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Knotenspannungsanalyse mit Leitwertmatrix Beispiel aus der Vorlesung Elektrotechnik 1

Prof. Dr.-Ing. H.-J. Hage WS 1999/2000

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Hage: Knotenspannungsanalyse

Knotenspannungsanalyse Nodal Analysis

- Übersicht Formelzeichen

Formeln

Matrizen

Knotenspannungen UK i Gij

UK i

G ij

Iq i

UK i = Spaltenvektor der Knoten-

1

UKi

Gij

Iqi

spannungen Iq i

Zweigspannungen U v Uv

Bvj

= Spaltenvektor der unabhängigen Quellenströme

Uv

UKi

= Spaltenvektor der Zweigspannungen

Bvj

Zweigströme I v Iv

= Leitwertmatrix

Uv Gv

= Inzidenzmatrix

Zweiggrößen Uv

= Zweigspannung

Iv

= Zweigstrom

Gv

= Zweigleitwert Indizes

i

Knotenindex (Zeilen) 1...i ... K

j

Knotenindex (Spalten) 1... j ... K

v

Zweigindex (Zeilen) 1...v ... z

1... j ...3

K

(Gesamt-) Anzahl der Knoten

1...v ... 6

z

(Gesamt-) Anzahl der Zweige

Beispiel von Seite 3: 3 Knoten,

6 Zweige,

K

z

3

1... i ... 3

6

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1

Hage: Knotenspannungsanalyse

Knotenspannungsanalyse Node Voltage Method

- Berechnungsschema -

2

[1]

Nummerierung der Leitwerte Gv

[2]

Festlegung des Bezugsknotens 0

[3]

Nummerierung der K Knoten

[4]

Nummerierung der z Zweige

[5]

Festlegung der Knotenspannungen UKi (Pfeilspitze auf den Bezugsknoten zeigend)

[6]

Festlegung der Zweigspannungen Uv die keine Knotenspannungen sind

[7]

Festlegung der Zweigströme iv in Übereinstimmung mit den Orientierungen von UK i und U v

[8]

Aufstellen der Matrizengleichung für die Knotenspannungen UKi

[9]

Berechnung der Knotenspannungen UKi

[10]

Berechnung der Zweigspannungen Uv

[11]

Berechnung der Zweigströme Iv

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Hage: Knotenspannungsanalyse

Beispiel zur Knotenspannungsanalyse Gegeben

Gesucht (a)

Alle Knotenspannungen

(b)

Alle Zweigspannungen

(c)

Alle Zweigströme

v S und 0 ,1 A

für Gv

I0

re circuit1.xls

Lösung Nummerierung der Leitwerte

Festlegung des Bezugsknotens 0

Nummerierung der K Knoten

Nummerierung der z Zweige

Festlegung der Knotenspannungen UKi (Pfeilspitze auf den Bezugsknoten zeigend)

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Hage: Knotenspannungsanalyse

Festlegung der Zweigspannungen Uv die keine Knotenspannungen sind

Festlegung der Zweigströme iv in Übereinstimmung mit den Orientierungen von UK i und U v

[8] Aufstellen der Matrizengleichung für die Knotenspannungen UKi G ij

G1

UK i

G5 G1 0

Iq i

G1

G1 G2 G3 G2

Leitwertmatrix G ij

0 G2 G2 G4

UK 1 UK 2 UK 3

I0 0 I0

Auf einem Platz i, i der Hauptdiaganonalen steht die Summe der am Knoten i angeschlossenen Leitwerte.

Gii

Auf den Nebendiagonalplätzen i, j (i j) stehen mit Minuszeichen die zwischen dem Knoten i und dem Knoten j befindlichen Leitwerte.

Gij

4

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Hage: Knotenspannungsanalyse

In einer Zelle i steht die Summe der am jeweiligen Knoten i wirkenden Quellenströme.

Spaltenvektor Iqi der ungesteuerten

Quellenstrom zum Knoten i hinfließend:

Quellenströme

+

Quellenstrom vom Knoten i wegfließend:

[9] Berechnung der Knotenspannungen UKi UK i

1

G ij

Iq i

UK 1 UK 2 UK 3

G1 G 5 G1 G1 0

UK 1 UK 2 UK 3

6 1 0

1 6 2

0 2 6

0 G1 G2 G3 G2 G2 G2 G4 1

0 ,1 V 0 0 ,1

1

I0 0 I0

Ergebnis:

UK 1 UK 2 UK 3

16 ,13 3, 226 17 ,74

mV

[10] Berechnung der Zweigspannungen Uv Berechnungsmethode 1:

Belegung der Zellen der Inzidenzmatrix i, v:

Knoten Ki K1 K2 K3

Zweigspannung zwischen dem Knoten i und dem Knoten v.

U1 U2

1

1

0

1

U3

0

1

0

UK1

U4

0

0

1

UK2

U5

1 1

0 0

0 1

U6

Inzidenzmatrix

0 1

+1 für Spannungspfeilanfang am Knoten i 1 für Spannungspfeilspitze Knoten i

UK3

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Inzidenzmatrix des gegebenen Netzwerkes (Paul II, S. 71)

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Hage: Knotenspannungsanalyse

Berechnungsmethode 2:

U1 U2 U3 U4 U5 U6

UK 1 UK 2 UK 2 UK 3 UK 2 UK 3 UK 1 UK 3 UK 1

Maschenbeziehungen

Ergebnis:

U1 U2 U3 U4 U5 U6

19, 36 14, 52 3,226 mV 17, 74 16 ,13 33, 87

[11] Berechnung der Zweigströme Iv Iv

Uv Gv (Zweigbeziehung im Zweig v)

Ergebnis:

I1 I2 I3 I4 I5 I6

19 ,36 29 ,03 9 ,677 mA 70 ,97 80 ,65 100

Literaturhinweise Knotenspannungsanalyse Paul, Reinhold: Elektrotechnik: Grundlagenlehrbuch Band 2: Berlin [usw.]: Springer 1990 Paul, Reinhold und Paul, Steffen: Arbeitsbuch zu Elektrotechnik 2 Berlin [usw.]: Springer 1996 Paul, Reinhold und Paul, Steffen: Repetitorium Elektrotechnik Berlin [usw.]: Springer 1996 Matrizenalgebra Böhme, Gert: Anwendungsorientierte Mathematik Berlin [usw.]: Springer 1987

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Hage: Knotenspannungsanalyse

Berechnungsbeispiel für MS-EXCEL

Oben: Leitwertmatrix Gij Inverse Leitwertmatrix Gij-1 Inzidenzmatrix Bvj Zweigleitwerte Gv

rechts: Quellenströme Iqi Knotenspannungen UKi Zweigspannungen Uv Zweigströme Iv

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