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Inspección de Vértices. Minimización Mediante el Método Gráfico

Investigación Operativa

Inspección de vértices Con respecto al método gráfico, sucede muchas veces que no es tan fácil descubrir cuáles son las coordenadas de los vértices de la región factible. Sin embargo, resulta especialmente importante conocer cuándo el vértice es el que optimiza la función objetivo. El método que describiremos a continuación complementa al método gráfico. Para entenderlo mejor, seguiremos tomando como base el problema de la Lectura 4. Es recomendable, para entender mejor el método gráfico y para lograr una solución más exacta, realizar la siguiente tabla. Tabla 1: Inspección de vértices para un problema de PL Vértice

Coordenadas

Función objetivo: Z=2000x + 3000y

A

(0, 0)

0

B

(0, 4)

12 000

C

¿?

¿?

D

(3, 0)

6000

Fuente: elaboración propia.

Primero, nombramos los vértices con una letra mayúscula (a elección, no importa a cuál vértice designemos con A, B, C o D). Una vez que tenemos graficado el convexo de soluciones, hacemos una tabla con los vértices y sus coordenadas. Si los vértices están formados por dos rectas, entonces resolvemos el sistema de ecuaciones que esas dos rectas forman (a veces, el convexo puede tener 4 o más vértices). El vértice C no es tan evidente como los otros, aunque con un buen gráfico lo podemos determinar. Pero no siempre esto ocurre. Entonces, pensemos: ¿al vértice C, qué rectas lo forman? Será cuestión de plantear un sistema de ecuaciones con esas dos rectas y resolverlo; en nuestro problema, esas rectas son: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖; 𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟗.

Resolviendo este sistema mediante cualquiera de los métodos estudiados en álgebra, la solución del sistema será x=2, y=3; por lo que el punto (2, 3) es el que forma el vértice C, por ser la intersección entre las dos rectas del sistema.

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Por último, evaluamos la función objetivo en esos vértices y descubrimos cuál proporciona el mayor valor a dicha función (o menor valor, según si se está minimizando). La tabla definitiva, entonces, nos queda de la siguiente manera: Tabla 2: Inspección de vértices final para un problema de PL Vértice

Coordenadas

Función objetivo: Z=2000x + 3000y

A

(0, 0)

0

B

(0, 4)

12 000

C

(2, 3)

13 000

D

(3, 0)

6000

Fuente: elaboración propia.

El anterior es el mismo resultado obtenido gráficamente. Recomendamos este ejercicio. Es como una parte analítica dentro del método gráfico, pero resultará de mucha utilidad a la hora de resolver problemas.

Minimización mediante el método gráfico Problema Con base en los actuales niveles de inventario y de la demanda potencial para el siguiente mes, los administradores de una empresa láctea han especificado que la producción total combinada de los productos A y B deben ser, al menos, de 7700 litros. Por otro lado, se debe satisfacer también el pedido de un cliente de 2750 litros del producto A. Los objetivos de los administradores de la empresa son cumplir con los requisitos anteriores e incurrir en un costo de producción mínimo. Los costos de producción son de $3 por litro de producto A y de $2 por litro para el producto B.

Resolución del problema de minimización Escribamos, en primer lugar, la función objetivo, llamando x1 a la cantidad de litros del producto A, y x2 a la cantidad de litros del producto B. Como

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los costos de producción son de $3 para cada litro de producto A y de $2 para cada litro del producto B, se trata de: minimizar: Z= 3x1 + 2x2 En cuanto a las restricciones, tenemos que se deben producir no menos de 7700 litros, por lo tanto: x1 + x2 7700. Además, se debe satisfacer la demanda del cliente de 2750 litros del producto A, entonces: x1 2750. Determinadas la función objetivo y las restricciones, podemos formular el planteo de programación lineal correspondiente con este problema: minimizar: Z= 3x₁ + 2x₂, sujeta a las restricciones: 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 7700 (1) 𝑥1 ≥ 2750 (2) { 𝑥1 ≥ 0 (3) 𝑥2 ≥ 0 (4).

La restricción (1) se refiere a la producción; la restricción (2) se refiere a la demanda del producto A; las restricciones (3) y (4) son las de no negatividad. Figura 1: Región factible de un problema de minimización x2

7700

x

0 2750 7700 1

Fuentes: Conforte y Mase, 2001, p. 67; De las Casas y Mase, 2010, p. 143.

La región sombreada es la región de soluciones factibles. Debemos ahora representar una recta de la familia de la función objetivo (podemos tomar

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la que pasa por el origen del sistema de coordenadas) y deslizarla hasta encontrar la primera recta que tenga intersección con la región de soluciones factibles. Figura 2: Solución óptima en forma gráfica de un problema de minimización x2 Solución

Z= 3.x1 + 2.x2 7700

óptima

Recta representativa de la función objetivo que se desliza hasta encontrar la solución óptima 02750 7700 x1

Fuente: Conforte y Mase, 2001, p. 68; De las Casas y Mase, 2010, p. 143.

Con un gráfico a escala, se podrá verificar que el punto de la solución óptima es el punto (2750, 4950). Recuerda que también puede reforzarse esta solución haciendo una inspección de vértices, es decir, 2750 litros del producto A y 4950 litros del producto B minimizarán el costo. El costo mínimo será de $18 150. Resumiendo: Los pasos a seguir para resolver un problema de minimización de programación lineal por el método gráfico son los siguientes. 1) Trazar las rectas correspondientes a cada una de las restricciones. 2) Determinar la región de soluciones factibles. 3) Trazar una recta de la familia de las rectas de la función objetivo. 4) Desplazar la recta paralela a sí misma hasta el primer punto de intersección con la región de soluciones factibles. 5) El punto de coordenadas (x, y) que se encuentre sobre esta recta y pertenezca a la región de soluciones factibles es una solución óptima.

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Referencias Conforte, J., y Mase, M. (2001). Matemática I. Córdoba: Copiar. ISBN: 9879357-13-5. Casas de las, G., y Mase, M. (2010). Algebra. Córdoba: IES Siglo 21. ISBN: 978-987-1141-18-0.

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