Laboratorio 1 fisica 1 CIFRAS SIGNIFICATIVAS, TEORIA DEL ERROR Y RELACIONES LINEALES PDF

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Laboratorio 1 fisica 1 CIFRAS SIGNIFICATIVAS, TEORIA DEL ERROR Y RELACIONES LINEALES...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA

FISICA I Laboratorio N.º 1

CIFRAS SIGNIFICATIVAS, TEORIA DEL ERROR Y RELACIONES LINEALES

Alumno:

Prof.

Docente SEMESTRE 2020-II

I. CAPACIDADES:



Comprender los conceptos fundamentales de Teoría del Error (Incertidumbre), aplicando esta teoría a medidas directas. Utilizar la teoría propagación de errores para medidas indirectas. Reconocer y analizar las relaciones lineales entre variables.

  II.

INTRODUCCIÓN: Al realizar experimentos en física y otras ciencias es frecuente medir los valores de distintas magnitudes físicas con diversos instrumentos en forma directa, usando la teoría de propagación de errores, en forma indirecta. También se pueden encontrar la relación que existe entre variables médiate análisis gráficos, estadísticos y numéricos. Existen dos tipos fundamentales de instrumentos los analógicos y los digitales y cada uno presenta distintos errores o incertidumbres.

III.

TRABAJO PREPARATORIO: 1. Aparatos de medida

2. Cualidades de los aparatos de medida Cuando hablamos de instrumentos de medida hay algunas características a las que nos referimos normalmente y que conviene definir. Algunas de ellas son: 



Precisión: ya se ha explicado anteriormente, pero volvemos a recordarlo. Es la mínima fracción de la escala del aparato que puede apreciarse exactamente sin errores durante la medición. Sensibilidad: es la relación entre la desviación máxima de la aguja medidora y la variación de la magnitud que se está midiendo. Es una cualidad exclusiva de los aparatos analógicos.

   





Exactitud: el grado de semejanza entre el valor medido y el valor real de la magnitud. Fidelidad: un aparato se considera fiel cuando al repetir varias veces la medición da el mismo valor. Rapidez: un instrumento es rápido cuando se estabiliza en un tiempo corto. Campo o alcance de indicación: es el valor de la cantidad que se está midiendo que hace que el elemento indicador se desplace desde el principio hasta el final de la escala. Calibre o campo de medida: es la medida máxima que podemos hacer utilizando un determinado aparato. Algunos aparatos de medida tienen diferentes campos de medida para una misma magnitud, para usarlos en diferentes conexiones, por ejemplo. Constante: normalmente, en los instrumentos de medida cada división corresponde a varias unidades de medida, en estos casos para calcular la medida será necesario multiplicar el número de divisiones por la constante que corresponda en cada caso. Esta constante se define como la división entre el calibre y el número de divisiones.

En la imagen siguiente tenemos un ejemplo de un instrumento de medida en el que se aprecian los campos de medida y el campo de indicación: 3. Cifras significativas Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna información. Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milímetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo, como: Longitud (L) = 85,2 cm No es esta la única manera de expresar el resultado, pues también puede ser: L = 0,852 m L = 8,52 dm L = 852 mm Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dígitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definición pues tienen un significado real y aportan información. Así, un resultado como L = 0,8520 m no tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilésimas de metro. Por tanto, y siguiendo con el ejemplo, el número que expresa la cantidad en la medida tiene tres cifras significativas. Pero, de esas tres cifras sabemos que dos son verdaderas y una es incierta, la que aparece subrayada a continuación:

L = 0,852 m Esto es debido a que el instrumento utilizado para medir no es perfecto y la última cifra que puede apreciar es incierta. ¿Cómo es de incierta? Pues en general se suele considerar que la incertidumbre es la cantidad más pequeña que se puede medir con el instrumento, aunque no tiene por qué ser así pues puede ser superior a dicha cantidad. La incertidumbre de la última cifra también se puede poner de manifiesto si realizamos una misma medida con dos instrumentos diferentes, en nuestro caso dos reglas milimetradas. Por extraño que pueda parecer no hay dos reglas iguales y, por tanto, cada instrumento puede aportar una medida diferente. Quedando claro que la última cifra de la medida de nuestro ejemplo es significativa pero incierta, la forma más correcta de indicarlo (asumiendo por ahora que la incertidumbre es de ±1 mm), es L = 0,852 ± 0,001 m No obstante, lo más normal es omitir el término ± 0’001 y asumir que la última cifra de un número siempre es incierta si éste está expresado con todas sus cifras significativas. Este es el llamado convenio de cifras significativas que asume que “cuando un número se expresa con sus cifras significativas, la última cifra es siempre incierta”. Asumiendo que cualquier problema de física o química de un libro de texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos números con sus cifras significativas correspondientes. Es lo que veremos más adelante pues antes es necesario ampliar conceptos y establecer procedimientos. 4. Error o Incertidumbre Es importante diferenciar los términos error e incertidumbre. Error es la diferencia entre el valor medido y el valor convencionalmente verdadero, del objeto que se está midiendo.

Incertidumbre es la cuantificación de la duda que se tiene sobre el resultado de la medición.

Cuando sea posible se trata de corregir los errores conocidos, por ejemplo, aplicando las correcciones indicadas en los certificados de calibración. Pero cualquier error que no se conozca su valor es una fuente de la incertidumbre 5. Errores en los aparatos de medida Los errores de medición afectan a cualquier instrumento de medición y pueden deberse a distintas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular,

eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan deterministas o sistemáticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. 6. Errores o incertidumbre en medidas directas (método estadístico) e indirectas (propagación de errores) Es aquella que se realiza aplicando un aparato para medir una magnitud. Si se realiza varias medias de la misma magnitud, se aplica un análisis estadístico.

Para n medida directa de X (magnitud física), el valor final de la medida está dado por:

X =X±e p

Dónde: X

es el valor medio de las n medidas, está definido por: n

 xi x1  x2  ......  xn i 1 X  n n ep , la incertidumbre denominada “más probable” está definida por: n

ep 

 i 2 i1

n( n  1)

n



La incertidumbre relativa está dada por:

(xi  X )2  i 1 

er 

n( n  1) ep X ,

e% er 100% 

IV.

ep

100%

X La incertidumbre relativa porcentual por: RESUMEN TEÓRICO: La medición es un proceso que consiste en medir y asignar un número que representa el valor de la magnitud física. Una magnitud medida requiere indicar la confiabilidad del valor establecido, puesto que todas las medidas están afectadas de algún modo por una incertidumbre experimental debido a imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o limitaciones impuestas por nuestros sentidos que registran la información. Así:  Todo resultado experimental y/o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado de la incertidumbre de la medida (expresado con solo una cifra significativa) y a continuación, las unidades empleadas.  El error instrumental está dado por la mitad del valor de la mínima división de la escala del instrumento utilizado en caso de ser un instrumento analógico, y por la mínima división en caso de ser un instrumento digital. Los errores o incertidumbres se pueden clasificar:  Errores sistemáticos: es aquel que se produce de igual modo en todas las mediciones que se realizan de una magnitud. Puede estar originado en un defecto del instrumento, en una particularidad del operador o del proceso de medición, etc.  Errores accidentales: o accidental es aquel error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar durante el proceso de medición. Medida directa es aquella que se realiza aplicando un aparato para medir una magnitud. Si se realiza varias medias de la misma magnitud, se aplica un análisis estadístico.

Para n medida directa de X (magnitud física), el valor final de la medida está dado por: Dónde:

X =X±e p X es el valor medio de las n medidas, está definido por: n

X

 xi

x1  x2  ......  xn i 1  n n

ep , la incertidumbre denominada “más probable” está definida por: n

ep 

i  i 1

n

2



n(n  1)



( xi  X ) 2  i 1 

n (n  1)

e er  p X , La incertidumbre relativa está dada por: La incertidumbre relativa porcentual por:

e% e r100% 

ep X

100%

Medida indirecta es aquella que se determina a través de la medida de otras con las que mantiene una relación funcional. Es decir: z = f (x, y, a, b, …....….w.) 2

2

2

2

 z   z  z    z   z  z   x    y    a    b   .............   w  x   w   y   a   b 

2

Sean x = x ± Δx y y = y ± Δy dos magnitudes físicas, si una magnitud z viene determinada por la suma, diferencia, producto o cociente, las incertidumbres correspondientes son como se muestran:

z= x + y z= x− y

⇒ ⇒

Δz = √ Δx 2 + Δy2 Δz= √ Δx 2 + Δy 2

z= xy

⇒

Δz = xy

⇒

Δz=

z=

x y

x y

√( √(

) ( ) Δx Δy + x ) (y )

Δx x

2

+

2

Δy y

2

2

Ajuste lineal es un modelo matemático usado para aproximar la relación de dependencia entre variables dependiente y, e independiente x. Estas variables se relacionan por la ecuación de una recta: y = mx + b. Se puede aplicar la regresión lineal o los mínimos cuadrado para obtener los parámetros de la recta, el error de cada parámetro se obtiene por mínimos cuadrados aplicando la función Chi Cuadro.

(xi,yi) yi -b-m xi

y = b+mx

2

n  n    n xi2    xi    i 1  i 1  ; Sea

n

n

n

i1

i1

y 

n

 xi yi   xi  yi i1

n

n

n

i1

i1

 yi  xi2   xi  xi yi

n m

n 2  2 (m, b ) 1   yi  mxi  b   n2 n  2 i1

b  i1



i1



n

 m  y

n 

 b  y

 x 2i i1



Para saber cuan bueno es el comportamiento lineal del ajuste se usa el coeficiente de correlación r que mide el grado de correlación lineal entre la variable independiente x y la variable dependiente y. Si el valor absoluto de r es 1 la correlación es perfecta, si es próximo a 1 es buena, pero si r se aproxima a cero la correlación es mala. n

n r

i 1

 n  n x2i  i 1 



V.

VI.



n

xiy i 

 n  xi      i 1 



  yi i 1

2

n

xi

i 1

  n  .  n yi2   i 1  



MONTAJE DEL EXPERIMENTO: Se realizará en forma virtual

   

VII.

EQUIPO: Una regla milimétrica y Vernier Virtual. Péndulo virtual Cronometro virtual Soporte universal virtual PROCEDIMIENTO:

 n  yi      i 1 



2

   

Experiencia 1: Teoría de Propagación de Errores. Usando la Regla Milimétrica y el Vernier, mida todas las longitudes de la figura 1 en forma de U que se encuentra virtualmente. Todas las medidas deben tener su respectivo error. TABLA 1

Figura 1

VERNIER (cm)

REGLA

a±Δa

5.028 ± 0.002

5.050 ± 0.05

b±Δb

2.038 ± 0.002

2.050 ± 0.05

c±Δc

4.038 ± 0.002

4.050 ± 0.05

d±Δd

2.318 ± 0.002

2.350 ± 0.05

e±Δe

3.870 ± 0.002

3.850 ± 0.05

f±Δf

1.572 ± 0.002

1.600 ± 0.05

g±Δg

3.870 ± 0.002

3.900 ± 0.05

h±Δh

6.028 ± 0.002

6.000 ± 0.05

Experiencia 2: Error usando la Estadística Descriptiva. Todos los integrantes del grupo midan 5 períodos del péndulo que observará virtualmente en la proyección del péndulo virtual; para esto usen el botón del péndulo virtual. (Tabla 2) TABLA 2 

Angulo 10°



Masa



Longitud 1 m

0.2 Kg

VIII. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES: 1. Aumente la masa para el péndulo simple. Anote el resultado de 5 oscilaciones  Angulo 10° 

Masa



Longitud 1 m

0.6 Kg

2. Aumente la longitud de la cuerda para el péndulo simple. Anote el resultado de 5 oscilaciones  Angulo 10°

DATOS

1

TIEMPO TOTAL (s)

9.93 9.9

9.83 9.87 10.03

PERIODO (N° de vuetas)

5

5

2

5

3

4

5

5

5

DATOS

1

TIEMPO TOTAL (s)

10.3 9.97 10

10.07 10.03

PERIODO (N° de vuetas)

5

5



Masa

0.2 Kg

2

5

3

4

5



5

5

Longitud 0.5 m

IX.

DATOS

1

TIEMPO TOTAL (s)

7.13 7

2

3

4

7.03 7

ANÁLISIS: 1. Calcule el PERIODO (N° de 5 5 5 5 Figura 1 vuetas) y la regla, Teoría de de Errores calcular el error probable, relativo y porcentual.

5

7.17 área de la con el vernier usando la propagación

5

Calculando el perímetro P =a+b+c+d+e+f+g+h

VERNIER

REGLA 5.05 2.05 4.05 2.35 3.85 1.6 3.9 6

5.028 2.038 4.038 2.318 3.87 1.572 3.87 6.028 PERIMETRO PROPAGACION DE ERROR

28.762 28.762 ± 0.002

28.85 28.85 ± 0.05

CALCULO DEL AREA:

F1

g

F 2

F3

a-c=g 5.028 - 4.038 = 0.99 Área

VERNIER (cm)

REGLA

a±Δa

5.028 ± 0.002

5.050 ± 0.05

b±Δb

2.038 ± 0.002

2.050 ± 0.05

c±Δc

4.038 ± 0.002

4.050 ± 0.05

d±Δd

2.318 ± 0.002

2.350 ± 0.05

e±Δe

3.870 ± 0.002

3.850 ± 0.05

f±Δf

1.572 ± 0.002

1.600 ± 0.05

g±Δg

3.870 ± 0.002

3.900 ± 0.05

h±Δh

6.028 ± 0.002

6.000 ± 0.05

F1 =b * c F1 =2.038 *4.038 F1 =8.229 cm2

F2 =e * f F2 =3.870 * 1.572 F2 =6.084 cm2

F3 = g * h F3 =0.99 * 6.028 F3 = 5.968 cm2

ΔF2=

ΔF3=

PROPAGACION DE ERROR

ΔF1=

(

)

(

0.002 0.002 + 8.229 2.038 4.038

ΔF1 = 0.012

)

0.002 + 5.968 ( 0.002 0.99 6.968 )

0.002 0.002 + 6.084 3.870 1.572

ΔF2 = 0.011

ΔF3 = 0.015

∑ área = F1± ΔF1 + F1± ΔF1 + F1± ΔF1 ∑ área = 8.229 ±0.012 + 6.084±0.011 + 5.968±0.015 ∑ área = 20.281 ± 0.038

20.281 ± 0.038

0.038 20.281

x 100% = 0.18

2. Usando la estadística descriptiva calcule la media y la incertidumbre o error de las 5 oscilaciones de la experiencia 2.

δ 21

=

δ 22

=

2

=

δ3

¿ T 1 −T ∨¿2 ¿ ¿ T 2 −T ∨¿2 ¿ ¿ T 3 −T ∨¿2 ¿

¿ 9.93− 9.912∨¿ = (0.018)2 =3.456× 10−3 ¿ 2 ¿ 9.9− 9.912∨¿ = (0.012)2 = 3.824× 10−3 ¿ 2 ¿ 9.83− 9.912 ∨¿ = (0.82)2 =3.121.456× ¿ 2

= = =

−3

10

¿ T 4−T ∨¿ ¿ 2 ¿ T 5 −T ∨¿ ¿

2

δ 24

=

2

=

δ5

¿ 9.87 −9.912 ∨¿ ¿ 2 ¿ 10.03−9.912 ∨¿ ¿ 2

= =

10

∑ (δ)2 = (40.404× i=1 10

∑ (δ)2 =0.040 i=1

10−3

)

= =

(0.042)2

=0.196×

(0.1 .18)2

−3

10

=0.576×

−3

10

10

∑ (δ)2

√

0.040 =0.066 4 n−1 σT = √ ¿ σ T 0.066 =0.020 e p= = √ n √10 e p=0.020 i =1

=¿

3. A partir del resultado anterior calcule el periodo del péndulo simple y su error. 4. Compare los valores de obtenidos del área de la experiencia 1 con la regla y el vernier.

P=f (l , m , g) x

y

P=k l m g

k

[ P ] =[ kl x m y g k ] T =Lx M y (LT −2 )k −2 k

T =L M T 1=−2 k ⇒k=−1 /2 x+ k

y

y=0 x + k =0 , k=−1/2 ⇒x=1/2 P=k l

1 /2

√ √

y

m g

−1 /2

l 2π = √l g √g 0.5 P=2 π 9.8 P=1.405 P=2 π

3.3 Error del periodo e p=(f '( l) )∆ I

= Derivada de la función = Error Instrumental

f '(l ) ∆I

1 2π )∆ I × √ g 2 √l 1 2π × e p= 0.001 √ 9.8 2√ 0.5 −3 e p=1.42 ×10 e p=(

(

X.

)

CONCLUSIONES:

¿a qué conclusiones se puede llegar después de haber analizado los datos?

 Los materiales análogos tienen un margen de error diferente al de los digitales.  El periodo depende del tiempo que demora en realizar las oscilaciones, también a mayor ángulo de inclinación del péndulo mayor será el tiempo en cada oscilación.  Para obtener un resultado más preciso y real tenemos que realizar las medidas con el menor margen de error posible....