Kraft und das Gesetz von Hooke PDF

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Mitschrift einer Physik Vorlesung bei Prof. Korab...

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KRAFT UND DAS GESETZ VON HOOKE GESETZ VON HOOKE Das Wichtigste auf einen Blick  

Das HOOKEsche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf elastische Körper wie Federn. Die Federkonstante (Federhärte) wird mit D bezeichnet.



Es gilt

F=D⋅Δx mit der Längenänderung der Δx der Feder.

Kraftwirkung auf elastische Körper

Abb. 1 Größen der Längenänderung beim Hookeschen Gesetz

Das Gesetz von HOOKE beschreibt die Wirkung einer Kraft auf elastische Körper. Dies sind z.B. Federn oder Gummibänder. Elastische Körper gehen nach einer Belastung durch Zug in ihre ursprüngliche Lage zurückgehen. Auf die links aufgehängte Feder in Abb. 1 wirkt nur ihre Gewichtskraft F0, da an sie keine Kugel angehängt ist. Sie hat so ohne äußere Belastung die Länge x0. Belastest du die Feder bspw. durch Anhängen einer Kugel so, wirkt zusätzlich eine Kraft FKugel auf die Feder. Insgesamt wirkt jetzt also die Kraft F=F0+FKugel auf die Feder. Die Feder dehnt sich aus und hat nun mit angehängter Kugel die Länge

x. Die

Δx der Feder ist also Δx=x−x0. Das HOOKEsche Gesetz Längenänderung

Natürlich hängt die Längenänderung auch von der zusätzlichen Kraft

F ab, die bspw. durch

Anhängen von Kugeln mit unterschiedlichen Massen verändert werden kann. In Versuchen kannst du zeigen, dass der Quotient aus Kraftzunahme und Längenzunahme der Feder konstant ist. Diese Konstante wird als Federhärte oder Federkonstante D bezeichnet.

D=KraftänderungLängenänderung Den Zusammenhang zwischen der Federkonstanten D, der Änderung der wirkenden Kraft der Längenänderung Δx der Feder beschreibt das HOOKEsche Gesetz.

ΔF und

HOOKEsches Gesetz D=F−F0x−x0=ΔFΔxbzw. ΔF=D⋅Δx Verkürzte Schreibweise Mit

Δ bezeichnet man in der Physik Differenzen zwischen zwei gleichartigen physikalischen

Größen: Δx = Endwert einer Länge - Anfangswert einer Länge (also nicht

Δx mit der Federlänge

verwechseln!) ΔF = Endwert einer Kraft - Anfangswert einer Kraft Entsprechend beschreibt das Hookesche Gesetz eine Längenänderung in Folge einer Kraftänderung.

Um sich die vielen Differenzen bzw, Δ-Zeichen zu sparen, kann man auch eine verkürzte Schreibweise nutzen: Anstatt ΔF schreibt man häufig einfach F und bezeichnet damit die Gewichtskraft der an die Feder angehängten Masse. Und anstatt Ausdruck s für die Strecke, um die sich die Feder verlängert hat.

Δx findet sich häufig auch der

Entsprechend lautet das Hookesche Gesetz in verkürzter Form:

F=D⋅s Grenzen der Gültigkeit Der Gültigkeitsbereich des HOOKEschen Gesetzes ist (wie der eines jeden physikalischen Gesetzes) beschränkt. So kann man nach Hooke z.B. nicht die Verlängerung einer in der Schule üblichen Schraubenfeder berechnen, wenn man sie mit 4000N belastet. Hier würde die Feder einfach brechen.

Hilfen für Aufgaben Bei vielen Aufgaben ist die Masse

m eines Körpers gegeben, mit der die Feder zusätzlich belastet

wird. Um das Gesetz von Hooke anwenden zu können, musst du zuerst die Gewichtskraft Fg des Körpers nach der Beziehung Fg=m⋅g berechnen. Dabei bedeutet g die Erdbeschleunigung, also 9,81ms2. Um Aufgaben zum Gesetz von HOOKE zu lösen musst du häufig die Gleichung

FF=D⋅s nach einer

Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation. Auflösen von

FF=D⋅s nach ...

FF

D

s

Die Gleichung

FF=D⋅s ist bereits nach

FF aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

2 Schrittweises Auflösen der Formel für das Gesetz von HOOKE nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Eine unbelastete Feder der Länge Länge x1=25cm gedehnt. a. b.

x0=15cm wird bei einer Belastung von F1=0,60N auf die

Berechne die Federhärte D der Feder. Berechne, mit welcher Kraft F2 man an der Feder ziehen muss, damit sie dann eineinhalbmal so lang ist wie im unbelasteten Fall.

c.

d.

Mit obiger Feder soll ein kalibrierter Kraftmesser gebaut werden. Berechne, um welche Strecke Δx′ die Markierung der Hülse für F3=0,40N vom unteren Ende der Hülse entfernt sein muss. Nenne zwei Gründe, die gegen die Verwendung eines "Gummikraftmessers" sprechen.

STATISCHE KRAFTMESSUNG Die dynamische Kraftmessung ist mit einem erheblichen Aufwand verbunden. Wesentlich schneller lässt sich der Betrag einer Kraft mit Hilfe eines elastischen Körpers (z.B. Gummiband oder Schraubenfeder) bestimmen. Hinweis: Ein elastischer Körper geht nach der Ausdehnung durch eine Belastung wieder in seine Ausgangslage zurück, wenn die belastende Kraft nicht mehr wirkt. 1 Kalibrierung eines Federkraftmesser durch Belastung mit bekannten Gewichtskräften Wir gehen davon aus, dass durch dynamische Kraftmessung die Gewichtskraft von verschiedenen Zugkörpern bestimmt worden ist. Es sollen z.B. Zugkörper mit den Gewichtskräften vom Betrag 1N, 2N und 3N zur Verfügung stehen. Hängt man jeweils einen dieser Zugkörper an die Feder, so wird diese so weit gedehnt, bis Gleichgewicht zwischen der nach unten gerichteten Gewichtskraft FQ G des Zugkörpers und der nach oben gerichteten Federkraft FQ F der gedehnten Feder herrscht. Jeder Zugkraft entspricht auf eindeutige Weise eine bestimmte Verlängerung der Feder und umgekehrt. Man kann also mit Hilfe eines elastischen Körpers die Kraftmessung auf eine Längenmessung zurückführen. Bevor die Gewichtsmessung eines unbekannten Körpers mit einer Feder möglich ist, muss diese zunächst mit den Zugkörpern bekannter Gewichtskraft kalibriertwerden. Die nebenstehende Animation veranschaulicht die Vorgehensweise. Leider sind bei der dargestellten statischen Kraftmessung noch kleinere Schwierigkeiten zu beheben:

•Die getrennt von der Feder aufgebaute Skala darf in ihrer Lage zur Feder (in vertikaler Richtung) nicht verändert werden. •Die Kraftmessung in einer Richtung, die von der Vertikalen abweicht, bereitet Schwierigkeiten. Fügt man die Feder und die Skala zu einem Gerät zusammen, so lassen sich die oben geschilderten Nachteile beheben. 2 Aufbau und Bedienung eines Federkraftmessers Hinweise •Beim Arbeiten mit Kraftmessern (vielfach wird dieses Gerät auch als Federwaage bezeichnet) muss stets darauf geachtet werden, dass der Nullpunkt im unbelasteten Fall richtig eingestellt ist. Stimmt der Nullpunkt nicht, so kann die Schraube, mit der die äußere Hülle am Halter (grau) befestigt ist, gelöst und die äußere Hülle verschoben werden. Stimmt der Nullpunkt, so wird die Schraube wieder fest gezogen. • Bei manchen Kraftmessern erfolgt die Nullpunktskorrektur über eine Hülse, die noch zusätzlich über die äußere Hülle geschoben ist. •Beachte, dass die Nullpunktseinstellung stark von der Lage des Kraftmessers abhängt. Ist z.B. der Nullpunkt bei der oben skizzierten vertikalen Lage korrekt eingestellt, so stimmt er bei einem schräg ziehenden Kraftmesser nicht mehr und muss daher wieder korrigiert werden. •Je nach Anwendung verwendet man Kraftmesser mit unterschiedlichem Messbereich. Sehr empfindliche Kraftmesser arbeiten im mN-Bereich, es gibt auch Federkraftmesser im kNBereich. •Um eine Überdehnung der Feder zu verhindern, besitzen manche Kraftmesser eine Sperre, die dafür sorgt, dass die Feder samt Skala nicht beliebig weit aus der äußeren Hülle gezogen werden kann.

Bespiele von verschieden ausgeführten Kraftmessern

Messbereich 5 N (Leybold) Hinweis

Messbereich 250 N

Torsionskraftmesser* Messbereich 1N

In Mitteleuropa kann man einen relativ präzisen 1-Newton-Körper (genauer: Körper mit der Gewichtskraft 1N) gewinnen, wenn man einen Körper mit der Masse 100g (z. B. Schokoladentafel) verwendet.

ABLESEN VON KRAFTMESSERN

Abb. 1 Fünf unterschiedliche Kraftmesser

In Versuchen und Aufgaben musst du häufig Kraftmesser korrekt ablesen. Wie dies richtig funktioniert wird dir hier erklärt. In Abbildung 1 sind fünf Kraftmesser mit fünf verschiedenen Messbereichen dargestellt. Wie man die Kraftmesser richtig abliest, soll dir an zwei Beispielen dargestellt werden.

Beispiel 1: Kraftmesser A Der Vollausschlag ist 5N. Offensichtlich besteht die Skala aus fünf Abschnitten, die abwechselnd rot und weiß eingefärbt sind. Ein Abschnitt stellt also 1N dar. Von der Skala ist ein ganzer roter Abschnitt herausgezogen (entspricht 1N) und 9 Teile eines weißen Abschnitts (entspricht Somit zeigt der Kraftmesser eine Kraft von 1N+0,9N=1,9N an.

0,9N).

Beispiel 2: Kraftmesser D Der Vollausschlag ist 10N. Offensichtlich besteht die Skala aus zehn Abschnitten, die abwechselnd rot und weiß eingefärbt sind. Ein Abschnitt stellt also 1N dar. Von der Skala sind zwei ganze rote und zwei ganze weiße Abschnitte herausgezogen (entspricht 4N) und 3 Teile eines weißen Abschnitts (entspricht

0,3N). Somit zeigt der Kraftmesser eine Kraft von 4N+0,3N=4,3N an.

VERSTÄNDNISAUFGABE a)Lies Kraftmesser B richtig ab. b)Lies Kraftmesser C richtig ab. c)Lies Kraftmesser E richtig ab.

KOMBINATION VON FEDERN ODER GUMMIS Das Wichtigste auf einen Blick  

Sind mehrere Federn nebeneinander platziert, also parallel "geschaltet", so addieren sie die einzelnen Federkonstanten zu einer höheren Gesamtfederkonstanten auf. Sind mehrere Federn aneinandergehängt, so ergibt sich eine Gesamtfederkonstante, die kleiner ist als die kleinste Federkonstante einer einzelnen Feder.

Du kannst zwei oder mehr Federn bzw. Gummis auf zwei verschiedene Arten miteinander kombinieren - du kannst sie parallel zueinander aufhängen oder hintereinander in einer Reihe.

Parallelschaltung von zwei Federn bzw. Gummis

Abb. 1 Federkonstante bei der Parallelschaltung von Federn

Hängst du zwei Federn nebeneinander auf, sodass beide Federn direkt mit dem angehängten Gewicht verbunden sind, so sind diese parallel geschaltet. Ein Kraft, die auf die Federn wirkt, besitzt in Bezug auf beide Federn den gleichen Angriffspunkt. Die zwei parallel aufgehängten Federn werden dabei beide um die gleiche Stecke Δx gedehnt. Die Gesamtfederkonstante

Dges bei zwei parallel aufgehängten Federn errechnet sich wie in Abb. 1

dargestellt einfach aus der Summe der beiden Federkonstanten. Dies gilt unabhängig davon, ob beide Federn die gleiche Federkonstante D1besitzen oder ob sie zwei unterschiedliche Federkonstanten D1 und D2 besitzen. Gelegentlich wird die Gesamtfederkonstante auch als Ersatzfederkonstante bezeichnet.

Parallelschaltung von mehreren Federn bzw. Gummis Diese Regel zur Berechnung der Gesamtfederkonstanten (Ersatzfederkonstante) kannst du auch auf beliebig viele parallel zueinander aufgehängte Federn erweitern. Gesamtfederkonstante Dges ergibt sich dann aus der Summe aller einzelnen Federkonstanten:

Die

Dges=D1+D2+D3+...+Dn Daher ist die Gesamtfederkonstante parallel aufgehängter Ferdern immer größer als die größte Federkonstante einer einzelnen Feder.

Reihenschaltung von Federn bzw. Gummis

Abb. 2 Längenänderung und Federkonstante bei Reihenschaltung von Federn

Hängst du zwei Federn wie in Abb. 1 aneinander so sind die beiden Federn in Reihe geschaltet. Die Längenänderung Δxges des Federsystems infolge einer Kraftänderung ergibt sich dabei aus der Summe der Längenänderung, die jede der beiden Federn für sich alleine infolge der Kraftänderung erfahren würde. Es gilt also Δxges=Δx1+Δx2. Dabei spielt es keine Rolle, ob die beiden Federn eine identische Federkonstanten

Federkonstante

D1 besitzen

oder

zwei

unterschiedliche

D1 und D2.

Auch diese Gesetzmäßigkeit kannst du auf beliebig viele hintereinander gehängte Federn übertragen. Die gesamte Längenänderung der Reihenschaltung ist die Summe aller Längenänderungen der einzelnen Federn:

Δxges=Δx1+Δx2+Δx3+...+Δxn Um die Gesamtfederkonstante einer Reihenschaltung von Federn zu berechnen, musst du mit Kehrwerten arbeiten (Rechenregeln beachten!). Der Kehrwert der Gesamtfederkonstanten Dges von in Reihe gehängten Federn ergibt sich aus der Summe der Kehrwerte der einzelnen Federkonstanten:

1Dges=1D1+1D2+1D3+...+1Dn Daher ist die Gesamtfederkonstante aneinander aufgehängter Ferdern immer kleiner als die kleinste Federkonstante einer einzelnen Feder.

Gemischte Federsysteme Wenn in einem System Federn teilweise parallel und teilweise in Reihe geschaltet sind, so solltest du schrittweise Arbeiten. Du kannst so lange einzelne Ersatzfederkonstanten von parallel bzw. in Reihe gehängten Federn berechnen, bis alle "Ersatzfedern" parallel oder in Reihe geschaltet sind.

Dann kannst du mithilfe der oben gegebenen Formeln die Gesamtfederkonstante des Systems berechnen.

UMRECHNEN VON EINHEITEN DER KRAFT Eine physikalische Größe kann als Produkt von Zahlenwert und Einheit aufgefasst werden: D=10Nm kann auch in der Form D=10⋅1Nm oder D=10Nmgeschrieben werden. Will man nur die Einheit einer Größe angeben, so schreibt man [D]=1Nm=Nm. Die Einheiten sind meist im sogenannten SI-System angegeben. Man sagt hierzu auch MKSASystem (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere System). Daneben sind aber auch noch andere Einheiten üblich, wie z.B. die Federhärtenangabe in Ncm. Musterbeispiel: Wie viel mNcm sind 10Nm? Kurz: 10Nm=?mNcm 1. Schritt: Drücke die gegebene Größe Einheit mNcm aus: 2. Schritt: Vereinfache:

10Nm in der gesuchten 10Nm=10⋅1000mN100cm=10⋅10mNcm

10⋅10mNcm=1,0⋅102mNcm

Ergebnis:

10Nm=1,0⋅102mNcm Hinweis: Die Zahl der gültigen Stellen muss bei der Umwandlung erhalten bleiben (vgl. Grundwissen: Genauigkeit bei Zahlenangaben)

a) 36mNmm=

b) 72Ndm=?

c) 45cNmm=?

?Nm

kNm

Ncm

UMSTELLEN EINER GLEICHUNG Bei Aufgaben zum Gesetz von Hooke reicht es nicht aus, nur die Definitionsgleichung der Federhärte D zu kennen:

D=ΔFΔx Man muss vielmehr diese Definitionsgleichung auch nach den Größen

ΔF oder Δx auflösen können,

um anderen Aufgabenstellungen gerecht zu werden. Hierzu benötigst du nur ein wenig Algebra. 1 Auflösen der Gleichung Auflösen nach

ΔF:

2 Auflösen der Gleichung Auflösen nach

D=ΔFΔx (Gesetz von HOOKE) nach ΔF

D=ΔFΔx (Gesetz von HOOKE) nach Δx

Δx:

Hinweis: Ein häufiger Fehler beim Auflösen nach

Δx schaut wie folgt aus:

D=ΔFΔx∣∣∣:ΔF⇔DΔF=Δx⇔Δx=DΔF falsch Die richtige, aber kompliziertere Umformung (da nur nach 1Δx aufgelöst wird und man dann auch noch den Kehrwert bilden müsste, um auf Δx zu gelangen) würde lauten:

D=ΔFΔx∣∣∣:ΔF⇔DΔF=1Δx⇔1Δx=DΔF

Es ist sehr zu empfehlen, sich die oben dargestellten Vorgehensweisen einzuprägen. Eine (nicht gymnasiale) Eselsbrücke stellen wir dir auch noch vor:

3 Auflösen der Gleichung

Man ordnet die drei Größen

 

D=ΔFΔx (Gesetz von HOOKE) nach irgendeiner gesuchten Größe ΔF, Δx und D auf die nebenstehend dargestellte Weise in

einem Dreieck an. Will man nach einer bestimmten Größe auflösen, so denkt man sich diese aus dem Dreieck weg. Die Position der verbleibenden Größen zeigt, wie der Term auf der rechten Gleichungsseite aussehen muss: Stehen die beiden Größen übereinander, so muss man die obere durch die untere Größe dividieren. Stehen die beiden Größen nebeneinander so muss man sie multiplizieren.

Hinweis: Wir haben das Gesetz von Hooke bewusst mit

ΔF und Δx geschrieben, um klar zu machen, dass es

auf die Änderungen ankommt. Unter gewissen Voraussetzungen kann die Formel auch einfacher angeschrieben werden: Hatte zu Beginn eines betrachteten Vorgangs die Anfangskraft Fa den Wert Null, so gilt natürlich: ΔF=Fe−Fa⇒ΔF=Fe−0=Fe, verkürzt ΔF=F War ebenso zu Beginn des betrachteten Vorgangs die Anfangsverlängerung analog:

Δx=xe−xa⇒Δx=xe−0=xe, verkürzt Δx=x Dann gilt für das Gesetz von Hooke:

D=Fx

xa den Wert Null, so gilt...