Caida libre mediante el software tracker PDF

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el uso del software tracker en experimentos de caida libre...

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Cálculo Aplicado a la Física 1

CAÍDA LIBRE: ANÁLISIS DE UN MOVIMIENTO VERTICAL EN CAÍDA LIBRE UTILIZANDO TRACKER Ana Tejada G. (1), Lucero Sanchez T. (2), Andrea Meza Q. (3), José Delzo S. (4), Eliane Delgado P. (1) Universidad Tecnológica del Perú Código: U20200201, U20206932, U20221113, U20212645, U20200663 1.

RESUMEN

En el presente proyecto se realiza la representación gráfica e identificación de las fuerzas que intervienen en el movimiento vertical de los cuerpos en caída libre, siendo una de ellas la fuerza de la gravedad. Asimismo, se recreará la caída vertical de un objeto, para luego ser analizado mediante el software libre Tracker 5.1.5, y posteriormente hallar la relación experimental entre la posición y el tiempo de un objeto en caída libre, así como, la relación matemá tica entre la velocidad y el tiempo, por medio de las ecuaciones conocidas para este fenómeno físico. Se realizaron las respectivas deducciones y cálculos de los valores con su correspondiente representación gráfica a partir de los datos obtenidos con Tracker. En esta experiencia se pudo observar la versatilidad en la utilización del sistema software libre “Tracker”, pues sirve como herramienta didáctica e innovadora, que facilita el acceso para adquirir conocimientos en la física.

Palabras claves: Caída libre, fuerza de la gravedad, posición, velocidad, tiempo Abstract: In this project, the graphic representation and identification of the forces involved in the vertical movement of bodies in free fall is carried out, one of them being the force of gravity. Likewise, the vertical fall of an object will be recreated, to later be analyzed using the free software Tracker 5.1.5, and later on, the experimental relationship between the position and time of an object in free fall will be found, as well as the mathematical relationship between speed and time, by means of the equations known for this physical phenomenon. The respective deductions and calculations of the values were made with their corresponding graphic representation from the data obtained with Tracker. In this experience it was possible to observe the versatility in the use of the software of the free

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“Tracker” system, as it serves as a didactic and innovative tool, which facilitates access to acquire knowledge in physics. Keywords: Free fall, force of gravity, position, speed, time 2. INTRODUCCIÓN En la actualidad, a causa de la pandemia, la educación presenta diversos problemas ya sea económico, político o social, por todo ello la enseñanza de la física debe adaptarse por ser una ciencia muy importante que da respuesta a los fenómenos que ocurren en la naturaleza. A causa de esta situación, una de las formas que permite que fluya esta ciencia es a través del estudio con la ayuda de métodos económicos y accesibles que facilitan el manejo de problemas experimentales de la física y en este caso lo que se pretende investigar es el movimiento de la caída libre de los cuerpos, con ayuda del software libre “Tracker” con capacidades de realizar aplicaciones científicas. En 1687 Issac Newton, físico y matemático inglés público su obra acerca de la ley de gravedad en su tratado Principios matemáticos de filosofía natural. Según su razonamiento, Newton afirmó lo siguiente: “Toda partícula en el Universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas” [1]. Esta ley expresada en forma algebraica quiere decir que mientras más cerca y masivos sean los cuerpos, habrá mayor fuerza de atracción. A esta fuerza se la conoce como fuerza de la gravedad o fuerza gravitacional, fuerza que se manifiesta en la atracción de un cuerpo hacia la Tierra evidenciada en la atracción entre los cuerpos del Sistema Solar que giran en torno al sol. El presente trabajo tiene por finalidad analizar el movimiento vertical en caída libre y así hallar la relación entre las ecuaciones de la posición y la velocidad. Asimismo, comparar el resultado de la gravedad teórica con la experimental en el que se encuentra un objeto en movimiento de caída libre por medio del programa informático Tracker, en el cual existen factores que ayudan a comprender este tipo de fenómenos, entre ellos encontramos la resistencia del aire que consta de una fuerza opuesta a la velocidad del objeto en caída y la Fuerza de Gravedad que hace que los cuerpos tiendan al centro de la tierra (Ley de Gravitación Universal de Newton). Cabe destacar que Galileo expuso que “todos los objetos caen con la misma aceleración constante en ausencia de aire u otra P á g i n a 2 | 15

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resistencia”. La experimentación hecha por nuestra compañera Luz Delgado, estudiante de Ingeniería Industrial, muestra un sistema referencial de posición y tiempo donde ambos varían a medida que el objeto es soltado, todo este proceso se aprecia gracias al software libre “Tracker”. Este trabajo es práctico de realizar por alumnos de cualquier grado de nivel secundario y universitario guiado por su respectivo docente de curso, demostrando que no es necesario acudir a un laboratorio físico para poner a prueba su conocimiento, por lo que podemos dar uso las herramientas tecnológicas que tenemos en nuestro alcance para afrontar la coyuntura actual. Una de las limitaciones que se ha logrado encontrar en el transcurso del proyecto es el poco manejo y familiaridad con el Tracker, además de graficar los valores obtenidos, lo cual ha sido solucionado mediante tutoriales en YouTube, se recomiendan algunos de estos tutoriales en el anexo de este trabajo. 3. MARCO TEÓRICO Cuando hablamos de caída libre lo primero que pensamos es en un objeto cualquiera cayendo cerca de la superficie terrestre, es muy común pensar en la actualidad que objetos con distinto peso y tirados a una misma altura llegan al suelo al mismo tiempo, esto gracias al físico Galileo Galilei (1564-1642). Pero resulta increíble que antiguamente Aristóteles afirmaba que “el movimiento en caída de cualquier cuerpo es más rápido en proporción a su tamaño” [2], es decir, los objetos más pesados caían más rápido. No fue hasta el siglo XVII que Galileo Galilei planteó que, si pudiéramos eliminar la resistencia del aire, todos los objetos caerían con la misma aceleración. Por ello, en 1971 la idea expuesta por Galileo fue comprobada, en la expedición de Apolo 15 comandada por el astronauta David Scott, estos fueron a la luna (ambiente sin atmosfera) con la finalidad de corroborar lo expuesto por Galileo; por lo que experimentaron con un martillo y una pluma dándose con la sorpresa de observar que ambos caían al mismo tiempo (Figura 1)

Figura 1. David Scott soltando un martillo y una pluma en superficie lunar (sin resistencia del aire) P á g i n a 3 | 15

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La caída de los objetos en la tierra dependía de la resistencia del aire y la fuerza de gravedad que tiende al centro de la tierra. Por los postulados expuestos Galileo Galilei es considerado “el padre de la ciencia moderna” no solo por sus aportes a la ciencia, sino también a su enfoque científico con el cual expertos afirman que Galileo experimentaba para demostrar sus postulados, como la vez que subió a la Torre de Pisa y soltó dos esferas, una de metal y otra de madera a la misma altura, estas masas llegaron al mismo tiempo al piso y de esta manera desmintió lo afirmado por Aristóteles en la antigüedad. Si la distancia de la caída es pequeña comparada con el radio de la tierra (6400Km) podemos considerar a la aceleración durante la caída es constante, cuyo valor aproximado sería 9,81m/s². La gravedad es un vector, como lo es cualquier aceleración, y su dirección es hacia abajo, es decir hacia el centro de la Tierra. Ley de la fuerza gravitatoria La ley de gravitación universal describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos respecto a su masa. La cual fue formulada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en 1687, donde estableció que las fuerzas con que se atraen dos objetos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Figura 2. Fuerzas mutuas de atracción entre dos esferas de diferente tamaño. En el cual las fuerzas son iguales en modulo, pero de sentido contrario. Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán. Fórmula: 𝐹=𝐺

𝑚1 𝑚2 𝑣 2 𝑑²

(1)

Donde: F: La fuerza gravitacional P á g i n a 4 | 15

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G: Es la constante de gravitación universal 𝑚1 : Masa de uno de los cuerpos 𝑚2 : Masa de otro de los cuerpos r: La distancia que los separa d: Distancia La velocidad instantánea de un cuerpo se define como el límite del desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido, cuando estimamos el cuerpo como unidimensional 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝑣𝑚

∆𝑥 ∆𝑡

(2)

Es de previo conocimiento que en caída libre a la aceleración constante se le da por nombre gravedad terrestre. La aceleración es definida como la magnitud física que mide la tasa de variación de la velocidad respecto del tiempo. a=

𝑣𝑓 −𝑣𝑖 ∆𝑣 = ∆𝑡 𝑡𝑓 −𝑡𝑖

(3 )

Para un cuerpo que desarrolla MVCL tenemos

Figura 3. Un cuerpo es verticalmente lanzado hacia arriba. Donde: 𝑣𝑖 : Rapidez inicial 𝑣𝑓 : Rapidez final g: Aceleración de la gravedad P á g i n a 5 | 15

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t: Tiempo h: Altura Se verifican las siguientes ecuaciones: 𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 +𝑣𝑖 𝑡+

1 2

𝑔𝑡 2

(4)

𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 ± 𝑔𝑡

(5)

𝑣 2𝑓 = 𝑣2 𝑜 ± 2𝑔ℎ

(6)

ℎ = 𝑣𝑜 𝑡 + ℎ=

𝑔𝑡 2 2

(7)

(𝑣𝑜 +𝑣𝑓 ) .𝑡 2

(8 )

Se emplea el signo +: Si la rapidez aumenta (el cuerpo baja) -: Si la rapidez disminuye (el cuerpo sube)

Figura 4. Análisis de un objeto ascendiendo y descendiendo por efectos de la gravedad [3]

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Observaciones respecto al tiempo:

Figura 5. En un MVCL el tiempo de subida y bajada son iguales Fórmula: 𝑣𝑖 𝑔

(9 )

𝑡𝑠 = 𝑡𝑏

(10)

𝑡𝑠 =

Para la altura máxima:

Figura 6. La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con 𝑣𝑦 =0. P á g i n a 7 | 15

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La altura máxima que se alcanza se determina con la siguiente expresión: ℎ𝑚𝑎𝑥 =

𝑣2 𝑜 2𝑔

(11)

3. DETALLES EXPERIMENTALES - METODOLOGÍA El uso de videos cortos, pueden ser extremadamente útiles en la enseñanza de la física y otras ciencias. El programa Tracker permite analizar videos de experimentos físicos y extraer datos de las imágenes fácilmente, también se puede comparar la predicción que se realiza mediante ecuaciones analíticas. El Tracker no requiere de ningún costo, además puede ser usado tanto en Windows, Linux, o Mac que nos proporciona elaborar este proyecto. A través de este software los datos pueden ser graficados, analizados en hojas de cálculo y comparados con modelos teóricos. En algunos casos se puede superponer vectores o puntos en el video. Para el trabajo que se quiere desarrollar es útil hacer uso del programa informático Tracker, ya que da a conocer el modelado de fuerzas y la simulación sobre el video de caída libre.

3.1. Métodos y técnicas Nuestra compañera Luz Delgado, estudiante Ingeniería Industrial, se ofreció a realizar la simulación de caída libre vertical de un objeto esférico, en este caso una pelota de plástico de 7cm diámetro y 18 gramos de masa (figura 7). Primero se determinó la altura exacta del suelo con relación a la estudiante, con ayuda de una silla y una wincha, en lo cual se obtuvo 1,60 m de altura, por consiguiente, utilizamos una cámara de video con ayuda de un celular modelo iPhone 6 de resolución de 8 megapíxeles, apertura f2.2 y tamaño de sensor de 1/3 pulgadas para grabar la caída vertical de la pelota, de modo que, dicha cámara debe estar fija a 90° y su eje visual perpendicular a la línea del movimiento registrado para evitar distorsiones en el video. Por último, se dejó caer el objeto esférico hasta llegar al suelo. (figura 7), para luego procesarlo en el software Tracker versión 5.1.5. y llevar a cabo la simulación del movimiento. Para los gráficos se utilizó la calculadora gráfica GeoGebra.

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Figura 7. Ensayo del lanzamiento en caída libre de una pelota de piscina. Toma de video y fotografía. El procedimiento de cómo se utilizaron los instrumentos y se realizaron los cálculos se explican en las siguientes etapas: A.

Etapa I: Simulación de caída libre vertical y uso del Tracker

Después de realizar la simulación de caída libre vertical, se procedió a insertar el video en el programa Tracker versión 5.1.5. (figura 8) para analizarlo, así pues, se logró digitalizar el movimiento de la caída libre del objeto.

Figura 8. Se inserta el video en el software libre Tracker Este software computarizado dispone de una función avanzada que permite realizar el seguimiento del objeto, denominada Auto-Tracker, además de registrar su posición y su tiempo de manera secuencial sólo pulsando clic con el ratón conectado a la computadora, en nuestro caso una PC de medianas prestaciones.

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Figura 9. Sistema de referencia de caída libre en el Tracker Luego de descargar el video e insertarlo en el aplicativo, creamos una “masa puntual”, colocamos la opción “eje de coordenada” en el centro del objeto a analizar (figura 9), luego usamos la “barra de calibración” para hacer la medida respectiva de la altura que es 1.60m. Una vez realizado el sistema de referencia, nos podemos percatar que el cuerpo siempre se encuentra sobre el eje Y positivo e inicialmente su posición es 𝑦0 = H, su velocidad es igual a 0 m/s, ya que está partiendo del reposo y su aceleración es constante e igual a la gravedad. En este caso la aceleración sería negativa, pues la tendencia del movimiento es contraria al sentido del eje Y. Apreciamos una gráfica de posición vs tiempo al margen derecho, por lo que podemos deducir que la característica de un movimiento analizando la forma y la pendiente. La pendiente de la gráfica posición vs tiempo (y-t) representa la velocidad en relación a la posición y tiempo transcurrido en el espacio.

Figura 10. Análisis en cámara lenta del objeto en el Tracker P á g i n a 10 | 15

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Luego de determinar cada punto de la trayectoria que realiza la pelota, usando una serie de comandos (shift y control) logramos analizar el cambio de posición del objeto en cámara lenta (figura 10), posteriormente el Tracker nos arroja como resultado el eje de coordenada con datos en relación a la posición y el tiempo, con los cuales más adelante se graficará y analizará.

Figura 11. Datos recopilados con ayuda del Tracker B.

Etapa II: Uso del graficador GeoGebra

Una vez capturados los datos del video (figura 11), se analiza el comportamiento de la posición en función del tiempo con su respectiva gráfica. Se destaca la posibilidad de este software analizador de videos de disponer de la data resultante para ser utilizada con otros programas de capacidades graficas más avanzados como GeoGebra.

Figura 12. Gráfico representado en GeoGebra. P á g i n a 11 | 15

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A continuación, en la construcción de la gráfica de posición vs tiempo, se tuvo que emplear la opción vista y seleccionar hoja de cálculo para que sea posible ingresar los datos recopilados del Tracker. Asimismo, con la información brindada se realizó un análisis de regresión de dos variables con un modelo de regresión polinómica, obteniendo como producto final el gráfico en GeoGebra (figura 12). RESULTADOS Los datos plasmados en el software matemático interactivo libre GeoGebra (figura 12), se muestra el comportamiento del movimiento parabólico en caída libre, en el cual con ayuda del ajuste cuadrático se halló la ecuación de la posición. Ecuación de la posición: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +𝑐

(12)

Donde con el ajuste cuadrático de nuestro gráfico: a = -4,0238 b = 0,199 c = -0,0001 Entonces obtenemos: 𝑦(𝑡) = −4,0238𝑡²+ 0,199𝑡 −0,0001

(13)

A partir de dicha expresión (12) se puede derivar, hallando la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo, de esa manera podemos calcular la relación de las ecuaciones de la velocidad y derivada de la posición y la gravedad experimental. Expresión de la velocidad: 𝑣𝑦 =

𝑑𝑦 𝑑𝑡

v(t) =-2at+b

(14)

Donde: -2a = -8,0476 b = 0,199 Entonces obtenemos: 𝑣𝑦 =

𝑑𝑦 𝑑𝑡

v(t) =-8,0476 t+0,199

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Analizando y comparando ambas ecuaciones, nos percatamos que la velocidad inicial equivale a b, el cual es su coeficiente es igual a 0,199. La relación de la ecuación obtenida con la fórmula de posición en caída libre (4) es la siguiente: a=

1 2

𝑔

(14)

Gravedad experimental: −4,0238 =

1 𝑔 2

Al despejar la gravedad experimental de la ecuación obtenemos que es igual a -8,047m/s², teniendo como error porcentual un 17.93% frente a la gravedad promedio de 9,806 m/s², del mismo modo, al identificar en la ecuación (15) la velocidad inicial experimental (0,199) también se vio afectada, ya que el rastreador de movimiento está diseñado para la detección confiable de objetos en movimiento dentro de un área de interés a predefinir, sin embargo la cámara no estuvo correctamente colocado a 90° ni su eje visual perpendicular a su trayectoria de la pelota, además la distancia obtenida gracias a la wincha; es inexacta; pues esta no se encontraba en un lugar fijo. Con los datos adquiridos en la aplicación Tracker, se pudo realizar el ajuste lineal de la posición en función del tiempo, logrando obtener la siguiente gráfica en GeoGebra. A través de ella, logramos corroborar los valores obtenidos en el software Tracker.

Figura. 13 Gráfico de la ecuación lineal en GeoGebra P á g i n a 13 | 15

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A partir de lo mencionado al derivar la posición en función del tiempo calculamos la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo transcurrido.

Figura. 14 gráfico de la ecuación de velocidad en GeoGebra A través de los datos adquiridos de la gráfica hemos podido calcular los valores de la velocidad final en cada punto recorrido la pelota. CONCLUSIONES En este trabajo se logró comprobar experimentalmente el comportamiento del movimiento en caída libre de una pelota en diversas posiciones. Se concluye que para los métodos aplicados los resultados fueron

satisfactorios,

obteniéndose

errores

experimentales muy bajos ya sea en la gravedad experimental o velocidades mediante el cálculo de los parámetros asociados, utilizando el sensor de movimiento y una cámara digital para capturar el video de movimiento presentado. Finalmente, los datos fueron modelados de forma adecuada utilizando el software Tracker 5.1.5., pues tiene una opción llamada Auto-Track, que realiza automáticamente la recolección de datos, pero depende de la calidad del video, que se debe grabar previamente. Ahora bien, recolectar los datos obtenidos en Tracker y graficados en GeoGebra, mediante cálculos hallamos las P á g i n a 14 | 15

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velocidades de la pelota al trasladarse hacia el suelo. A través de estas herramientas tecnológicas, se compro...