Leggi DI Keplero - riassunto PDF

Preview

Summary

riassunto...

Description

LEGGI DI KEPLERO

Come i pianeti si muovano nel cielo è una questione che affascina l’uomo sin dall’antichità. Molti modelli ne sono stati presentati nel corso della storia. Secondo Aristotele (e Tolomeo), il moto dei pianeti e degli altri satelliti (come la Luna) avveniva in traiettoria circolare attorno alla Terra, posta al centro dell’universo: i corpi celesti, infatti, erano ritenuti perfetti, ed era quindi conseguenza che le loro orbite fossero descritte da cerchi concentrici, forme perfette, infinite, prive di inizio e fine, immutabili; il moto di ciò che avveniva sulla terra, caduco e corruttibile, obbediva invece a leggi differenti. Lo scienziato Copernico propose un modello dell’universo in cui al centro era situato il Sole, e attorno ad esso ruotassero, sempre in orbite circolari concentriche, gli altri pianeti, compresa la terra: questo rendeva conto di alcuni fenomeni che si riscontrano sul nostro pianeta, e di molte osservazioni fatte dallo stesso Copernico; tuttavia, anche il modello copernicano non riusciva a render conto di molti altri dati raccolti dalle osservazioni astronomiche. All’inizio del 1600, lo scienziato tedesco Giovanni Keplero formulò tre leggi, sulla base delle osservazioni del suo maestro danese Tycho Brahe, perfettamente il moto dei pianeti all’interno del sistema solare.

che

prevedevano

Va precisato che queste sono leggi sperimentali, ovvero prevedono correttamente il comportamento dei corpi celesti entro il sistema solare, in accordo con i dati sperimentali, ma non ne spiegano le cause.

Prima Legge L’enunciato della prima legge di Keplero riguarda la forma delle orbite: 

“Le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono ellissi di cui il sole occupa uno dei fuochi” Ricordiamo che un ellisse è una figura piana, definita come il luogo dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante . Con riferimento alla figura sottostante, indichiamo con a la lunghezza del semiasse maggiore dell’ellisse, con b la lunghezza del semiasse minore. La distanza dei due fuochi dal centro dell’ellisse sarà c.

Per la prima legge di Keplero, il Sole occupa la posizione di uno dei due fuochi, mentre l’altro fuoco è lasciato libero; il punto in cui un pianeta orbitante attorno al Sole gli è più vicino si chiama perielio, mentre il punto dell’orbita in cui il pianeta è più distante è detto afelio.

La prima legge, oltre a regolare la forma dell’orbita, fornisce anche un’informazione in più: essendo un ellisse una figura piana, le orbite avvengono su un unico piano.

Seconda Legge La seconda legge di Keplero regola la velocità orbitale di un pianeta: essa non è costante, come in un moto circolare uniforme; la sua magnitudine è infatti determinata dalla sua posizione. L’enunciato della seconda legge è il seguente: 

“il raggio vettore che unisce il sole al pianeta orbitante descrive aree uguali in tempi uguali” Per “raggio vettore” si intende il vettore che possiede per direzione la retta passante per il punto che indica la posizione del pianeta e il punto che indica la posizione del Sole, per verso quello che dal Sole punta al pianeta e per modulo la distanza consistente tra il pianeta stesso e il Sole: una freccia che punta dal Sole al pianeta

orbitante. Man mano che il pianeta compie la sua orbita, questo vettore descrive un’area, una specie di “settore ellittico”. Supponiamo che trascorra un intervallo di tempo di durata Δt, e che in questo intervallo di tempo il pianeta venga a portarsi dalla posizione iniziale x1 a quella finale x2, compiendo dunque uno spostamento Δx =x2−. La seconda legge asserisce che, fermo restando l’intervallo di tempo Δt, l’area di questo settore ellittico rimane sempre la stessa, indipendentemente dalla posizione di partenza x1 del pianeta:

La velocità del pianeta orbitante non è costante: come si vede dalle immagini, più il pianeta si trova vicino al sole, minore è il raggio, e, di conseguenza, maggiore deve essere la velocità con cui il pianeta si muove. Se la velocità fosse costante, le aree descritte dal raggio pianeta-sole in intervalli di tempo uguali sarebbero differenti.

Possiamo enunciare la seconda legge di Keplero con una formula matematica. Immaginiamo che un pianeta orbiti attorno al Sole per un intervallo di tempo di durata Δt. Se chiamiamo ΔS l’area descritta dal raggio vettore in questo periodo di tempo, la seconda legge di Keplero ci indica che questa quantità rimane costante durante il moto: possiamo dunque asserire che la velocità areolare, ossia il rapporto tra l’area spazzata dal raggio vettore ΔS e la durata Δt dell’intervallo di tempo impiegato a descriverla, è costante: ΔS\Δt= costante

Terza Legge La terza e ultima legge di Keplero concerne il periodo impiegato da un pianeta a compiere un’orbita completa. Essa stabilisce che:  “il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti” In base alla prima e alla seconda legge di Keplero, il moto dei pianeti nel sistema solare è un moto periodico: essendo l’orbita ellittica (che è una curva chiusa), il pianeta tornerà sicuramente su posizioni occupate precedentemente; inoltre, data la seconda legge di Keplero, la velocità orbitale posseduta da un pianeta sarà determinata dalla sua posizione nell’orbita, e quindi, passando per lo stesso punto, anche la velocità sarà la medesima. Ne concludiamo che il moto dei pianeti nel sistema solare è periodico. Per un’orbita chiusa, il periodo è semplicemente la durata di “un giro completo”. Se chiamiamo T il periodo del moto di un pianeta, e a la misura del semiasse maggiore della sua orbita, la terza legge di Keplero può essere riassunta dalla seguente formula matematica: 3

a 2 T

=k

Indichiamo con a il semiasse maggiore e con T il periodo di rivoluzione che aumenta al crescere di a: più un pianeta è lontano dal Sole, più tempo impiega a circumnavigarlo....