨ort: • Casio fx86 oder Casio fx87 • Texas Instruments TI 30 X II • Sharp EL 531 Eventuelle Vorg¨anger- oder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgef ¨uhrten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Ta¨uschungsversuch gewertet und mit der Note nicht aus” reichend“ (5, 0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der Modellreihen angeh¨ort, ko¨nnen Sie selbst ¨ fen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbe¨uberpru zeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollst¨andiger ¨ bereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte MoU dellbezeichnung umfangreicher, entha¨lt aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollsta¨ndig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fa¨llen ist das Modell nicht erlaubt. 6. Fu¨r den Klausurteil Mathematik sind weder die Kursunterlagen noch weitere Materialien der Wirtschaftsmathematik als Hilfsmittel zugelassen. Fu¨r den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zus¨atzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterl¨osungen. Nicht zugelassen sind selbst ausgedruckte und kopierte Kursmaterialien. 7. Wenn Sie einzelne Bl¨atter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Bl¨atter wieder zusammen. 8. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

Name, Vorname

Matrikelnummer

Teilklausur des Moduls 32741 Kurs 42221: Vertiefung der Statistik AUFGABENTEIL

Termin: 23. September 2016, 09.00 - 11.00 Uhr Pru ¨ fer:

Univ.-Prof. Dr. H. Singer

Den Aufgabenteil der Klausur konnen Sie mit nach Hause nehmen. Es ¨ muss nur der L¨osungsteil abgegeben werden.

Vertiefung der Statistik

23.9.2016

Hinweis: Bitte tragen Sie die L¨osungen aller Aufgaben in die L¨osungsbogen ein. Bewertet werden nur die L¨osungsbogen.

Aufgabe 1

(10 Punkte)

Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. X, Y und Z seien drei unterschiedliche Ereignisse und weiter gelte X ∩ Y = Z 6= ∅. Dann gilt immer: 1. P (X ∩ Y ) = P (X) − P (X ∩ Z) 2. P (Z) ≤ P (Y ) 3. P (Z) = P (X|Y ) · P (Y ) 4. P (Z) = P (X) + P (Y ) − P (X ∪ Y ) 5. P (X ∩ Y ) = P (Y ) − P (Y ∩ Z). Hinweis: F¨ ur jede korrekte Kennzeichnung werden 2 Punkte vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 Punkten bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe betr¨agt 0 Punkte.

1

Vertiefung der Statistik

23.9.2016 (15 Punkte)

Aufgabe 2

In dieser Aufgabe interessieren wir uns daf¨ur, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Gehalt und der Bildung gibt. F ¨ur die Analyse stehen zur Verfu ¨ gung Daten ¨uber den Stundenlohn in Dollar (Lohn) und die Bildung in Jahren (Bildung). Es wird eine lineare Regression f ¨ur 500 Beobachtungen durchgef ¨uhrt. (3 Punkte)

2.1

Sch¨atzen Sie die Parameter α, β, σ 2 des linearen Regressionsmodells Lohnn = α + βBildungn + ǫn , n = 1, . . . , N, aus den in Abb. 1 angegebenen Statistiken (verwenden Sie 3 Nachkommastellen). (6 Punkte)

2.2

Pr¨ufen Sie bitte, ob sich die Regressionsparameter α, β signifikant von 0 unterscheiden (Signifikanzniveau 0.05). Hinweis: (N − 1)s2x = 2.3

P

n

xn2 − N x¯2 (1 Punkt)

Wie lautet das Bestimmtheitsmaß fur ¨ die Prognose vom Gehalt durch die Bildung?

2.4

(5 Punkte)

Wie hoch wird das Gehalt unter ansonsten gleichen Bedingungen bei der Ausbildung von 8 Jahren. Berechnen Sie auch ein 95%-Prognoseintervall f¨ur den prognostizierten Wert.

2

Vertiefung der Statistik

23.9.2016

Abbildung 1: Zusammenhang zwischen dem Gehalt und der Bildung

3

Vertiefung der Statistik

23.9.2016 (15 Punkte)

Aufgabe 3

(8 Punkte)

3.1 Betrachten Sie die Zufallsgro¨ße X mit der Dichtefunktion:

fX (x) =

(

2x − 4 0

fur ¨ 2≤x≤3 sonst.

R 1. Bestimmen Sie E(X), verwenden Sie dabei E(X) = xfX (x)dx R 2. Bestimmen Sie V AR(X). Hinweis: E(X 2 ) = x2 fX (x)dx

(7 Punkte)

3.2

Ein Unternehmen m¨ochte die Umsatzsteigerung beim Einsatz von zwei verschiedenen Werbemaßnahmen vergleichen. Es wurden die in der folgenden Tabelle eingetragenen Umsatzsteigerungen erzielt. (H0 : Beide Werbemaß” nahmen f ¨uhren zu gleichen Umsatzsteigerungen“, α = 0.1, Vorsicht: in der Tabelle sind die kritischen Werte fu¨r einseitige Tests angegeben). Werbung X Werbung Y

137.0 154.5 160.0 141.5 120.5 145.0 153.5 138

Verwenden Sie einen nichtparametrischen Test, um festzustellen, ob Werbung X zu gr¨oßeren Umsatzsteigerungen f ¨uhrt als Werbung Y . - Welchen nichtparametrischen Test verwenden Sie? - Geben Sie die Pr¨ufgro¨ße an. - Geben Sie den unteren kritischen Wert an. - Geben Sie den oberen kritischen Wert an. - Lehnen Sie die Nullhypothese, es besteht kein Unterschied, ab? - Bestimmen Sie den Erwartungswert der Pr¨ufgro¨ße. - Bestimmen Sie die Varianz der Pr¨ufgro¨ße.

4

Vertiefung der Statistik Aufgabe 4

23.9.2016 (10 Punkte)

Ein Unternehmen untersucht die produzierte St ¨uckzahl eines bestimmten Produktes in Abha¨ngigkeit verschiedener Materialien und Produktionsmethoden. Dabei werden beide Faktoren getrennt voneinander betrachtet.

4.1

(2 Punkte)

Betrachtet werden zun¨achst die Produktionsmethoden. Vervollsta¨ndigen Sie folgenden Output (s. L¨osungsbogen).

4.2

(2 Punkte)

Wieviele Produktionsmethoden werden untersucht und wieviele Beobachtungen liegen der Untersuchung zugrunde?

4.3

(2 Punkte)

Bestimmen Sie anhand des Outputs in 4.1 das Bestimmtheitsmaß und interpretieren Sie kurz den Wert.

5

Vertiefung der Statistik

23.9.2016

4.4

(1 Punkte)

Mittels eines zweiten Datensatzes wird nun das Material betrachtet. Geben Sie mittels der Residualstreuung den Scha¨tzer fu ¨r σ 2 an.

4.5

(1 Punkte)

Geben Sie das fur ¨ den zweiten Datensatz (s.4.4) zum Signifikanzniveau 0.05 verwendete f -Quantil der F -Verteilung an. 4.6

(2 Punkte)

Wie lautet fu ¨r den Datensatz in 4.4 der prognostizierte Wert der produzierten St ¨uckzahl, wenn bekannt ist, dass mit dem ersten Material produziert wird?

6

Name, Vorname

Matrikelnummer

¨ LOSUNGSTEIL der Modulklausur 32741 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik

Datum Punkte

Termin: 23. September 2016, 09.00 - 11.00 Uhr Pru ¨ fer:

Univ.-Prof. Dr. A. Kleine, Univ.-Prof. Dr. H. Singer

Name, Vorname

Matrikelnummer

Teilklausur des Moduls 32741 Kurs 42221: Vertiefung der Statistik ¨ L OSUNGSTEIL

Datum Punkte

Termin: 23. September 2016, 09.00 - 11.00 Uhr Pru ¨ fer:

Univ.-Prof. Dr. H. Singer

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN Klausur: Kurs 42221 Vertiefung der Statistik

Termin:

23. September 2016

Pru¨fer:

Univ.-Prof. Dr. H. Singer

Name, Vorname: Matrikelnummer:

Aufgabe maximale Punktzahl

1

2

3

4

Summe

10

15

15

10

50

erreichte Punktzahl

Datum:

Unterschrift des Pr¨ufers:

1

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN (10 Punkte)

Aufgabe 1

Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder falsch. X, Y und Z seien drei unterschiedliche Ereignisse und weiter gelte X ∩ Y = Z = 6 ∅. Dann gilt immer: richtig falsch

1. P (X ∩ Y ) = P (X) − P (X ∩ Z)

2. P (Z) ≤ P (Y )

3. P (Z) = P (X|Y ) · P (Y )

4. P (Z) = P (X) + P (Y ) − P (X ∪ Y )

5. P (X ∩ Y ) = P (Y ) − P (Y ∩ Z )

Hinweis: F¨ur jede korrekte Kennzeichnung werden 2 Punkte vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 Punkten bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe betr¨ agt 0 Punkte.

Punkte 2

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN (15 Punkte)

Aufgabe 2

(3 Punkte)

2.1

α ˆ

(1 Punkt)

βˆ

(1 Punkt)

σˆ2

(1 Punkt)

(6 Punkte)

2.2

tα

(2 Punkte)

tβ

(2 Punkte)

t-Quantil

(1 Punkt)

Ablehnung von H0 : α=0?

(0.5 Punkte)

Ablehnung von H0 : β=0?

(0.5 Punkte)

Punkte 3

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN (1 Punkt)

2.3

Bestimmtheitsmaß

(5 Punkte)

2.4

ˆ |X = 8] Die Prognose E[Y

(1 Punkt)

d ˆ V AR(E)

(2 Punkte)

Quantil

(1 Punkt)

95%-Prognoseintervall

(1 Punkt)

Punkte 4

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN (15 Punkte)

Aufgabe 3

(8 Punkte)

3.1

E(X)

Var(X )

Punkte 5

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN (7 Punkte)

3.2

Test

Pr¨ufgro¨ße

unterer kritischer Wert

oberer kritischer Wert

Ablehnung H0

Erwartungswert

Varianz

Punkte 6

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN (10 Punkte)

Aufgabe 4

(2 Punkte)

4.1

[1]

[2]

[3]

[4]

4.2 Anzahl Produktionsmethoden

(1 Punkt)

(1 Punkt)

N

Punkte 7

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN 4.3 Bestimmtheitsmaß

(1 Punkt)

Interpretation

(1 Punkt)

Punkte 8

¨ 42221 LOSUNGSBOGEN b 4.4 σ 2

(1 Punkt)

4.5 f-Quantil

(1 Punkt)

4.6 prognostizierte St¨uckzahl

(2 Punkte)

Punkte 9...