Libro Completo Appunti Di Geometria Elementare Laura Montagnoli PDF

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Libro completo del corso di geometria elementare tenuto dalla professoressa Laura Montagnoli e richiesto per l'esame...

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LAURA MONTAGNOLI

Appunti di GEOMETRIA ELEMENTARE

LAURA MONTAGNOLI

Appunti di GEOMETRIA ELEMENTARE Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria

Milano 2015

© 2015

EDUCatt - Ente per il Diritto allo Studio Universitario dell’Università Cattolica Largo Gemelli 1, 20123 Milano - tel. 02.7234.22.35 - fax 02.80.53.215 e-mail: [email protected] (produzione); [email protected] (distribuzione) web: www.educatt.it/libri Associato all’AIE – Associazione Italiana Editori ISBN edizione cartacea: 978-88-6780-908-0 ISBN edizione digitale: 978-88-6780-909-7

In copertina: rielaborazione grafica a cura di Studio editoriale EDUCatt di Simultaneous Counter Composition (Theo van Doesburg, 1930)

Indice 1 Le 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Indicazioni nazionali e la Geometria Le Indicazioni nazionali . . . . . . . . . . . . L’origine della Geometria . . . . . . . . . . . Lo spazio fisico e lo spazio geometrico . . . . Gli enti geometrici e la loro rappresentazione La riproduzione delle figure . . . . . . . . . Le costruzioni con riga e compasso . . . . . Alcune considerazioni didattiche . . . . . . .

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6 6 11 12 13 14 15 16

2 L’orientamento spaziale 17 2.1 Le localizzazioni e i percorsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Le mappe e i reticoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Le coordinate cartesiane e le coordinate polari . . . . . . . . . . 27 3 Gli 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

enti geometrici fondamentali L’impostazione assiomatica della Geometria Il piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le posizioni reciproche delle rette nel piano . Accenno alle Geometrie non euclidee . . . .

4 Le parti di retta e le parti di piano 4.1 La semiretta . . . . . . . . . . . . . 4.2 Il segmento . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 La congruenza . . . . . . . . 4.3 Le distanze . . . . . . . . . . . . . 4.4 Il semipiano . . . . . . . . . . . . . 4.5 L’angolo . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Il confronto tra angoli . . . 2

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30 30 32 32 33 35 37 42

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44 44 45 46 49 51 51 57

INDICE

4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5

La classificazione degli angoli . . . . . . . . . . . . . . . Le posizioni reciproche tra angoli . . . . . . . . . . . . . La somma e la bisezione di angoli . . . . . . . . . . . . . Gli angoli complementari, supplementari ed esplementari

5 La misura 5.1 Le grandezze e la misura . . . 5.2 Il Sistema Internazionale . . . 5.2.1 Le misure di lunghezza 5.3 Le grandezze derivate . . . . . 5.4 La misura dell’ampiezza . . .

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6 I poligoni 6.1 Gli aspetti generali . . . . . . . . . . 6.1.1 I vertici, i lati e le diagonali . 6.1.2 La convessit`a . . . . . . . . . 6.1.3 Gli angoli interni ed esterni . 6.1.4 Una misura legata ai poligoni: 6.2 I triangoli . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 La classificazione . . . . . . . 6.3 I quadrilateri . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 La classificazione . . . . . . . 6.4 I poligoni regolari . . . . . . . . . . . 6.5 Le altezze . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Le altezze di un triangolo . . 6.5.2 Le altezze di un trapezio . . . 6.6 Una misura legata ai poligoni: l’area 6.6.1 I poligoni equiscomponibili . . 6.6.2 Le formule . . . . . . . . . . . 7 La 7.1 7.2 7.3 7.4

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60 63 64 66 67 67 68 70 75 76

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . il perimetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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80 . 80 . 80 . 85 . 87 . 92 . 94 . 96 . 98 . 99 . 103 . 106 . 106 . 109 . 110 . 110 . 117

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125 . 125 . 126 . 127 . 128 . 128 . 131 . 133 . 134

circonferenza e il cerchio Le prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . Il numero irrazionale π . . . . . . . . . . . . . . La misura della circonferenza e l’area del cerchio I poligoni inscritti e circoscritti . . . . . . . . . 7.4.1 I poligoni inscritti . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 I poligoni circoscritti . . . . . . . . . . . 7.5 L’area dei poligoni circoscritti . . . . . . . . . . 7.5.1 L’area dei poligoni regolari . . . . . . . .

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INDICE

8 Le trasformazioni del piano 8.1 Le isometrie . . . . . . . . . . 8.1.1 La traslazione . . . . . 8.1.2 La simmetria assiale . 8.1.3 La simmetria centrale . 8.1.4 La rotazione . . . . . . 8.2 Le omotetie . . . . . . . . . . 8.3 Le similitudini . . . . . . . . .

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136 . 136 . 136 . 139 . 146 . 148 . 154 . 157

9 La Geometria dello spazio 9.1 Gli assiomi e le prime propriet`a . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Le rette e i piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Le posizioni reciproche tra rette e piani e le distanze 9.3 I diedri e gli angoloidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 La simmetria rispetto a un piano . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Le figure solide e la loro rappresentazione . . . . . . . . . . . 9.6 I poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1 I poliedri regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2 I prismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.3 Le piramidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 I solidi di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1 Il cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.2 Il cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.3 La sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.4 Altri solidi di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . .

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159 . 159 . 160 . 161 . 164 . 165 . 167 . 170 . 172 . 175 . 176 . 178 . 178 . 178 . 179 . 179

10 I problemi nella didattica della 10.1 Alcune definizioni . . . . . . . 10.2 La scelta e la formulazione . . 10.3 La risoluzione . . . . . . . . . 10.4 Alcune attenzioni didattiche .

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182 . 182 . 184 . 187 . 190

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Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introduzione Questo testo presenta gli aspetti basilari della Geometria Euclidea, visti come conoscenze necessarie per l’insegnamento della stessa nella scuola primaria e per avviare i bambini della scuola dell’infanzia a una percezione pi` u razionale dello spazio. Esso costituisce il supporto principale del corso Geometria Elementare (Scienze della Formazione, Universit`a Cattolica del Sacro Cuore Milano), da integrare con gli appunti delle lezioni. Nei diversi capitoli, per una maggiore aderenza alla didattica, si trovano due ambienti, denominati “Proposta didattica” e “Testo scolastico”. Alcune proposte didattiche sono direttamente utilizzabili in classe, in altre sono riportati quesiti dell’INValSI e altri spunti da sviluppare e adattare per renderli fruibili. Talvolta vi si potranno trovare alcune costruzioni geometriche con riga e compasso. Si tratta di procedure altamente istruttive e storicamente rilevanti, che consentono di rappresentare figure con il solo utilizzo della riga non graduata e del compasso. Nell’ambiente “Testo scolastico” sono presentati frammenti di libri di testo della scuola primaria, con alcuni commenti. L’indice analitico `e un elenco delle definizioni, che `e necessario conoscere con precisione. Molti testi della scuola secondaria di primo e secondo grado riportano quasi tutti gli argomenti affrontati in questi appunti e possono essere consultati per chiarire ulteriormente le nozioni. Tra questi: [1], [28], [29], [30]. La bibliografia raccoglie sia i testi di approfondimento sia quelli della scuola primaria dai quali sono tratte alcune pagine. Si prega di segnalare gli eventuali errori all’indirizzo [email protected].

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Capitolo 1 Le Indicazioni nazionali e la Geometria 1.1

Le Indicazioni nazionali

Le Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanza e del primo ciclo d’istruzione 1 (settembre 2012) sono state redatte dal Ministero dell’Istruzione, dell’Universit` a e della Ricerca e costituiscono il documento di riferimento per la programmazione curricolare. Il testo `e suddiviso in cinque capitoli. I primi tre (Cultura, scuola, persona; Finalit` a generali; L’organizzazione del curricolo) esprimono gli orientamenti su cui gli ultimi due capitoli, pi` u specifici, sono basati (La scuola dell’infanzia; La scuola del primo ciclo). Non siamo interessati tanto alla struttura e ai contenuti generali, ma piuttosto focalizzeremo l’attenzione sull’area matematica. Gli aspetti salienti dell’educazione alla geometria nella scuola dell’infanzia sono esposti alle pagine 16, 17, 18, 21, 22, 23. La scuola dell’infanzia si pone una molteplicit`a di obiettivi, tra i quali l’acquisizione di competenze legate al gioco, al movimento, alla capacit` a di manipolare oggetti, di porre domande e di iniziare a riflettere sull’esperienza. Le riflessioni vertono su quanto vissuto, quindi coinvolgono le capacit`a di narrare, descrivere, rappresentare, immaginare, ripetere con simulazioni e in generale esprimersi con linguaggi diversi. Queste attivit` a richiedono un ambiente strutturato a tali scopi e un accompagnamento mirato da parte degli educatori. Essi si pongono come mediatori e facilitatori e aiutano il bambino a fare proprie le esperienze proposte. I Campi di esperienza sono cinque: Il s`e e l’altro; Il corpo e il movimento; 1

Si possono scaricare dal sito: http://www.indicazioninazionali.it.

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1.1. Le Indicazioni nazionali

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Immagini, suoni, colori; I discorsi e le parole; La conoscenza del mondo. Quest’ultimo getta le basi per la successiva elaborazione dei concetti matematici, perch´e verte sull’esplorazione della realt` a e la riflessione sulle esperienze che vengono riproposte dal bambino stesso in varie forme. Si articola in due ambiti: Oggetti, fenomeni, viventi; Numero e spazio. Per quanto riguarda lo spazio, le Indicazioni riportano quanto segue: “Muovendosi nello spazio, i bambini scelgono ed eseguono i percorsi pi` u idonei per raggiungere una meta prefissata, scoprendo concetti geometrici come quelli di direzione e di angolo. Sanno descrivere le forme di oggetti tridimensionali, riconoscendo le figure geometriche e individuandone le propriet`a (ad esempio riconoscendo nel quadrato una propriet`a dell’oggetto e non l’oggetto stesso). Operano con materiali strutturati, costruzioni, giochi da tavolo di vario tipo.” Relativamente ai Traguardi per lo sviluppo della Competenza, si legge: “Individua le posizioni di oggetti e persone nello spazio, usando termini come avanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra, ecc.; segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni verbali.” In estrema sintesi i nuclei tematici geometrici per la scuola dell’infanzia sono: • localizzazioni e percorsi (si veda la Sezione 2.1 del Capitolo 2); • denominazione e propriet`a principali delle figure geometriche piane e tridimensionali (si vedano i Capitoli 6, 7, 9). Questi concetti vanno trasmessi in modo che il bambino possa appropriarsi dello spazio fisico in cui `e immerso e, perch´e ci`o avvenga, occorre che egli si possa muovere in tale spazio. Per la scuola primaria ci concentriamo, in particolare, sulle pagine 49, 50 e 51 del documento, che presentano: (a) l’epistemologia della Matematica e alcune questioni didattiche; (b) i Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria; (c) gli Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria e al termine della classe quinta della scuola primaria. (a) Nelle Indicazioni nazionali la presentazione del paragrafo Matematica (pag. 49) `e chiusa dalla seguente affermazione: “Di estrema importanza `e lo sviluppo di un’adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e strutture che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell’uomo”. Questo dev’essere lo spirito con cui si apprende la matematica (e si riflette sulla sua didattica) a qualsiasi livello.

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CAPITOLO 1. Le Indicazioni nazionali e la Geometria

Vediamo ora, pi` u nel dettaglio, gli altri capisaldi del paragrafo in questione. • Qual `e l’apporto della conoscenza matematica? Contribuisce alla formazione culturale e a sviluppare le capacit`a di comunicare, discutere, argomentare correttamente e di comprendere punti di vista e argomentazioni altrui. Consente di percepire, descrivere, interpretare, collegare tra loro fenomeni, concetti, artefatti. D` a strumenti per la risoluzione di problemi (intesi come questioni autentiche e significative e non solo come esercizi a carattere ripetitivo). • Quali sono le strategie e gli strumenti? Si ritiene fondamentale il laboratorio, pensato sia come luogo fisico sia come momento in cui l’alunno, attivamente, formula ipotesi, controlla le conseguenze, progetta, sperimenta, discute, argomenta e costruisce conoscenze. ` utile ricorrere anche al gioco, che insegna il rispetto delle regole E condivise, l’elaborazione di strategie e la corretta comunicazione. Gli strumenti quali calcolatrici e PC sono da utilizzare, ma in modo consapevole e motivato. Per la scuola primaria, la Matematica si articola in tre ambiti: Numeri; Spazio e figure; Relazioni, dati e previsioni. In questa sede siamo interessati alla Geometria, quindi ci riferiremo d’ora in poi solamente al secondo ambito, andando a selezionare i soli Traguardi e Obiettivi ad esso relativi. (b) I Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria sono riferimenti essenziali per l’insegnante, in quanto indicano le “piste culturali e didattiche da percorrere e aiutano a finalizzare l’azione educativa allo sviluppo integrale dell’allievo”2 . Riportiamo di seguito i Traguardi che riguardano l’ambito geometrico. A. Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo. B. Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo. 2 Si veda pag. 13 delle Indicazioni Nazionali per la definizione completa di “Traguardi per lo sviluppo delle competenze”.

1.1. Le Indicazioni nazionali

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C. Utilizza strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i pi` u comuni strumenti di misura (metro, goniometro,...). D. Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici. E. Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo sia sui risultati. F. Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzioni diverse dalla propria. G. Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista degli altri. H. Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri decimali, frazioni, percentuali, scale di riduzione, ...). I. Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realt` a. (c) Gli Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria e gli Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria trattano “campi del sapere, conoscenze e abilit` a ritenuti indispensabili al fine di raggiungere i Traguardi per lo sviluppo delle competenze. Essi sono utilizzati dalle scuole e dai docenti nella loro attivit` a di progettazione didattica, con attenzione alle condizioni di contesto, didattiche e organizzative mirando ad un insegnamento ricco ed efficace”3 . In altre parole i traguardi sono i riferimenti generali, indirizzano l’insegnante, che opera affinch´e l’alunno diventi competente e aiutano a finalizzare l’insegnamento della disciplina allo sviluppo integrale dell’alunno. Gli obiettivi sono le conoscenze e abilit` a che consentono di raggiungere i Traguardi. Seguono gli Obiettivi, che verranno richiamati, in questo testo, all’inizio di ogni capitolo o paragrafo. Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza: 1. Percepire la propria posizione nello spazio e stimare distanze e volumi a partire dal proprio corpo. 2. Comunicare la posizione di oggetti nello spazio fisico, sia rispetto al soggetto, sia rispetto ad altre persone o oggetti, usando termini adeguati (sopra/sotto, davanti/dietro, destra/sinistra, dentro/fuori). 3

Ivi, per la definizione completa di “Obiettivi di apprendimento”.

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CAPITOLO 1. Le Indicazioni nazionali e la Geometria

3. Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o dal disegno, descrivere un percorso che si sta facendo e dare le istruzioni a qualcuno perch´e compia un percorso desiderato. 4. Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. 5. Disegnare figure geometriche e costruire modelli materiali anche nello spazio. Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta: 6. Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando element...